Lema de Fatou
En matemáticas, el lema de Fatou establece una desigualdad que relaciona la integral de Lebesgue del límite inferior de una sucesión de funciones con el límite inferior de integrales de estas funciones. El lema lleva el nombre de Pierre Fatou.
Did you mean:Fatou 's lemma can be used to prove the Fatou–Lebesgue theorem and Lebesgue 's dominated convergence theorem.
Declaración estándar
En lo que sigue, BR≥ ≥ 0{displaystyle operatorname {Mathcal {B} {R} _{geq. denota los σ σ {displaystyle sigma }- álgebra de Borel se pone en [0,+JUEGO JUEGO ]{displaystyle [0,+infty].
Theorem—El lema de Fatou. Dado un espacio de medida ()Ω Ω ,F,μ μ ){displaystyle (Omega{mathcal {F}},mu)} y un set X▪ ▪ F,{displaystyle X 'in 'Mathcal {F}, Deja {}fn}{displaystyle {f}} ser una secuencia de ()F,BR≥ ≥ 0){displaystyle ({mathcal {f},operatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- Funciones no negativas mensurables fn:X→ → [0,+JUEGO JUEGO ]{displaystyle [0,+]. Define la función f:X→ → [0,+JUEGO JUEGO ]{displaystyle f:Xto [0,+infty] por configuración f()x)=lim infn→ → JUEGO JUEGO fn()x),{displaystyle f(x)=liminf _{nto infty }f_{n}(x),} para todos x▪ ▪ X{displaystyle xin X}.
Entonces... f{displaystyle f} es ()F,BR≥ ≥ 0){displaystyle ({mathcal {f},operatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- mensurable, y también ∫ ∫ Xfdμ μ ≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Xfndμ μ {displaystyle int _{ X}f,dmu leq liminf _{nto infty }int ¿Qué?, donde las integrales pueden ser infinitas.
La lema de Fatou sigue siendo verdadera si sus suposiciones sostienen μ μ {displaystyle mu }- Casi en todas partes. En otras palabras, es suficiente que haya un conjunto nulo N{displaystyle N} tal que los valores {}fn()x)}{displaystyle {f_{n}(x)}} no negativo para cada x▪ ▪ X∖ ∖ N.{displaystyle {xin Xsetminus N} Para ver esto, note que las integrales que aparecen en la lema de Fatou no cambian si cambiamos cada función en N{displaystyle N}.
Prueba
El lema de Fatou no requiere el teorema de convergencia monótono, pero este último se puede usar para proporcionar una prueba rápida. Una prueba directamente de las definiciones de integrales se da más adelante.
En cada caso, la prueba comienza analizando las propiedades de gn()x)=infk≥ ≥ nfk()x){displaystyle textstyle g_{n}(x)=inf _{kgeq n}f_{k}(x)}. Estas satisfacciones:
- la secuencia {}gn()x)}n{displaystyle {g_{n}(x)}_{n} no disminuye en nada x y
- gn≤ ≤ fn{displaystyle g_{n}leq F_{n}, О О n▪ ▪ N{displaystyle forall nin mathbb {N}.
Desde f()x)=lim infn→ → JUEGO JUEGO fn()x)=limn→ → JUEGO JUEGO infk≥ ≥ nfk()x)=limn→ → JUEGO JUEGO gn()x){displaystyle f(x)=liminf _{nto infty }f_{n}(x)=lim _{nto infty }inf _{kgq n}(x)=lim _{nto infty }{g_n} {x)}}}} {, inmediatamente vemos que f es mensurable.
A través del teorema de la convergencia monótona
Además,
- ∫ ∫ Xfdμ μ =∫ ∫ Xlimn→ → JUEGO JUEGO gndμ μ {displaystyle int _{X}f,dmu =int _{X}lim _{nto infty }g_{n},dmu}
Por el Teorema de la Convergencia Monótona y la propiedad (1), el límite y la integral pueden intercambiarse:
- ∫ ∫ Xfdμ μ =limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Xgndμ μ =lim infn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Xgndμ μ ≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Xfndμ μ ,{displaystyle {begin{aligned}in _{X}f,dmulim _{nto infty ¿Por qué? ¿Qué? X}g_{n},dmu\m2leq liminf _{nto infty }int ¿Por qué?
donde el último paso usó la propiedad (2).
Did you mean:From "first principles "
Para demostrar que el teorema de la convergencia monótona no está "oculto", la siguiente prueba no usa ninguna propiedad de la integral de Lebesgue excepto las establecidas aquí.
Denote by SF ()f){displaystyle operatorname {SF} (f)} el conjunto de simple ()F,BR≥ ≥ 0){displaystyle ({mathcal {f},operatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- Funciones mensurables s:X→ → [0,JUEGO JUEGO ){displaystyle s:Xto [0,infty]} tales que 0≤ ≤ s≤ ≤ f{displaystyle 0leq sleq f} on X{displaystyle X}.
