Lema de Dehn

En matemáticas, el lema de Dehn afirma que un mapa lineal por partes de un disco en una variedad de 3, con la singularidad del mapa establecida en el disco, se puede dividir en tres. s interior, implica la existencia de otro mapa lineal por partes del disco que es una incrustación y es idéntico al original en el límite del disco.

Se pensaba que Max Dehn (1910) había demostrado este teorema, pero Hellmuth Kneser (1929, página 260) encontró una laguna en la demostración. El estatus del lema de Dehn permaneció en duda hasta que Christos Papakyriakopoulos (1957, 1957b), utilizando el trabajo de Johansson (1938), lo demostró utilizando su "construcción de torre". También generalizó el teorema al teorema del bucle y al teorema de la esfera.

Papakyriakopoulos demostró el lema de Dehn utilizando una torre de espacios de cobertura. Poco después, Arnold Shapiro y J.H.C. Whitehead (1958) dio una prueba sustancialmente más simple, demostrando un resultado más poderoso. Su prueba utilizó Papakyriakopoulos' construcción en torre, pero con dobles cubiertas, así:

• Paso 1: Repetidamente tome una doble cubierta conectada de un barrio regular de la imagen del disco para producir una torre de espacios, cada uno una doble cubierta conectada de la que está debajo. El mapa del disco se puede levantar a todas las etapas de esta torre. Cada doble cubierta simplifica las singularidades de la incrustación del disco, por lo que sólo es posible tomar un número finito de cubiertas dobles, y el nivel superior de esta torre no tiene cubiertas dobles conectadas.
• Paso 2. Si el 3-manifold no tiene cubiertas dobles conectadas, todos sus componentes de límites son 2-esféricos. En particular, el nivel superior de la torre tiene esta propiedad, y en este caso es fácil modificar el mapa del disco para que sea una incrustación.
• Paso 3. La incrustación del disco ahora se puede empujar por la torre de dobles tapas un paso a la vez, cortando y pegando el 2-disk.

• Bing, R.H. (1983), La topología geométrica de 3 mangas, American Mathematical Society, p. 183, ISBN 0-8218-1040-5
• Dehn, Max (1910), "Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes", Mathematische Annalen, 69: 137–168, doi:10.1007/BF01455155, S2CID 121316558
• Jaco, William; Rubinstein, Hyam (1989), "PL Cirugía Equivariante y Decomposiciones Invariantes de 3-Manifolds", Avances en Matemáticas, 73 (2): 149–191, doi:10.1016/0001-8708(89)90067-4
• Johansson, Ingebrigt (1935), "Über singuläre Elementarflächen und das Dehnsche Lemma", Mathematische Annalen, 110: 312-330, doi:10.1007/BF01448029, S2CID 123540473
• Johansson, Ingebrigt (1938), "Teil 2, Thematische Annalen", Mathematische Annalen, 115: 658–669, doi:10.1007/BF01448964, S2CID 121541094
• Kneser, Hellmuth (1929), "Geschlossene Flächen en dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten", Jber. Deutsch. Matemáticas., 38: 248–260
• Papakyriakopoulos, C. D. (1957), "On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 43 (1): 169–172, Bibcode:1957PNAS...43..169P, doi:10.1073/pnas.43.1.169, MR 0082671, PMC 528404, PMID 16589993
• Papakyriakopoulos, C. D. (1957b), "On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots", Anales de Matemáticas, 66 (1): 1–26, doi:10.2307/1970113, JSTOR 1970113, MR 0090053, PMC 528404, PMID 16589993
• Rubinstein, J.H. (2003), El lema de Dehn y el teorema de bucle, Topología de baja dimensión, nuevos estudios en matemáticas avanzadas, Vol 3 International Press, pp. 61–68
• Stallings, J.R. (1971), Teoría del grupo y múltiples dimensiones, Yale University Press, ISBN 0-300-01397-3
• Shapiro, Arnold; Whitehead, J.H.C. (1958), "Una prueba y extensión de la lema de Dehn", Boletín de la American Mathematical Society, 64 (4), AMS: 174-178, doi:10.1090/S0002-9904-1958-10198-6

• prueba de Papakyriakopoulos de 1957