Lema de Fatou

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Lemma en la teoría de medida

En matemáticas, el lema de Fatou establece una desigualdad que relaciona la integral de Lebesgue del límite inferior de una sucesión de funciones con el límite inferior de integrales de estas funciones. El lema lleva el nombre de Pierre Fatou.

Did you mean:

Fatou 's lemma can be used to prove the Fatou–Lebesgue theorem and Lebesgue 's dominated convergence theorem.

Declaración estándar

En lo que sigue, ${displaystyle operatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}}}$ denota los $sigma$ - álgebra de Borel se pone en ${displaystyle [0,+infty ]}$ .

Theorem—El lema de Fatou. Dado un espacio de medida ${displaystyle (Omega{mathcal {F}},mu)}$ y un set ${displaystyle Xin {mathcal {F}},}$ Deja ${f_{n}}$ ser una secuencia de ${displaystyle ({mathcal {F}},operatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - Funciones no negativas mensurables ${displaystyle f_{n}:Xto [0,+infty ]}$ . Define la función ${displaystyle f:Xto [0,+infty ]}$ por configuración ${displaystyle f(x)=liminf _{nto infty }f_{n}(x),}$ para todos $xin X$ .

Entonces... $f$ es ${displaystyle ({mathcal {F}},operatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - mensurable, y también ${displaystyle int _{X}f,dmu leq liminf _{nto infty }int _{X}f_{n},dmu }$ , donde las integrales pueden ser infinitas.

La lema de Fatou sigue siendo verdadera si sus suposiciones sostienen $mu$ - Casi en todas partes. En otras palabras, es suficiente que haya un conjunto nulo $N$ tal que los valores ${f_{n}(x)}$ no negativo para cada ${displaystyle {xin Xsetminus N}.}$ Para ver esto, note que las integrales que aparecen en la lema de Fatou no cambian si cambiamos cada función en $N$ .

Prueba

El lema de Fatou no requiere el teorema de convergencia monótono, pero este último se puede usar para proporcionar una prueba rápida. Una prueba directamente de las definiciones de integrales se da más adelante.

En cada caso, la prueba comienza analizando las propiedades de ${displaystyle textstyle g_{n}(x)=inf _{kgeq n}f_{k}(x)}$ . Estas satisfacciones:

la secuencia ${displaystyle {g_{n}(x)}_{n}}$ no disminuye en nada $x$ y
${displaystyle g_{n}leq f_{n}}$ , ${displaystyle forall nin mathbb {N} }$ .

Desde ${displaystyle f(x)=liminf _{nto infty }f_{n}(x)=lim _{nto infty }inf _{kgeq n}f_{k}(x)=lim _{nto infty }{g_{n}(x)}}$ , inmediatamente vemos que $f$ es mensurable.

A través del teorema de la convergencia monótona

Además,

{displaystyle int _{X}f,dmu =int _{X}lim _{nto infty }g_{n},dmu }

Por el Teorema de la Convergencia Monótona y la propiedad (1), el límite y la integral pueden intercambiarse:

{displaystyle {begin{aligned}int _{X}f,dmu &=lim _{nto infty }int _{X}g_{n},dmu \&=liminf _{nto infty }int _{X}g_{n},dmu \&leq liminf _{nto infty }int _{X}f_{n},dmuend{aligned}}}

donde el último paso usó la propiedad (2).

Did you mean:

From "first principles "

Para demostrar que el teorema de la convergencia monótona no está "oculto", la siguiente prueba no usa ninguna propiedad de la integral de Lebesgue excepto las establecidas aquí.

Denote by ${displaystyle operatorname {SF} (f)}$ el conjunto de simple ${displaystyle ({mathcal {F}},operatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - Funciones mensurables ${displaystyle s:Xto [0,infty)}$ tales que ${displaystyle 0leq sleq f}$ on $X$ .