Monotonicity—
- Si f≤ ≤ g{displaystyle fleq g} en todas partes X,{displaystyle X. entonces
- ∫ ∫ Xfdμ μ ≤ ≤ ∫ ∫ Xgdμ μ .{displaystyle int _{ X}f,dmu leq int _{X}g,dmu.}
- Si X1,X2▪ ▪ F{displaystyle ¿Qué? y X1⊆ ⊆ X2,{displaystyle Subseteq X_{2} entonces
- ∫ ∫ X1fdμ μ ≤ ≤ ∫ ∫ X2fdμ μ .{displaystyle int _{X_{1}f,dmu leq int - {X_{2}f,dmu.}
- Si f no negativo S=∪ ∪ i=1JUEGO JUEGO Si{displaystyle S=cup - ¿Por qué? }S_{i}, donde S1⊆ ⊆ ...... ⊆ ⊆ Si⊆ ⊆ ...... ⊆ ⊆ S{displaystyle S_{1}subseteq ldots subseteq S_{i}subseteq ldots subseteq S} es una cadena que no disminuye μ μ {displaystyle mu }- conjuntos mensurables, entonces
- ∫ ∫ Sfdμ μ =limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Snfdμ μ {displaystyle int _{S}{f,dmu}=lim _{nto infty ¿Qué?
1. Desde f≤ ≤ g,{displaystyle fleq g,} tenemos
- SF ()f)⊆ ⊆ SF ()g).{displaystyle operatorname {SF} (f)subseteq operatorname {SF} (g). }
Por definición de Lebesgue integral y las propiedades de supremum,
- ∫ ∫ Xfdμ μ =Sups▪ ▪ SF()f)∫ ∫ Xsdμ μ ≤ ≤ Sups▪ ▪ SF()g)∫ ∫ Xsdμ μ =∫ ∫ Xgdμ μ .{displaystyle int _{X}f,dmu =sup _{sin {rm {SF}(f)}int _{X}s,dmu leq sup _{sin {rm {SF}(g)}int _{X}s,dmu =int _{X}g,dmu}
2. Vamos 1X1{displaystyle {mathbf} } ser la función indicadora del conjunto X1.{displaystyle X_{1}. Puede deducirse de la definición de Lebesgue integral que
- ∫ ∫ X2f⋅ ⋅ 1X1dμ μ =∫ ∫ X1fdμ μ {displaystyle int ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1} }_{X_{1},dmu =int ¿Qué?
si lo notamos, por cada s▪ ▪ SF()f⋅ ⋅ 1X1),{displaystyle sin {rm}(fcdot {mathbf} {1}_{X_{1}}}} s=0{displaystyle s=0} fuera de X1.{displaystyle X_{1}. Combinado con la propiedad anterior, la desigualdad f⋅ ⋅ 1X1≤ ≤ f{displaystyle fcdot {mhm2 {1}_{X_{1}leq f} implicación
- ∫ ∫ X1fdμ μ =∫ ∫ X2f⋅ ⋅ 1X1dμ μ ≤ ≤ ∫ ∫ X2fdμ μ .{displaystyle int ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1}_{X_{1},dmu leq int - {X_{2}f,dmu.}
3. Primera nota de que la reclamación tiene si f es la función indicadora de un conjunto, por monotonicidad de medidas. Por linealidad, esto también implica inmediatamente la reclamación por funciones simples.
Desde cualquier función simple apoyada en Sn es simple y apoyado en X, debemos tener
- ∫ ∫ Xfdμ μ ≥ ≥ limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Snfdμ μ {displaystyle int _{X}{f,dmu }geq lim _{nto infty ♫{int ¿Qué?.
Para el reverso, suponga g zio SF(f) con ∫ ∫ Xfdμ μ − − ε ε ≤ ≤ ∫ ∫ Xgdμ μ {displaystyle textstyle int #### {X}{f,dmu}-epsilon leq int ¿Qué? Por lo anterior,
- ∫ ∫ Xfdμ μ − − ε ε ≤ ≤ ∫ ∫ Xgdμ μ =limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Sngdμ μ ≤ ≤ limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Snfdμ μ {displaystyle int _{X}{f,dmu }-epsilon leq int ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?
Ahora pasamos al teorema principal
Paso 1—gn=gn()x){displaystyle g_{n}=g_{n}(x)} es ()F,BR≥ ≥ 0){displaystyle ({mathcal {f},operatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- mensurable, por cada n≥ ≥ 1{displaystyle ngeq 1}, como es f{displaystyle f}.
