Lema de división

En matemáticas, y más específicamente en álgebra homológica, el lema de división establece que en cualquier categoría abeliana, los siguientes enunciados son equivalentes para una sucesión exacta corta

0restablecimiento restablecimiento Arestablecimiento restablecimiento qBrestablecimiento restablecimiento rCrestablecimiento restablecimiento 0.{displaystyle 0longrightarrow A 'mathrel {overset {q}{longrightarrow } Bmathrel {overset {r}{longrightarrow } Clongrightarrow 0.}

1. Partida izquierda

   Existe un morfismo t: B → A tales que tq es la identidad A, id_A,

2. Partida derecha

   Existe un morfismo u: C → B tales que rupias es la identidad C, id_C,

3. Monto directo

   Hay un isomorfismo h desde B a la suma directa A y C, tal que hq es la inyección natural de A en la suma directa, y rh− − 1{displaystyle rh^{-1} es la proyección natural de la suma directa sobre C.

Si alguna de estas afirmaciones se cumple, la secuencia se denomina secuencia exacta dividida, y se dice que la secuencia divide.

En la secuencia exacta corta anterior, donde la secuencia se divide, permite refinar el primer teorema de isomorfismo, que establece que:

C. B/ker r. B/q()A) (es decir, C isomorfo al coimagen de r o cokernel of q)

a:

B = q()A⊕ u()C) A ⊕ C

donde el primer teorema de isomorfismo es solo la proyección sobre C.

Es una generalización categórica del teorema de rango-nulidad (en la forma V ≅ ker T ⊕ im T) en álgebra lineal.

Prueba para la categoría de grupos abelianos

3. ⇒ 1. y 3. ⇒ 2.

Primero, para mostrar que 3. implica tanto 1. como 2., asumimos 3. y tomamos como t la proyección natural de la suma directa en A, y toma como u la inyección natural de C en la suma directa.

1. ⇒ 3.

Para probar que 1. implica 3., primero tenga en cuenta que cualquier miembro de B está en el conjunto (ker t + im q). Esto sigue ya que para todos los b en B, b = (b − qt(b)) + qt(b); qt(b) está en im q, y b − qt(b) está en ker t, ya que

t()b − qt()b) = t()b) − tqt()b) t()b−tq)t()b) t()b) − t()b) = 0.

A continuación, la intersección de im q y ker t es 0, ya que si existe a en A tal que q(a) = b, y t(b) = 0, luego 0 = tq(a) = a; y por lo tanto, b = 0.

Esto prueba que B es la suma directa de im q y ker t. Entonces, para todos los b en B, b se puede identificar de forma única mediante a en <span class="texhtml" A, k en ker t, tal que b = q(a) + k.

Por exactitud ker r = im q. La subsecuencia B ⟶ C ⟶ 0 implica que r está en; por lo tanto, para cualquier c en C existe alguna b = q(a) + k tal que c = r(b) = r(q (a) + k) = r(k). Por lo tanto, para cualquier c en C, existe k en ker t tal que c = r(k), y r(ker t) = C.

Si r(k) = 0, entonces k está en im q; desde la intersección de im q y ker t = 0, entonces k = 0. Por lo tanto, la restricción r: ker t → C es un isomorfismo; y ker t es isomorfo a C.

Finalmente, im q es isomorfo a A debido a la exactitud de 0 ⟶ A ⟶ B; entonces B es isomorfo a la suma directa de A y C, lo que demuestra (3).

2. ⇒ 3.

Para mostrar que 2. implica 3., seguimos un argumento similar. Cualquier miembro de B está en el conjunto ker r + im u ; ya que para todos los b en B, b = (b − ur(b)) + ur (b), que está en ker r + im u. La intersección de ker r y im u es 0, ya que si r(b) = 0 y u(c) = b, luego 0 = ru(c) = c.

Por exactitud, im q = ker r, y desde q es una inyección, im q es isomorfo a A , entonces A es isomorfo a ker r . Como ru es una biyección, u es una inyección, y por lo tanto, im u es isomorfo a C. Entonces B es de nuevo la suma directa de A y C.

Una "tontería abstracta" alternativa La prueba del lema de división puede formularse enteramente en términos de teoría de categorías.

Grupos no abelianos

En la forma establecida aquí, el lema de división no se cumple en la categoría completa de grupos, que no es una categoría abeliana.

Parcialmente cierta

Es cierto en parte: si una secuencia exacta corta de grupos se deja dividida o una suma directa (1. o 3.), entonces se cumplen todas las condiciones. Para una suma directa esto es claro, ya que uno puede inyectar o proyectar a los sumandos. Para una secuencia dividida por la izquierda, el mapa t × r: B → A × C da un isomorfismo, entonces B es una suma directa (3.), y así invirtiendo el isomorfismo y componiendo con la inyección natural C → A × C da como resultado una inyección C → B dividiendo r (2.).

Sin embargo, si una secuencia exacta corta de grupos se divide por la derecha (2.), entonces no es necesario que se divida por la izquierda o sea una suma directa (ni 1. ni 3. siguen): el problema es que la imagen de la derecha la división no tiene por qué ser normal. Lo que es cierto en este caso es que B es un producto semidirecto, aunque en general no es un producto directo.

Contraejemplo

Para formar un contraejemplo, tome el grupo no abeliano más pequeño B ≅ S₃, el grupo simétrico en tres letras. Sea A el subgrupo alterno y sea C = B/A ≅ {±1}. Deje que q y r denoten el mapa de inclusión y el mapa de signos respectivamente, de modo que

0restablecimiento restablecimiento Arestablecimiento restablecimiento qBrestablecimiento restablecimiento rCrestablecimiento restablecimiento 0{displaystyle 0longrightarrow A 'mathrel {stackrel {q}{longrightarrow } Bmathrel {stackrel {r}{longrightarrow } Clongrightarrow 0}

es una sucesión exacta corta. 3. falla, porque S₃ no es abeliano, pero 2. se cumple: podemos definir u: C → B asignando el generador a cualquier ciclo de dos. Tenga en cuenta que 1. falla: cualquier mapa t: B → A debe mapear cada ciclo de dos a la identidad porque el mapa tiene que ser un homomorfismo de grupo, mientras que el orden de un ciclo de dos es 2, que no se puede dividir por el orden de los elementos en A que no sea el elemento de identidad, que es 3 como A es el subgrupo alterno de S₃, o sea, el grupo cíclico de orden 3. Pero cada permutación es un producto de dos ciclos, entonces t es el mapa trivial, de donde tq: A → A es el mapa trivial, no la identidad.