Monotonicity—

Si ${displaystyle fleq g}$ en todas partes $X,$ entonces

{displaystyle int _{X}f,dmu leq int _{X}g,dmu.}

Si ${displaystyle X_{1},X_{2}in {mathcal {F}}}$ y ${displaystyle X_{1}subseteq X_{2},}$ entonces

{displaystyle int _{X_{1}}f,dmu leq int _{X_{2}}f,dmu.}

Si $f$ no negativo ${displaystyle S=cup _{i=1}^{infty }S_{i}}$ , donde ${displaystyle S_{1}subseteq ldots subseteq S_{i}subseteq ldots subseteq S}$ es una cadena que no disminuye $mu$ - conjuntos mensurables, entonces

{displaystyle int _{S}{f,dmu }=lim _{nto infty }{int _{S_{n}}{f,dmu }}}

Prueba

1. Desde ${displaystyle fleq g,}$ tenemos

{displaystyle operatorname {SF} (f)subseteq operatorname {SF} (g).}

Por definición de Lebesgue integral y las propiedades de supremum,

{displaystyle int _{X}f,dmu =sup _{sin {rm {SF}}(f)}int _{X}s,dmu leq sup _{sin {rm {SF}}(g)}int _{X}s,dmu =int _{X}g,dmu.}

2. Vamos ${displaystyle {mathbf {1} }_{X_{1}}}$ ser la función indicadora del conjunto ${displaystyle X_{1}.}$ Puede deducirse de la definición de Lebesgue integral que

{displaystyle int _{X_{2}}fcdot {mathbf {1} }_{X_{1}},dmu =int _{X_{1}}f,dmu }

si lo notamos, por cada ${displaystyle sin {rm {SF}}(fcdot {mathbf {1} }_{X_{1}}),}$ $s=0$ fuera de ${displaystyle X_{1}.}$ Combinado con la propiedad anterior, la desigualdad ${displaystyle fcdot {mathbf {1} }_{X_{1}}leq f}$ implicación

{displaystyle int _{X_{1}}f,dmu =int _{X_{2}}fcdot {mathbf {1} }_{X_{1}},dmu leq int _{X_{2}}f,dmu.}

3. Primera nota de que la reclamación tiene si $f$ es la función indicadora de un conjunto, por monotonicidad de medidas. Por linealidad, esto también implica inmediatamente la reclamación por funciones simples.

Desde cualquier función simple apoyada en $S n$ es simple y apoyado en $X$ , debemos tener

{displaystyle int _{X}{f,dmu }geq lim _{nto infty }{int _{S_{n}}{f,dmu }}}

Para el reverso, suponga $g zio SF(f)$ con ${displaystyle textstyle int _{X}{f,dmu }-epsilon leq int _{X}{g,dmu }}$ Por lo anterior,

{displaystyle int _{X}{f,dmu }-epsilon leq int _{X}{g,dmu }=lim _{nto infty }{int _{S_{n}}{g,dmu }}leq lim _{nto infty }{int _{S_{n}}{f,dmu }}}

Ahora pasamos al teorema principal

Paso 1— ${displaystyle g_{n}=g_{n}(x)}$ es ${displaystyle ({mathcal {F}},operatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - mensurable, por cada $ngeq 1$ , como es $f$ .

Prueba

Recordar los intervalos cerrados generan el Borel $σ$ - álgebra. Así que basta mostrar, por cada ${displaystyle tin [-infty+infty ]}$ , eso ${displaystyle g_{n}^{-1}([t,+infty ])in {mathcal {F}}}$ . Ahora observen que

{displaystyle {begin{aligned}g_{n}^{-1}([t,+infty ])&=left{xin Xmid g_{n}(x)geq tright}\[3pt]&=left{xin X;left|;inf _{k,geq ,n}f_{k}(x)geq tright.right}\[3pt]&=bigcap _{k,geq ,n}left{xin Xmid f_{k}(x)geq tright}\[3pt]&=bigcap _{k,geq ,n}f_{k}^{-1}([t,+infty ])end{aligned}}}

Cada conjunto en el lado derecho es de ${mathcal {F}}$ , que se cierra bajo intersecciones contables. Por lo tanto, el lado izquierdo es también miembro ${mathcal {F}}$ .

Del mismo modo, es suficiente verificar que ${displaystyle f^{-1}([0,t])in {mathcal {F}}}$ , por cada ${displaystyle tin [-infty+infty ]}$ . Desde la secuencia ${displaystyle {g_{n}(x)}}$ no disminuye,

{displaystyle f^{-1}([0,t])=bigcap _{n}g_{n}^{-1}([0,t])in {mathcal {F}}}

Paso 2—Dada una simple función ${displaystyle sin operatorname {SF} (f)}$ y un número real ${displaystyle tin (0,1)}$ , definir

{displaystyle B_{k}^{s,t}={xin Xmid tcdot s(x)leq g_{k}(x)}subseteq X.}

Entonces... ${displaystyle B_{k}^{s,t}in {mathcal {F}}}$ , ${displaystyle B_{k}^{s,t}subseteq B_{k+1}^{s,t}}$ , y ${displaystyle textstyle X=bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$ .