Recordar los intervalos cerrados generan el Borel σ- álgebra. Así que basta mostrar, por cada t▪ ▪ [− − JUEGO JUEGO ,+JUEGO JUEGO ]{displaystyle tin [-infty+infty], eso gn− − 1()[t,+JUEGO JUEGO ])▪ ▪ F{displaystyle g_{n}{-1}([t,+infty])in {mathcal {F}}. Ahora observen que
- gn− − 1()[t,+JUEGO JUEGO ])={}x▪ ▪ X▪ ▪ gn()x)≥ ≥ t}={}x▪ ▪ XSilencioinfk≥ ≥ nfk()x)≥ ≥ t}=⋂ ⋂ k≥ ≥ n{}x▪ ▪ X▪ ▪ fk()x)≥ ≥ t}=⋂ ⋂ k≥ ≥ nfk− − 1()[t,+JUEGO JUEGO ]){displaystyle {begin{aligned}g_{n} {-1}([t,+infty ]] Xmid g_{n}(x)geq tright\\[3pt] ################################################################################################################################################################################################################################################################
Cada conjunto en el lado derecho es de F{displaystyle {fnMithcal}}, que se cierra bajo intersecciones contables. Por lo tanto, el lado izquierdo es también miembro F{displaystyle {fnMithcal}}.
Del mismo modo, es suficiente verificar que f− − 1()[0,t])▪ ▪ F{displaystyle f^{-1}([0,t])in {mathcal {F}, por cada t▪ ▪ [− − JUEGO JUEGO ,+JUEGO JUEGO ]{displaystyle tin [-infty+infty]. Desde la secuencia {}gn()x)}{displaystyle {g_{n}(x)}} no disminuye,
- f− − 1()[0,t])=⋂ ⋂ ngn− − 1()[0,t])▪ ▪ F{displaystyle f^{-1}([0,t])=bigcap _{n}g_{n}^{-1}([0,t])in {mathcal {F}}.
Paso 2—Dada una simple función s▪ ▪ SF ()f){displaystyle sin operatorname {SF} (f)} y un número real t▪ ▪ ()0,1){displaystyle tin (0,1)}, definir
- Bks,t={}x▪ ▪ X▪ ▪ t⋅ ⋅ s()x)≤ ≤ gk()x)}⊆ ⊆ X.{displaystyle B_{k}{s,t}={xin Xmid tcdot s(x)leq g_{k}}subseteq X.}
Entonces... Bks,t▪ ▪ F{displaystyle ¿Qué?, Bks,t⊆ ⊆ Bk+1s,t{displaystyle B_{k} {s,t}subseteq B_{k+1}, y X=⋃ ⋃ kBks,t{displaystyle textstyle X=bigcup ¿Qué?.
Paso 2a. Para probar la primera reclamación, escriba s como una suma ponderada de funciones indicadoras de conjuntos descomunales:
- s=.. i=1mci⋅ ⋅ 1Ai{displaystyle s=sum ¿Qué? mathbf {1}.
Entonces...
- Bks,t=⋃ ⋃ i=1m()gk− − 1()[t⋅ ⋅ ci,+JUEGO JUEGO ])∩ ∩ Ai){displaystyle B_{k} {s,t}=bigcup ¿Qué? Bigl..
Desde la imagen previa gk− − 1()[t⋅ ⋅ ci,+JUEGO JUEGO ]){displaystyle g_{k}{-1}{Bigl (}[tcdot c_{i},+infty ]{Bigr)}} del conjunto Borel [t⋅ ⋅ ci,+JUEGO JUEGO ]{displaystyle [tcdot c_{i},+infty] bajo la función mensurable gk{displaystyle g_{k} es mensurable, y σ σ {displaystyle sigma }- los álgebras están cerradas bajo la intersección finita y los sindicatos, la primera afirmación sigue.
Paso 2b. Para probar la segunda reclamación, note que, por cada k{displaystyle k} y todos x▪ ▪ X{displaystyle xin X}, gk()x)≤ ≤ gk+1()x).{displaystyle g_{k}(x)leq g_{k+1}(x). }
Paso 2c. Para probar la tercera afirmación, supongamos que existe contradicción
- x0▪ ▪ X∖ ∖ ⋃ ⋃ kBks,t=⋂ ⋂ k()X∖ ∖ Bks,t){displaystyle x_{0}in Xsetminus bigcup ¿Qué? ¿Qué?
Entonces... <math alttext="{displaystyle g_{k}(x_{0})gk()x0).t⋅ ⋅ s()x0){displaystyle g_{k}(x_{0})Seleccionadocdot s(x_{0}<img alt="{displaystyle g_{k}(x_{0}), por cada k{displaystyle k}. Tomando el límite k→ → JUEGO JUEGO {displaystyle kto infty},
- <math alttext="{displaystyle f(x_{0})leq tcdot s(x_{0})
f()x0)≤ ≤ t⋅ ⋅ s()x0).s()x0).{displaystyle f(x_{0})leq tcdot s(x_{0}) se interpreta(x_{0}). }<img alt="{displaystyle f(x_{0})leq tcdot s(x_{0})
Esto contradice nuestra suposición inicial de que s≤ ≤ f{displaystyle sleq f}.
Paso 3—Desde el paso 2 y la monotónica,
- limn∫ ∫ Bns,tsdμ μ =∫ ∫ Xsdμ μ .{displaystyle lim _{n}in ¿Qué?
