Lema de Borel-Cantelli

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Teorema en probabilidad

En la teoría de la probabilidad, el lema de Borel-Cantelli es un teorema sobre secuencias de eventos. En general, es un resultado en la teoría de la medida. Lleva el nombre de Émile Borel y Francesco Paolo Cantelli, quienes dieron expresión al lema en las primeras décadas del siglo XX. Un resultado relacionado, a veces llamado segundo lema de Borel-Cantelli, es una inversa parcial del primer lema de Borel-Cantelli. El lema establece que, bajo ciertas condiciones, un evento tendrá probabilidad de cero o uno. En consecuencia, es el más conocido de una clase de teoremas similares, conocidos como leyes cero-uno. Otros ejemplos incluyen la ley cero-uno de Kolmogorov y la ley cero-uno de Hewitt-Savage.

Enunciado del lema para espacios de probabilidad

Sea E₁,E₂,... una secuencia de eventos en algún espacio de probabilidad. El lema de Borel-Cantelli establece:

Borel-Cantelli lemma—Si la suma de las probabilidades de los eventos {E_n} es finito

<math alttext="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }Pr(E_{n}).. n=1JUEGO JUEGO Pr()En).JUEGO JUEGO ,{displaystyle sum _{n=1} {infty }Pr(E_{n})se hizoinfty}<img alt="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }Pr(E_{n})

entonces la probabilidad que infinitamente muchos de ellos ocurren es 0, es decir,

{displaystyle Pr left(limsup _{nto infty }E_{n}right)=0.}

Aquí, "lim sup" denota el límite supremo de la secuencia de eventos, y cada evento es un conjunto de resultados. Es decir, lim sup E_n es el conjunto de resultados que ocurren infinitamente muchas veces dentro de la secuencia infinita de eventos (E_n). Explícitamente,

{displaystyle limsup _{nto infty }E_{n}=bigcap _{n=1}^{infty }bigcup _{k=n}^{infty }E_{k}.}

El conjunto lim sup E_n a veces se denota {E_n i.o. }, donde "i.o." significa "infinitamente a menudo". Por lo tanto, el teorema afirma que si la suma de las probabilidades de los eventos E_n es finita, entonces el conjunto de todos los resultados que son &# 34;repetido" infinitamente muchas veces debe ocurrir con probabilidad cero. Nótese que no se requiere ningún supuesto de independencia.

Ejemplo

Supongamos que (X_n) es una secuencia de variables aleatorias con Pr(X_n = 0) = 1/n² para cada n. La probabilidad de que X_n = 0 ocurra para infinitos n es equivalente a la probabilidad de la intersección de infinitamente muchos [X_n = 0] eventos. La intersección de infinitos eventos de este tipo es un conjunto de resultados comunes a todos ellos. Sin embargo, la suma ΣPr(X_n = 0) converge a $π$ ²/6 ≈ 1,645 < ∞, y, por lo tanto, el lema de Borel-Cantelli establece que el conjunto de resultados que son comunes a una cantidad infinita de tales eventos ocurre con probabilidad cero. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra X_n = 0 para infinitos n es 0. Casi con seguridad (es decir, con probabilidad 1), X_n es distinto de cero para todos excepto para un número finito de n.

Prueba

Sea (E_n) una secuencia de eventos en algún espacio de probabilidad.

La secuencia de eventos ${textstyle left{bigcup _{n=N}^{infty }E_{n}right}_{N=1}^{infty }}$ no está aumentando:

{displaystyle bigcup _{n=1}^{infty }E_{n}supseteq bigcup _{n=2}^{infty }E_{n}supseteq cdots supseteq bigcup _{n=N}^{infty }E_{n}supseteq bigcup _{n=N+1}^{infty }E_{n}supseteq cdots supseteq limsup _{nto infty }E_{n}.}

Por continuidad desde arriba,

{displaystyle Pr(limsup _{nto infty }E_{n})=lim _{Nto infty }Pr left(bigcup _{n=N}^{infty }E_{n}right).}

Por subaditividad,

{displaystyle Pr left(bigcup _{n=N}^{infty }E_{n}right)leq sum _{n=N}^{infty }Pr(E_{n}).}

Por suposición original, $<math alttext="{textstyle sum _{n=1}^{infty }Pr(E_{n}).. n=1JUEGO JUEGO Pr()En).JUEGO JUEGO .{textstyle sum _{n=1} {infty }Pr(E_{n})se hizoinfty.}<img alt="{textstyle sum _{n=1}^{infty }Pr(E_{n})$ Como la serie ${textstyle sum _{n=1}^{infty }Pr(E_{n})}$ converge,

{displaystyle lim _{Nto infty }sum _{n=N}^{infty }Pr(E_{n})=0,}

Espacios de medidas generales

Para espacios de medidas generales, el lema de Borel-Cantelli toma la siguiente forma:

Borel-Cantelli Lemma para espacios de medida—Vamos μ ser una medida (positiva) en un conjunto X, con σ-algebra F, y dejar (A_n) ser una secuencia en F. Si

<math alttext="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }mu (A_{n}).. n=1JUEGO JUEGO μ μ ()An).JUEGO JUEGO ,{displaystyle sum _{n=1} {infty }mu (A_{n})se hizoinfty}<img alt="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }mu (A_{n})

entonces

{displaystyle mu left(limsup _{nto infty }A_{n}right)=0.}

Resultado inverso

Un resultado relacionado, a veces llamado el segundo lema de Borel-Cantelli, es una inversa parcial del primer lema de Borel-Cantelli. El lema dice: Si los eventos E_n son independientes y la suma de las probabilidades de los E_n diverge a infinito, entonces la probabilidad de que un número infinito de ellos ocurra es 1. Es decir:

Segundo Borel-Cantelli Lemma—Si $sum^{infty}_{n = 1} Pr(E_n) = infty$ y los acontecimientos $(E_n)^{infty}_{n = 1}$ son independientes, entonces ${displaystyle Pr(limsup _{nto infty }E_{n})=1.}$

La suposición de independencia se puede debilitar a la independencia por pares, pero en ese caso la prueba es más difícil.