Prueba

Paso 2a. Para probar la primera reclamación, escriba $s$ como una suma ponderada de funciones indicadoras de conjuntos descomunales:

{displaystyle s=sum _{i=1}^{m}c_{i}cdot mathbf {1} _{A_{i}}}

Entonces...

{displaystyle B_{k}^{s,t}=bigcup _{i=1}^{m}{Bigl (}g_{k}^{-1}{Bigl (}[tcdot c_{i},+infty ]{Bigr)}cap A_{i}{Bigr)}}

Desde la imagen previa ${displaystyle g_{k}^{-1}{Bigl (}[tcdot c_{i},+infty ]{Bigr)}}$ del conjunto Borel ${displaystyle [tcdot c_{i},+infty ]}$ bajo la función mensurable $g_{k}$ es mensurable, y $sigma$ - los álgebras están cerradas bajo la intersección finita y los sindicatos, la primera afirmación sigue.

Paso 2b. Para probar la segunda reclamación, note que, por cada $k$ y todos $xin X$ , ${displaystyle g_{k}(x)leq g_{k+1}(x).}$

Paso 2c. Para probar la tercera afirmación, supongamos que existe contradicción

{displaystyle x_{0}in Xsetminus bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=bigcap _{k}(Xsetminus B_{k}^{s,t})}

Entonces... $<math alttext="{displaystyle g_{k}(x_{0})gk()x0).t⋅ ⋅ s()x0){displaystyle g_{k}(x_{0})Seleccionadocdot s(x_{0}<img alt="{displaystyle g_{k}(x_{0})$ , por cada $k$ . Tomando el límite $kto infty$ ,

<math alttext="{displaystyle f(x_{0})leq tcdot s(x_{0})f()x0)≤ ≤ t⋅ ⋅ s()x0).s()x0).{displaystyle f(x_{0})leq tcdot s(x_{0}) se interpreta(x_{0}). }<img alt="{displaystyle f(x_{0})leq tcdot s(x_{0})

~~Esto contradice nuestra suposición inicial de que ${displaystyle sleq f}$ .~~

Paso 3—Desde el paso 2 y la monotónica,

~~${displaystyle lim _{n}int _{B_{n}^{s,t}}s,dmu =int _{X}s,dmu.}$~~

Paso 4—Por todos ${displaystyle sin operatorname {SF} (f)}$ ,

~~${displaystyle int _{X}s,dmu leq lim _{k}int _{X}g_{k},dmu }$ .~~

Prueba
De hecho, utilizando la definición de ${displaystyle B_{k}^{s,t}}$ , la no negativa de $g_{k}$ , y la monotónica de Lebesgue integral, tenemos
${displaystyle forall kgeq 1qquad int _{B_{k}^{s,t}}tcdot s,dmu leq int _{B_{k}^{s,t}}g_{k},dmu leq int _{X}g_{k},dmu }$ .
De conformidad con la etapa 4, como $kto infty$ la desigualdad se convierte
${displaystyle tint _{X}s,dmu leq lim _{k}int _{X}g_{k},dmu }$ .
Tomando el límite ${displaystyle tuparrow 1}$ rendimientos
${displaystyle int _{X}s,dmu leq lim _{k}int _{X}g_{k},dmu }$ ,
según sea necesario.

Paso 5—Para completar la prueba, aplicamos la definición de Lebesgue integral a la desigualdad establecida en el Paso 4 y tenemos en cuenta que ${displaystyle g_{n}leq f_{n}}$ :

${displaystyle {begin{aligned}int _{X}f,dmu &=sup _{sin operatorname {SF} (f)}int _{X}s,dmu \&leq lim _{k}int _{X}g_{k},dmu \&=liminf _{k}int _{X}g_{k},dmu \&leq liminf _{k}int _{X}f_{k},dmu end{aligned}}}$