Paso 4—Por todos s▪ ▪ SF ()f){displaystyle sin operatorname {SF} (f)},
- ∫ ∫ Xsdμ μ ≤ ≤ limk∫ ∫ Xgkdμ μ {displaystyle int _{X}s,dmu leq lim _{k}int ¿Qué?.
De hecho, utilizando la definición de Bks,t{displaystyle B_{k} {s,t}, la no negativa de gk{displaystyle g_{k}, y la monotónica de Lebesgue integral, tenemos
- О О k≥ ≥ 1∫ ∫ Bks,tt⋅ ⋅ sdμ μ ≤ ≤ ∫ ∫ Bks,tgkdμ μ ≤ ≤ ∫ ∫ Xgkdμ μ {displaystyle forall kgeq 1qquad int - ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué?.
De conformidad con la etapa 4, como k→ → JUEGO JUEGO {displaystyle kto infty} la desigualdad se convierte
- t∫ ∫ Xsdμ μ ≤ ≤ limk∫ ∫ Xgkdμ μ {displaystyle tint _{X}s,dmu leq lim _{k}int ¿Qué?.
Tomando el límite t↑ ↑ 1{displaystyle tuparrow 1} rendimientos
- ∫ ∫ Xsdμ μ ≤ ≤ limk∫ ∫ Xgkdμ μ {displaystyle int _{X}s,dmu leq lim _{k}int ¿Qué?,
según sea necesario.
Paso 5—Para completar la prueba, aplicamos la definición de Lebesgue integral a la desigualdad establecida en el Paso 4 y tenemos en cuenta que gn≤ ≤ fn{displaystyle g_{n}leq F_{n}:
- ∫ ∫ Xfdμ μ =Sups▪ ▪ SF ()f)∫ ∫ Xsdμ μ ≤ ≤ limk∫ ∫ Xgkdμ μ =lim infk∫ ∫ Xgkdμ μ ≤ ≤ lim infk∫ ∫ Xfkdμ μ {displaystyle {begin{aligned}in _{X}f,dmu=sup _{sin operatorname {SF}(f)}int _{X}s,dmu\\c\cH00cH00_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_009_00_009_009_00_009_009_009_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00_00__00_00_00_009_009_00_009_00_009_009________________ ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué?
La prueba está completa.
Ejemplos de desigualdad estricta
Equipar el espacio S{displaystyle S. con el Borel σ-algebra y la medida Lebesgue.
- Ejemplo para un espacio de probabilidad: Vamos S=[0,1]{displaystyle S=[0,1]} denota el intervalo de unidad. Por cada número natural n{displaystyle n} definir
- fn()x)={}nparax▪ ▪ ()0,1/n),0De lo contrario.{displaystyle f_{n}(x)={begin{cases}n limit{text{for }xin (0,1/n),nt {text{otherwise.}end{cases}}}}}}
- Ejemplo con convergencia uniforme: Vamos S{displaystyle S. denota el conjunto de todos los números reales. Define
- fn()x)={}1nparax▪ ▪ [0,n],0De lo contrario.{displaystyle f_{n}(x)={begin{cases}{frac {1}{n} {text{for }}xin [0,n], limit {text{otherwise.}end{cases}}}}}}}}}}}} {begin{cases} {}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {
Estas secuencias ()fn)n▪ ▪ N{displaystyle (f_{n}_{nin mathbb {N}} convergencia S{displaystyle S. punto (respectivamente uniforme) a la función cero (con cero integral), pero cada fn{displaystyle f_{n} tiene uno integral.
El papel de la no negatividad
Una suposición adecuada sobre las partes negativas de la secuencia f1, f2,... de funciones es necesario para el lema de Fatou, como muestra el siguiente ejemplo. Sea S la media recta [0,∞) con el σ-álgebra de Borel y la medida de Lebesgue. Para cada número natural n define
- fn()x)={}− − 1nparax▪ ▪ [n,2n],0De lo contrario.{displaystyle f_{n}(x)={begin{cases}-{frac {1}{n} {text{for }xin [n,2n], restring {text{otherwise.}end{cases}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {
Esta secuencia converge uniformemente en S a la función cero y el límite, 0, se alcanza en un número finito de pasos: para cada x ≥ 0, si n > x, luego fn(x) = 0. Sin embargo, cada función fn tiene integral −1. Contrariamente al lema de Fatou, este valor es estrictamente menor que la integral del límite (0).
Como se analiza en § Extensiones y variaciones del lema de Fatou a continuación, el problema es que no hay un límite integrable uniforme en la secuencia desde abajo, mientras que 0 es el límite uniforme desde arriba.