Ejemplo

El teorema del mono infinito, que teclear al azar sin fin, con una probabilidad de 1, eventualmente producirá cada texto finito (como las obras de Shakespeare), equivale a la afirmación de que una moneda (no necesariamente justa) lanzada infinitamente a menudo eventualmente Sube las cabezas. Este es un caso especial del segundo Lema.

El lema se puede aplicar para dar un teorema de cobertura en Rⁿ. Específicamente (Stein 1993, Lema X.2.1), si E_j es una colección de subconjuntos medibles de Lebesgue de un conjunto compacto en Rⁿ tal que

{displaystyle sum _{j}mu (E_{j})=infty}

F_j

{displaystyle F_{j}=E_{j}+x_{j}}

{displaystyle lim sup F_{j}=bigcap _{n=1}^{infty }bigcup _{k=n}^{infty }F_{k}=mathbb {R} ^{n}}

Prueba

Supongamos que ${textstyle sum _{n=1}^{infty }Pr(E_{n})=infty }$ y los acontecimientos $(E_n)^infty_{n = 1}$ son independientes. Es suficiente para mostrar el evento que E_n's no ocurrió por infinitamente muchos valores de n tiene probabilidad Esto es sólo para decir que es suficiente demostrar que

{displaystyle 1-Pr(limsup _{nto infty }E_{n})=0.}

Teniendo en cuenta que:

{displaystyle {begin{aligned}1-Pr(limsup _{nto infty }E_{n})&=1-Pr left({E_{n}{text{ i.o.}}}right)=Pr left({E_{n}{text{ i.o.}}}^{c}right)\&=Pr left(left(bigcap _{N=1}^{infty }bigcup _{n=N}^{infty }E_{n}right)^{c}right)=Pr left(bigcup _{N=1}^{infty }bigcap _{n=N}^{infty }E_{n}^{c}right)\&=Pr left(liminf _{nto infty }E_{n}^{c}right)=lim _{Nto infty }Pr left(bigcap _{n=N}^{infty }E_{n}^{c}right)end{aligned}}}

{textstyle Pr left(bigcap _{n=N}^{infty }E_{n}^{c}right)=0}

(E_n)^{infty}_{n = 1}

{displaystyle {begin{aligned}Pr left(bigcap _{n=N}^{infty }E_{n}^{c}right)&=prod _{n=N}^{infty }Pr(E_{n}^{c})\&=prod _{n=N}^{infty }(1-Pr(E_{n})).end{aligned}}}

{textstyle sum _{n=N}^{infty }Pr(E_{n})}

Contraparte

Otro resultado relacionado es el llamado contraparte del Borel-Cantelli lemma. Es una contraparte del Lemma en el sentido de que da una condición necesaria y suficiente para que la carga sea 1 reemplazando la suposición de independencia por la suposición completamente diferente de que $(A_{n})$ es la monotona aumentando para índices suficientemente grandes. Este Lemma dice:

Vamos $(A_{n})$ ser tal $A_k subseteq A_{k+1}$ , y dejar $bar A$ denota el complemento $A$ . Entonces la probabilidad de infinitamente muchos $A_{k}$ ocurre (es decir, al menos uno $A_{k}$ se produce) es uno si y sólo si existe una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos $(t_k)$ tales que

{displaystyle sum _{k}Pr(A_{t_{k+1}}mid {bar {A}}_{t_{k}})=infty.}

Este simple resultado puede ser útil en problemas como por ejemplo aquellos que implican golpear probabilidades para el proceso estocástico con la elección de la secuencia $(t_k)$ Normalmente siendo la esencia.

Kochen–Piedra

Vamos $A_{n}$ ser una secuencia de eventos con ${textstyle sum Pr(A_{n})=infty }$ y $<math alttext="{textstyle liminf _{kto infty }{frac {sum _{1leq m,nleq k}Pr(A_{m}cap A_{n})}{left(sum _{n=1}^{k}Pr(A_{n})right)^{2}}}lim infk→ → JUEGO JUEGO .. 1≤ ≤ m,n≤ ≤ kPr()Am∩ ∩ An)().. n=1kPr()An))2.JUEGO JUEGO ,{textstyle liminf _{kto infty }{frac {sum _{1leq m,nleq k} ¿Por qué?<img alt="{textstyle liminf _{kto infty }{frac {sum _{1leq m,nleq k}Pr(A_{m}cap A_{n})}{left(sum _{n=1}^{k}Pr(A_{n})right)^{2}}}$ entonces hay una probabilidad positiva de que $A_{n}$ ocurre infinitamente a menudo.

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