~~La prueba está completa.~~

Ejemplos de desigualdad estricta

~~Equipar el espacio $S$ con el Borel σ-algebra y la medida Lebesgue.~~

~~Ejemplo para un espacio de probabilidad: Vamos $S=[0,1]$ denota el intervalo de unidad. Por cada número natural $n$ definir~~

~~$f_n(x)=begin{cases}n&text{for }xin (0,1/n),\ 0&text{otherwise.} end{cases}$~~

~~Ejemplo con convergencia uniforme: Vamos $S$ denota el conjunto de todos los números reales. Define~~

~~$f_n(x)=begin{cases}frac1n&text{for }xin [0,n],\ 0&text{otherwise.} end{cases}$~~

~~Estas secuencias $(f_n)_{ninN}$ convergencia $S$ punto (respectivamente uniforme) a la función cero (con cero integral), pero cada $f_{n}$ tiene uno integral.~~

El papel de la no negatividad

Una suposición adecuada sobre las partes negativas de la secuencia f₁, f₂,... de funciones es necesario para el lema de Fatou, como muestra el siguiente ejemplo. Sea S la media recta [0,∞) con el σ-álgebra de Borel y la medida de Lebesgue. Para cada número natural n define

~~$f_n(x)=begin{cases}-frac1n&text{for }xin [n,2n],\ 0&text{otherwise.} end{cases}$~~

Esta secuencia converge uniformemente en S a la función cero y el límite, 0, se alcanza en un número finito de pasos: para cada x ≥ 0, si n > x, luego f_n(x) = 0. Sin embargo, cada función f_n tiene integral −1. Contrariamente al lema de Fatou, este valor es estrictamente menor que la integral del límite (0).

Como se analiza en § Extensiones y variaciones del lema de Fatou a continuación, el problema es que no hay un límite integrable uniforme en la secuencia desde abajo, mientras que 0 es el límite uniforme desde arriba.

Lema inverso de Fatou

Sea f₁, f₂,... ser una secuencia de funciones medibles de valor real extendidas definidas en un espacio de medida (S,Σ,μ). Si existe una función integrable no negativa g en S tal que f_n ≤ g para todos los n, entonces

~~$limsup_{ntoinfty}int_S f_n,dmuleqint_Slimsup_{ntoinfty}f_n,dmu.$~~

Nota: Aquí. g integrable significa que g es mensurable y eso $<math alttext="{displaystyle textstyle int _{S}g,dmu ∫ ∫ Sgdμ μ .JUEGO JUEGO {displaystyle textstyle int - No.<img alt="textstyleint_S g,dmu$ .

Bosquejo de prueba

Aplicamos linealidad de Lebesgue integral y la lema de Fatou a la secuencia ${displaystyle g-f_{n}.}$ Desde $<math alttext="{displaystyle textstyle int _{S}g,dmu ∫ ∫ Sgdμ μ .+JUEGO JUEGO ,{displaystyle textstyle int - No.<img alt="{displaystyle textstyle int _{S}g,dmu$ esta secuencia se define $mu$ - Casi en todas partes y no negativo.