Lema inverso de Fatou
Sea f1, f2,... ser una secuencia de funciones medibles de valor real extendidas definidas en un espacio de medida (S,Σ,μ). Si existe una función integrable no negativa g en S tal que fn ≤ g para todos los n, entonces
- lim supn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Sfndμ μ ≤ ≤ ∫ ∫ Slim supn→ → JUEGO JUEGO fndμ μ .{displaystyle limsup _{nto infty }int ¿Por qué? _{S}limsup _{nto infty }f_{n},dmu.}
Nota: Aquí. g integrable significa que g es mensurable y eso <math alttext="{displaystyle textstyle int _{S}g,dmu ∫ ∫ Sgdμ μ .JUEGO JUEGO {displaystyle textstyle int - No.<img alt="textstyleint_S g,dmu.
Bosquejo de prueba
Aplicamos linealidad de Lebesgue integral y la lema de Fatou a la secuencia g− − fn.{displaystyle g-f_{n} Desde <math alttext="{displaystyle textstyle int _{S}g,dmu ∫ ∫ Sgdμ μ .+JUEGO JUEGO ,{displaystyle textstyle int - No.<img alt="{displaystyle textstyle int _{S}g,dmu esta secuencia se define μ μ {displaystyle mu }- Casi en todas partes y no negativo.
Did you mean:Extensions and variations of Fatou 's lemma
Límite inferior integrable
Sea f1, f2,... ser una secuencia de funciones medibles de valor real extendidas definidas en un espacio de medida (S,Σ,μ). Si existe una función integrable g en S tal que fn ≥ − g para todo n, entonces
- ∫ ∫ Slim infn→ → JUEGO JUEGO fndμ μ ≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Sfndμ μ .{displaystyle int _{S}liminf _{nto infty }f_{n},dmu leq liminf _{nto infty }int ¿Qué?
Prueba
Did you mean:Apply Fatou 's lemma to the non-negative sequence given by fn + g.
Convergencia de puntos
Si en la configuración anterior la secuencia f1, f2,... converge puntualmente a una función f μ-casi en todas partes en S, entonces
- ∫ ∫ Sfdμ μ ≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Sfndμ μ .{displaystyle int _{S}f,dmu leq liminf _{nto infty }int - ¿Qué?
Prueba
Tenga en cuenta que f tiene que coincidir con el límite inferior de las funciones fn en casi todas partes, y que los valores del integrando en un conjunto de medida cero no tienen influencia en el valor de la integral.
Convergencia en medida
La última afirmación también se cumple, si la secuencia f1, f2,... converge en medida a una función f.
Prueba
Existe una subsecuencia tal que
- limk→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Sfnkdμ μ =lim infn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Sfndμ μ .{displaystyle lim _{kto infty }int ¿Por qué? =liminf _{nto infty ¿Qué?
Dado que esta subsecuencia también converge en medida a f, existe una subsecuencia adicional, que converge puntualmente a f en casi todas partes, de ahí la variación anterior de Fatou' El lema es aplicable a esta subsubsecuencia.
Did you mean:Fatou 's Lemma with Varying Measures
En todas las declaraciones anteriores del lema de Fatou, la integración se realizó con respecto a una sola medida fija μ. Supongamos que μn es una secuencia de medidas en el espacio medible (S,Σ) tal que (ver Convergencia de medidas)
- μ μ n()E)→ → μ μ ()E),О О E▪ ▪ F.{displaystyle mu _{n}(E)to mu (E),~forall Ein {mathcal {F}.}
Entonces, con fn funciones integrables no negativas y siendo f su límite puntual inferior, tenemos
- ∫ ∫ Sfdμ μ ≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Sfndμ μ n.{displaystyle int _{S}f,dmu leq liminf _{nto infty }int ¿Por qué?
Prueba Demostraremos algo un poco más fuerte aquí. Es decir, vamos a permitir fn para converger μ-casi en todas partes en un subconjunto E de S. Buscamos demostrar que - ∫ ∫ Efdμ μ ≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Efndμ μ n.{displaystyle int _{E}f,dmu leq liminf _{nto infty }int ¿Por qué? - ¿Qué?
Vamos
- K={}x▪ ▪ ESilenciofn()x)→ → f()x)}{displaystyle K={xin E imperf_{n}(x)rightarrow f(x)}.
Entonces... μ(E-K)=0 y
- ∫ ∫ Efdμ μ =∫ ∫ E− − Kfdμ μ ,∫ ∫ Efndμ μ =∫ ∫ E− − Kfndμ μ О О n▪ ▪ N.{displaystyle int _{E}f,dmu =int ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ {N}
Así pues, reemplazando E por E-K podemos asumir que fn converger f pointwise en E. Next, note que para cualquier función simple φ tenemos
- ∫ ∫ Eφ φ dμ μ =limn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Eφ φ dμ μ n.{displaystyle int _{ E}phi ,dmu =lim _{nto infty }int _{ E}phi ,dmu _{n}
Por lo tanto, por la definición de la Lebesgue Integral, es suficiente mostrar que si φ es cualquier función simple no negativa menos o igual a f entonces
- ∫ ∫ Eφ φ dμ μ ≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Efndμ μ n{displaystyle int _{ E}phi ,dmu leq liminf _{nrightarrow infty }int ¿Qué?