Did you mean:
Extensions and variations of Fatou 's lemma
Límite inferior integrable
Sea f₁, f₂,... ser una secuencia de funciones medibles de valor real extendidas definidas en un espacio de medida (S,Σ,μ). Si existe una función integrable g en S tal que f_n ≥ − g para todo n, entonces
${displaystyle int _{S}liminf _{nto infty }f_{n},dmu leq liminf _{nto infty }int _{S}f_{n},dmu.}$
Prueba
Did you mean:
Apply Fatou 's lemma to the non-negative sequence given by f_n + g.
Convergencia de puntos
Si en la configuración anterior la secuencia f₁, f₂,... converge puntualmente a una función f μ-casi en todas partes en S, entonces
$int_S f,dmu le liminf_{ntoinfty} int_S f_n,dmu,.$
Prueba
Tenga en cuenta que f tiene que coincidir con el límite inferior de las funciones f_n en casi todas partes, y que los valores del integrando en un conjunto de medida cero no tienen influencia en el valor de la integral.
Convergencia en medida
La última afirmación también se cumple, si la secuencia f₁, f₂,... converge en medida a una función f.
Prueba
Existe una subsecuencia tal que
${displaystyle lim _{kto infty }int _{S}f_{n_{k}},dmu =liminf _{nto infty }int _{S}f_{n},dmu.}$
Dado que esta subsecuencia también converge en medida a f, existe una subsecuencia adicional, que converge puntualmente a f en casi todas partes, de ahí la variación anterior de Fatou' El lema es aplicable a esta subsubsecuencia.
Did you mean:
Fatou 's Lemma with Varying Measures
En todas las declaraciones anteriores del lema de Fatou, la integración se realizó con respecto a una sola medida fija μ. Supongamos que μ_n es una secuencia de medidas en el espacio medible (S,Σ) tal que (ver Convergencia de medidas)
${displaystyle mu _{n}(E)to mu (E),~forall Ein {mathcal {F}}.}$
Entonces, con f_n funciones integrables no negativas y siendo f su límite puntual inferior, tenemos
$int_S f,dmu leq liminf_{nto infty} int_S f_n, dmu_n.$
Prueba
Demostraremos algo un poco más fuerte aquí. Es decir, vamos a permitir f_n para converger μ-casi en todas partes en un subconjunto E de S. Buscamos demostrar que
$int_E f,dmu le liminf_{ntoinfty} int_E f_n,dmu_n,.$
Vamos
$K={xin E|f_n(x)rightarrow f(x)}$ .
Entonces... μ(E-K)=0 y
$int_{E}f,dmu=int_{E-K}f,dmu,~~~int_{E}f_n,dmu=int_{E-K}f_n,dmu ~forall nin N.$
Así pues, reemplazando E por E-K podemos asumir que f_n converger f pointwise en E. Next, note que para cualquier función simple φ tenemos
$int_{E}phi, dmu=lim_{nto infty} int_{E} phi, dmu_n.$
Por lo tanto, por la definición de la Lebesgue Integral, es suficiente mostrar que si φ es cualquier función simple no negativa menos o igual a f entonces
$int_{E}phi ,dmuleq liminf_{nrightarrow infty} int_{E}f_n,dmu_n$
Vamos a ser el valor no negativo mínimo φ. Define
$a}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A={}x▪ ▪ ESilencioφ φ ()x)■a}{displaystyle A={xin E durablephi (x)}}a} " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8af16ce5e15d47dc63f37e6a20ae150e20a57b" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.612ex; height:2.843ex;"/>$
Primero consideramos el caso cuando $int_{E}phi, dmu=infty$ . Debemos tenerlo μ(A) es infinita desde
$int_{E}phi, dmu leq Mmu(A),$
Donde M es el valor máximo (necesariamente finito) de que φ alcanza.
A continuación, definimos
$a~forall kgeq n}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">An={}x▪ ▪ ESilenciofk()x)■aО О k≥ ≥ n}.{displaystyle A_{n}={xin E imperf_{k}(x) confianzaa~forall kgeq n}a~forall kgeq n }. " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf1c4742450624afac34f585de959bd26fa28ab" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.897ex; height:2.843ex;"/>$
Tenemos eso
$Asubseteq bigcup_n A_n Rightarrow mu(bigcup_n A_n)=infty.$