Vamos a ser el valor no negativo mínimo φ. Define
- a}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A={}x▪ ▪ ESilencioφ φ ()x)■a}{displaystyle A={xin E durablephi (x)}}a} " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8af16ce5e15d47dc63f37e6a20ae150e20a57b" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.612ex; height:2.843ex;"/>
Primero consideramos el caso cuando ∫ ∫ Eφ φ dμ μ =JUEGO JUEGO {displaystyle int _{ E}phi ,dmu =infty }. Debemos tenerlo μ(A) es infinita desde
- ∫ ∫ Eφ φ dμ μ ≤ ≤ Mμ μ ()A),{displaystyle int _{E}phi ,dmuleq Mmu (A),}
Donde M es el valor máximo (necesariamente finito) de que φ alcanza.
A continuación, definimos
- a~forall kgeq n}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">An={}x▪ ▪ ESilenciofk()x)■aО О k≥ ≥ n}.{displaystyle A_{n}={xin E imperf_{k}(x) confianzaa~forall kgeq n}a~forall kgeq n }. " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf1c4742450624afac34f585de959bd26fa28ab" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.897ex; height:2.843ex;"/>
Tenemos eso
- A⊆ ⊆ ⋃ ⋃ nAn⇒ ⇒ μ μ ()⋃ ⋃ nAn)=JUEGO JUEGO .{displaystyle Asubseteq bigcup _{n}A_{n} Rightarrow mu (bigcup _{n})=infty.}
Pero... An es una secuencia creciente anida de funciones y por lo tanto, por la continuidad de abajo μ,
- limn→ → JUEGO JUEGO μ μ ()An)=JUEGO JUEGO .{displaystyle lim _{nrightarrow infty }mu (A_{n}=infty.}.
Así,
- limn→ → JUEGO JUEGO μ μ n()An)=μ μ ()An)=JUEGO JUEGO .{displaystyle lim _{nto infty }mu - Sí..
Al mismo tiempo,
- ∫ ∫ Efndμ μ n≥ ≥ aμ μ n()An)⇒ ⇒ lim infn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Efndμ μ n=JUEGO JUEGO =∫ ∫ Eφ φ dμ μ ,{displaystyle int ¿Por qué? Rightarrow liminf _{nto infty }int ¿Por qué? ¿Qué?
probar la reclamación en este caso.
El caso restante es cuando <math alttext="{displaystyle int _{E}phi ,dmu ∫ ∫ Eφ φ dμ μ .JUEGO JUEGO {displaystyle int _{ E}phi ,dmu] Secuentamente<img alt="int_{E}phi, dmu. Debemos tenerlo μ(A) es finito. Denote, as above, by M el valor máximo φ y arreglar ε]0. Define
- (1-epsilon)phi (x)~forall kgeq n}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">An={}x▪ ▪ ESilenciofk()x)■()1− − ε ε )φ φ ()x)О О k≥ ≥ n}.{displaystyle A_{n}={xin E imperf_{k}(x) Conf(1-epsilon)phi (x)~forall kgeq n}.}(1-epsilon)phi(x)~forall kgeq n}. " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db48a41407009d31fe47e1483aa1f0fd59309599" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.948ex; height:2.843ex;"/>
Entonces... An es una secuencia creciente anida de conjuntos cuyo sindicato contiene A. Así, A-An es una secuencia decreciente de conjuntos con intersección vacía. Desde A tiene una medida finita (por eso necesitábamos considerar los dos casos separados),
- limn→ → JUEGO JUEGO μ μ ()A− − An)=0.{displaystyle lim _{nrightarrow infty }mu (A-A_{n}=0.}
Así, existe tal que
- <math alttext="{displaystyle mu (A-A_{k})μ μ ()A− − Ak).ε ε ,О О k≥ ≥ n.{displaystyle mu (A-A-A_{k}) se hizo epsilon~forall kgeq n.}<img alt=" mu(A-A_k)
Por lo tanto, desde
- limn→ → JUEGO JUEGO μ μ n()A− − Ak)=μ μ ()A− − Ak),{displaystyle lim _{nto infty }mu ¿Qué?
existe N tales que
- <math alttext="{displaystyle mu _{k}(A-A_{k})μ μ k()A− − Ak).ε ε ,О О k≥ ≥ N.{displaystyle mu _{k}(A-A_{k}) seleccionóepsilon~forall kgeq N.}<img alt=" mu_k(A-A_k)
Por lo tanto, k≥ ≥ N{displaystyle kgeq N}
- ∫ ∫ Efkdμ μ k≥ ≥ ∫ ∫ Akfkdμ μ k≥ ≥ ()1− − ε ε )∫ ∫ Akφ φ dμ μ k.{displaystyle int ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué? - ¿Qué?
Al mismo tiempo,
- ∫ ∫ Eφ φ dμ μ k=∫ ∫ Aφ φ dμ μ k=∫ ∫ Akφ φ dμ μ k+∫ ∫ A− − Akφ φ dμ μ k.{displaystyle int _{ E}phi ,dmu _{k}=int ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ - Hola.
Por lo tanto,
- ()1− − ε ε )∫ ∫ Akφ φ dμ μ k≥ ≥ ()1− − ε ε )∫ ∫ Eφ φ dμ μ k− − ∫ ∫ A− − Akφ φ dμ μ k.{displaystyle (1-epsilon)int ##### ########################################################################################################################################################################################################################################################### ################################################################################################################################################################################################################################################################ - Hola.
Combinar estas desigualdades da que
- ∫ ∫ Efkdμ μ k≥ ≥ ()1− − ε ε )∫ ∫ Eφ φ dμ μ k− − ∫ ∫ A− − Akφ φ dμ μ k≥ ≥ ∫ ∫ Eφ φ dμ μ k− − ε ε ()∫ ∫ Eφ φ dμ μ k+M).{displaystyle int ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? }
Por lo tanto, enviar ε a 0 y tomar el liminf en n, lo tenemos
- lim infn→ → JUEGO JUEGO ∫ ∫ Efndμ μ k≥ ≥ ∫ ∫ Eφ φ dμ μ ,{displaystyle liminf _{nrightarrow infty }int ¿Por qué?
completando la prueba.
Fatou 's lemma for conditional expectations
En teoría de probabilidad, por un cambio de notación, las versiones anteriores del lema de Fatou son aplicables a secuencias de variables aleatorias X1, X2,.. definido en un espacio de probabilidad ()Ω Ω ,F,P){displaystyle scriptstyle (Omega,{mathcal {F},,mathbb {P}}; los integrales se convierten en expectativas. Además, también hay una versión para las expectativas condicionales.
Versión estándar
Vamos X1, X2,.. ser una secuencia de variables aleatorias no negativas en un espacio de probabilidad ()Ω Ω ,F,P){displaystyle scriptstyle (Omega{mathcal {F},mathbb {P})} y dejar G⊂ ⊂ F{displaystyle scriptstyle {mathcal {G},subset ,{mathcal {F}} ser un sub-σ-algebra. Entonces...
- E[lim infn→ → JUEGO JUEGO XnSilencioG]≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO E[XnSilencioG]{displaystyle mathbb {E} {Bigl [}liminf _{nto infty }X_{n},{Big durable},{mathcal {G}{Bigr]}leq liminf _{nto infty },,mathbb {E}} [X_{n} "Mathcal {G}]Casi seguro.
Nota: La expectativa condicional para variables aleatorias no negativas siempre está bien definida, no se necesita una expectativa finita.
Prueba
Además de un cambio de notación, la demostración es muy similar a la de la versión estándar del lema de Fatou anterior, sin embargo, se debe aplicar el teorema de convergencia monótono para expectativas condicionales.
Sea X el límite inferior de Xn. Para cada número natural k defina puntualmente la variable aleatoria
- Yk=infn≥ ≥ kXn.{displaystyle Y... ¿Qué?
Entonces la secuencia Y1, Y2,... es creciente y converge puntualmente a X. Para k ≤ n, tenemos Yk ≤ Xn, de modo que
- E[YkSilencioG]≤ ≤ E[XnSilencioG]{displaystyle mathbb [Y_{k] {G}]leq mathbb {E} [X_{n} sobre la vida {fnMitcal}}casi seguro
por la monotonicidad de la expectativa condicional, por lo tanto
- E[YkSilencioG]≤ ≤ infn≥ ≥ kE[XnSilencioG]{displaystyle mathbb {E} [Y_{k} sobrevivió {mathcal {G}]leq inf _{ngeq k}mathbb {E} [X_{n} sobre la vida {fnMitcal}}casi seguro,
porque la unión contable de los conjuntos excepcionales de probabilidad cero es nuevamente un conjunto nulo. Usando la definición de X, su representación como límite puntual de Yk, el teorema de convergencia monótono para condicional expectativas, la última desigualdad, y la definición del límite inferior, se sigue que casi con seguridad
- E[lim infn→ → JUEGO JUEGO XnSilencioG]=E[XSilencioG]=E[limk→ → JUEGO JUEGO YkSilencioG]=limk→ → JUEGO JUEGO E[YkSilencioG]≤ ≤ limk→ → JUEGO JUEGO infn≥ ≥ kE[XnSilencioG]=lim infn→ → JUEGO JUEGO E[XnSilencioG].{displaystyle {begin{aligned}mathbb {E} {Bigl [}liminf _{nto infty }X_{n},{Big Н}\,{mathcal {G}{Bigr]}} {cH00}}}} {Bigr}}}}} {Bigr}}}} {Bigr}}}}}}} { {E} [X sometida{mathcal {G}]=Mathbb {E} {Bigl [}lim _{kto infty - ¿Por qué? # Mathbb {E} [Y_{k} sobrevivir{mathcal {G}]\fng}mthbb {E} [X_{n} {s} {s}]=liminf _{nto infty },mathbb {E} [X_{n}tuvo {mathcal {}]
Extensión a partes negativas uniformemente integrables
Vamos X1, X2,... ser una secuencia de variables aleatorias en un espacio de probabilidad ()Ω Ω ,F,P){displaystyle scriptstyle (Omega{mathcal {F},mathbb {P})} y dejar G⊂ ⊂ F{displaystyle scriptstyle {mathcal {G},subset ,{mathcal {F}} ser un sub-σ-algebra. Si las partes negativas
- Xn− − :=max{}− − Xn,0},n▪ ▪ N,{displaystyle ¿Qué? No.