Pero... A_n es una secuencia creciente anida de funciones y por lo tanto, por la continuidad de abajo μ,
$lim_{nrightarrow infty} mu(A_n)=infty.$ .
Así,
$lim_{ntoinfty}mu_n(A_n)=mu(A_n)=infty.$ .
Al mismo tiempo,
$int_E f_n, dmu_n geq a mu_n(A_n) Rightarrow liminf_{nto infty}int_E f_n , dmu_n = infty = int_E phi, dmu,$
probar la reclamación en este caso.
El caso restante es cuando $<math alttext="{displaystyle int _{E}phi ,dmu ∫ ∫ Eφ φ dμ μ .JUEGO JUEGO {displaystyle int _{ E}phi ,dmu] Secuentamente<img alt="int_{E}phi, dmu$ . Debemos tenerlo μ(A) es finito. Denote, as above, by M el valor máximo φ y arreglar ε]0. Define
$(1-epsilon)phi (x)~forall kgeq n}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">An={}x▪ ▪ ESilenciofk()x)■()1− − ε ε )φ φ ()x)О О k≥ ≥ n}.{displaystyle A_{n}={xin E imperf_{k}(x) Conf(1-epsilon)phi (x)~forall kgeq n}.}(1-epsilon)phi(x)~forall kgeq n}. " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db48a41407009d31fe47e1483aa1f0fd59309599" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.948ex; height:2.843ex;"/>$
Entonces... A_n es una secuencia creciente anida de conjuntos cuyo sindicato contiene A. Así, A-A_n es una secuencia decreciente de conjuntos con intersección vacía. Desde A tiene una medida finita (por eso necesitábamos considerar los dos casos separados),
$lim_{nrightarrow infty} mu(A-A_n)=0.$
Así, existe tal que
$<math alttext="{displaystyle mu (A-A_{k})μ μ ()A− − Ak).ε ε ,О О k≥ ≥ n.{displaystyle mu (A-A-A_{k}) se hizo epsilon~forall kgeq n.}<img alt=" mu(A-A_k)$
Por lo tanto, desde
$lim_{nto infty} mu_n(A-A_k)=mu(A-A_k),$
existe N tales que
$<math alttext="{displaystyle mu _{k}(A-A_{k})μ μ k()A− − Ak).ε ε ,О О k≥ ≥ N.{displaystyle mu _{k}(A-A_{k}) seleccionóepsilon~forall kgeq N.}<img alt=" mu_k(A-A_k)$
Por lo tanto, $kgeq N$
$int_E f_k , dmu_k geq int_{A_k}f_k , dmu_k geq (1-epsilon)int_{A_k}phi, dmu_k.$
Al mismo tiempo,
$int_E phi , dmu_k = int_A phi , dmu_k = int_{A_k} phi , dmu_k + int_{A-A_k} phi , dmu_k.$
Por lo tanto,
$(1-epsilon)int_{A_k} phi , dmu_k geq (1-epsilon)int_E phi , dmu_k - int_{A-A_k} phi , dmu_k.$
Combinar estas desigualdades da que
$int_{E} f_k , dmu_k geq (1-epsilon)int_E phi , dmu_k - int_{A-A_k} phi , dmu_k geq int_E phi , dmu_k - epsilonleft(int_{E} phi , dmu_k+Mright).$
Por lo tanto, enviar ε a 0 y tomar el liminf en n, lo tenemos
$liminf_{nrightarrow infty} int_{E} f_n , dmu_k geq int_E phi , dmu,$
completando la prueba.
Did you mean:
Fatou 's lemma for conditional expectations
En teoría de probabilidad, por un cambio de notación, las versiones anteriores del lema de Fatou son aplicables a secuencias de variables aleatorias X₁, X₂,.. definido en un espacio de probabilidad $scriptstyle(Omega,,mathcal F,,mathbb P)$ ; los integrales se convierten en expectativas. Además, también hay una versión para las expectativas condicionales.
Versión estándar
Vamos X₁, X₂,.. ser una secuencia de variables aleatorias no negativas en un espacio de probabilidad $scriptstyle(Omega,mathcal F,mathbb P)$ y dejar $scriptstyle mathcal G,subset,mathcal F$ ser un sub-σ-algebra. Entonces...
$mathbb{E}Bigl[liminf_{ntoinfty}X_n,Big|,mathcal GBigr]leliminf_{ntoinfty},mathbb{E}[X_n|mathcal G]$ Casi seguro.
Nota: La expectativa condicional para variables aleatorias no negativas siempre está bien definida, no se necesita una expectativa finita.
Prueba
Además de un cambio de notación, la demostración es muy similar a la de la versión estándar del lema de Fatou anterior, sin embargo, se debe aplicar el teorema de convergencia monótono para expectativas condicionales.
Sea X el límite inferior de X_n. Para cada número natural k defina puntualmente la variable aleatoria
$Y_k=inf_{nge k}X_n.$
Entonces la secuencia Y₁, Y₂,... es creciente y converge puntualmente a X. Para k ≤ n, tenemos Y_k ≤ X_n, de modo que
$mathbb{E}[Y_k|mathcal G]lemathbb{E}[X_n|mathcal G]$ casi seguro
por la monotonicidad de la expectativa condicional, por lo tanto
$mathbb{E}[Y_k|mathcal G]leinf_{nge k}mathbb{E}[X_n|mathcal G]$ casi seguro,
porque la unión contable de los conjuntos excepcionales de probabilidad cero es nuevamente un conjunto nulo. Usando la definición de X, su representación como límite puntual de Y_k, el teorema de convergencia monótono para condicional expectativas, la última desigualdad, y la definición del límite inferior, se sigue que casi con seguridad
$begin{align} mathbb{E}Bigl[liminf_{ntoinfty}X_n,Big|,mathcal GBigr] &=mathbb{E}[X|mathcal G] =mathbb{E}Bigl[lim_{ktoinfty}Y_k,Big|,mathcal GBigr] =lim_{ktoinfty}mathbb{E}[Y_k|mathcal G]\ &lelim_{ktoinfty} inf_{nge k}mathbb{E}[X_n|mathcal G] =liminf_{ntoinfty},mathbb{E}[X_n|mathcal G]. end{align}$
Extensión a partes negativas uniformemente integrables
Vamos X₁, X₂,... ser una secuencia de variables aleatorias en un espacio de probabilidad $scriptstyle(Omega,mathcal F,mathbb P)$ y dejar $scriptstyle mathcal G,subset,mathcal F$ ser un sub-σ-algebra. Si las partes negativas
$X_n^-:=max{-X_n,0},qquad nin{mathbb N},$
son uniformemente integrables con respecto a la expectativa condicional, en el sentido de que, para ε > 0 existe una c > 0 tal que
$c}},|,{mathcal {G}}{bigr ]}E[Xn− − 1{}Xn− − ■c}SilencioG].ε ε ,para todosn▪ ▪ N,casi seguro{fn} {fn} {fn} {fn}fnfn}}}}\fn}fn\\cH00}\, {cHFF}}}}cHFF}cH00}cH00} {cH00} {cH00}fn}cH00}cH00} {cH00}fn}}}}}}fn}cH00}}}fn}}}cH00}fn}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}fn}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00}}cH00}cH00}}}cH00}}cH00}}}}}}}cHc}},|,mathcal Gbigr]$ ,
entonces
$mathbb{E}Bigl[liminf_{ntoinfty}X_n,Big|,mathcal GBigr]leliminf_{ntoinfty},mathbb{E}[X_n|mathcal G]$ Casi seguro.
Nota: En el plató donde
$X:=liminf_{ntoinfty}X_n$
satisface
$mathbb{E}[max{X,0},|,mathcal G]=infty,$
el lado izquierdo de la desigualdad se considera más infinito. La expectativa condicional del límite inferior podría no estar bien definida en este conjunto, porque la expectativa condicional de la parte negativa también podría ser más infinito.
Prueba
Sea ε > 0. Debido a la integrabilidad uniforme con respecto a la expectativa condicional, existe un c > 0 tal que
$c}},|,{mathcal {G}}{bigr ]}E[Xn- - 1{}Xn- - ■c}SilencioG].ε ε para todosn▪ ▪ N,casi seguro.{fnfn} {fnfnfn}fnfnfnfn}}, insinuar, {fn}}}, {fn}}}}cHFF} {cHFF}}}varepsilon qquad {fnfnfnfnfn} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfncH00}fnh00}fnfn}cH00}fnfnfnfnfnfnfn}fn}fnfnfncH00}fncH00}fnfn c}},|,mathcal Gbigr]$
Desde
$X+cleliminf_{ntoinfty}(X_n+c)^+,$
donde x⁺:= max{x,0} denota la parte positiva de un real x, la monotonicidad de la expectativa condicional (o la convención anterior) y la versión estándar del lema de Fatou para las expectativas condicionales implican
$mathbb{E}[X,|,mathcal G]+c lemathbb{E}Bigl[liminf_{ntoinfty}(X_n+c)^+,Big|,mathcal GBigr] leliminf_{ntoinfty}mathbb{E}[(X_n+c)^+,|,mathcal G]$ Casi seguro.
Desde
$c}},}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">()Xn+c)+=()Xn+c)+()Xn+c)− − ≤ ≤ Xn+c+Xn− − 1{}Xn− − ■c},{displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}leq ¿Qué?c}}," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a26f5c992d59d067621b3a4cdb83edeaf821a28" style="vertical-align: -1.338ex; width:60.085ex; height:3.509ex;"/>$
tenemos
$mathbb{E}[(X_n+c)^+,|,mathcal G] lemathbb{E}[X_n,|,mathcal G]+c+varepsilon$ casi seguro,
por lo tanto
$mathbb{E}[X,|,mathcal G]le liminf_{ntoinfty}mathbb{E}[X_n,|,mathcal G]+varepsilon$ Casi seguro.
Esto implica la afirmación.

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