son uniformemente integrables con respecto a la expectativa condicional, en el sentido de que, para ε > 0 existe una c > 0 tal que
- c}},|,{mathcal {G}}{bigr ]}E[Xn− − 1{}Xn− − ■c}SilencioG].ε ε ,para todosn▪ ▪ N,casi seguro{fn} {fn} {fn} {fn}fnfn}}}}\fn}fn\\cH00}\, {cHFF}}}}cHFF}cH00}cH00} {cH00} {cH00}fn}cH00}cH00} {cH00}fn}}}}}}fn}cH00}}}fn}}}cH00}fn}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}fn}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00}}cH00}cH00}}}cH00}}cH00}}}}}}}cHc}},|,mathcal Gbigr],
entonces
- E[lim infn→ → JUEGO JUEGO XnSilencioG]≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO E[XnSilencioG]{displaystyle mathbb {E} {Bigl [}liminf _{nto infty }X_{n},{Big durable},{mathcal {G}{Bigr]}leq liminf _{nto infty },,mathbb {E}} [X_{n} "Mathcal {G}]Casi seguro.
Nota: En el plató donde
- X:=lim infn→ → JUEGO JUEGO Xn{displaystyle X:=liminf _{nto infty }X_{n}
satisface
- E[max{}X,0}SilencioG]=JUEGO JUEGO ,{displaystyle mathbb {E} [max{X,0}\\\,{mthcal {G}]=infty}
el lado izquierdo de la desigualdad se considera más infinito. La expectativa condicional del límite inferior podría no estar bien definida en este conjunto, porque la expectativa condicional de la parte negativa también podría ser más infinito.
Prueba
Sea ε > 0. Debido a la integrabilidad uniforme con respecto a la expectativa condicional, existe un c > 0 tal que
- c}},|,{mathcal {G}}{bigr ]}E[Xn− − 1{}Xn− − ■c}SilencioG].ε ε para todosn▪ ▪ N,casi seguro.{fnfn} {fnfnfn}fnfnfnfn}}, insinuar, {fn}}}, {fn}}}}cHFF} {cHFF}}}varepsilon qquad {fnfnfnfnfn} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfncH00}fnh00}fnfn}cH00}fnfnfnfnfnfnfn}fn}fnfnfncH00}fncH00}fnfnc}},|,mathcal Gbigr]
Desde
- X+c≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO ()Xn+c)+,{displaystyle X+cleq liminf _{nto infty }(X_{n}+c)^{+},}
donde x+:= max{x,0} denota la parte positiva de un real x, la monotonicidad de la expectativa condicional (o la convención anterior) y la versión estándar del lema de Fatou para las expectativas condicionales implican
- E[XSilencioG]+c≤ ≤ E[lim infn→ → JUEGO JUEGO ()Xn+c)+SilencioG]≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO E[()Xn+c)+SilencioG]{displaystyle mathbb {E} [X, paciencia,{mathcal {G}]+cleq mathbb {E} {Bigl [}liminf _{nto infty }(X_{n}+c)^{+}, {fnMicrosoft Sans Serif}leq liminf _{nto infty # Mathbb {E} [X_{n}+c)} {fnMitcal {G}}}Casi seguro.
Desde
- c}},}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">()Xn+c)+=()Xn+c)+()Xn+c)− − ≤ ≤ Xn+c+Xn− − 1{}Xn− − ■c},{displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}leq ¿Qué?c}}," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a26f5c992d59d067621b3a4cdb83edeaf821a28" style="vertical-align: -1.338ex; width:60.085ex; height:3.509ex;"/>
tenemos
- E[()Xn+c)+SilencioG]≤ ≤ E[XnSilencioG]+c+ε ε {displaystyle mathbb {E} [X_{n}+c)^{+}, resist,{mathcal {G}]leq mathbb {E} [X_{n}, sometida,{mathcal {G}]+c+varepsilon }casi seguro,
por lo tanto
- E[XSilencioG]≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO E[XnSilencioG]+ε ε {displaystyle mathbb {E} [X, paciencia,{mathcal {G}]leq liminf _{nto infty # Mathbb {E} [X_{n}, sometida,{mathcal {G}]+varepsilon }Casi seguro.
Esto implica la afirmación.
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