Lema de Borel-Cantelli

En la teoría de la probabilidad, el lema de Borel-Cantelli es un teorema sobre secuencias de eventos. En general, es un resultado en la teoría de la medida. Lleva el nombre de Émile Borel y Francesco Paolo Cantelli, quienes dieron expresión al lema en las primeras décadas del siglo XX. Un resultado relacionado, a veces llamado segundo lema de Borel-Cantelli, es una inversa parcial del primer lema de Borel-Cantelli. El lema establece que, bajo ciertas condiciones, un evento tendrá probabilidad de cero o uno. En consecuencia, es el más conocido de una clase de teoremas similares, conocidos como leyes cero-uno. Otros ejemplos incluyen la ley cero-uno de Kolmogorov y la ley cero-uno de Hewitt-Savage.

Enunciado del lema para espacios de probabilidad

Sea E₁,E₂,... una secuencia de eventos en algún espacio de probabilidad. El lema de Borel-Cantelli establece:

Borel-Cantelli lemma—Si la suma de las probabilidades de los eventos {E_n} es finito

<math alttext="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }Pr(E_{n}).. n=1JUEGO JUEGO Pr()En).JUEGO JUEGO ,{displaystyle sum _{n=1} {infty }Pr(E_{n})se hizoinfty}

<img alt="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }Pr(E_{n})

entonces la probabilidad que infinitamente muchos de ellos ocurren es 0, es decir,

Pr()lim supn→ → JUEGO JUEGO En)=0.{displaystyle Pr left(limsup _{nto infty }E_{n}right)=0.}

Aquí, "lim sup" denota el límite supremo de la secuencia de eventos, y cada evento es un conjunto de resultados. Es decir, lim sup E_n es el conjunto de resultados que ocurren infinitamente muchas veces dentro de la secuencia infinita de eventos (E_n). Explícitamente,

lim supn→ → JUEGO JUEGO En=⋂ ⋂ n=1JUEGO JUEGO ⋃ ⋃ k=nJUEGO JUEGO Ek.{displaystyle limsup _{nto infty }E_{n}=bigcap ¿Qué? ¿Qué? }E_{k}

El conjunto lim sup E_n a veces se denota {E_n i.o. }, donde "i.o." significa "infinitamente a menudo". Por lo tanto, el teorema afirma que si la suma de las probabilidades de los eventos E_n es finita, entonces el conjunto de todos los resultados que son &# 34;repetido" infinitamente muchas veces debe ocurrir con probabilidad cero. Nótese que no se requiere ningún supuesto de independencia.

Ejemplo

Supongamos que (X_n) es una secuencia de variables aleatorias con Pr(X_n = 0) = 1/n² para cada n. La probabilidad de que X_n = 0 ocurra para infinitos n es equivalente a la probabilidad de la intersección de infinitamente muchos [X_n = 0] eventos. La intersección de infinitos eventos de este tipo es un conjunto de resultados comunes a todos ellos. Sin embargo, la suma ΣPr(X_n = 0) converge a π²/6 ≈ 1,645 < ∞, y, por lo tanto, el lema de Borel-Cantelli establece que el conjunto de resultados que son comunes a una cantidad infinita de tales eventos ocurre con probabilidad cero. Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra X_n = 0 para infinitos n es 0. Casi con seguridad (es decir, con probabilidad 1), X_n es distinto de cero para todos excepto para un número finito de n.

Prueba

Sea (E_n) una secuencia de eventos en algún espacio de probabilidad.

La secuencia de eventos {}⋃ ⋃ n=NJUEGO JUEGO En}N=1JUEGO JUEGO {textstyle left{bigcup ¿Qué? ¿Qué? no está aumentando:

⋃ ⋃ n=1JUEGO JUEGO En⊇ ⊇ ⋃ ⋃ n=2JUEGO JUEGO En⊇ ⊇ ⋯ ⋯ ⊇ ⊇ ⋃ ⋃ n=NJUEGO JUEGO En⊇ ⊇ ⋃ ⋃ n=N+1JUEGO JUEGO En⊇ ⊇ ⋯ ⋯ ⊇ ⊇ lim supn→ → JUEGO JUEGO En.{displaystyle bigcup _{n=1}{infty }E_{n}supseteq bigcup _{n=2}{infty }E_{n}supseteq cdots supseteq bigcup ¿Qué? }E_{n}supseteq bigcup - ¿Qué? }E_{n}supseteq cdots supseteq limsup _{nto infty }E_{n}

Por continuidad desde arriba,

Pr()lim supn→ → JUEGO JUEGO En)=limN→ → JUEGO JUEGO Pr()⋃ ⋃ n=NJUEGO JUEGO En).{displaystyle Pr(limsup _{nto infty }E_{n})=lim _{Nto infty }Pr left(bigcup ¿Por qué? }

Por subaditividad,

Pr()⋃ ⋃ n=NJUEGO JUEGO En)≤ ≤ .. n=NJUEGO JUEGO Pr()En).{displaystyle Pr left(bigcup ¿Por qué? }

Por suposición original, <math alttext="{textstyle sum _{n=1}^{infty }Pr(E_{n}).. n=1JUEGO JUEGO Pr()En).JUEGO JUEGO .{textstyle sum _{n=1} {infty }Pr(E_{n})se hizoinfty.}<img alt="{textstyle sum _{n=1}^{infty }Pr(E_{n}) Como la serie .. n=1JUEGO JUEGO Pr()En){textstyle sum _{n=1} {infty }Pr(E_{n}} converge,

limN→ → JUEGO JUEGO .. n=NJUEGO JUEGO Pr()En)=0,{displaystyle lim _{Nto infty }sum ¿Qué?

Espacios de medidas generales

Para espacios de medidas generales, el lema de Borel-Cantelli toma la siguiente forma:

Borel-Cantelli Lemma para espacios de medida—Vamos μ ser una medida (positiva) en un conjunto X, con σ-algebra F, y dejar (A_n) ser una secuencia en F. Si

<math alttext="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }mu (A_{n}).. n=1JUEGO JUEGO μ μ ()An).JUEGO JUEGO ,{displaystyle sum _{n=1} {infty }mu (A_{n})se hizoinfty}

<img alt="{displaystyle sum _{n=1}^{infty }mu (A_{n})

entonces

μ μ ()lim supn→ → JUEGO JUEGO An)=0.{displaystyle mu left(limsup _{nto infty }A_{n}right)=0.}

Resultado inverso

Un resultado relacionado, a veces llamado el segundo lema de Borel-Cantelli, es una inversa parcial del primer lema de Borel-Cantelli. El lema dice: Si los eventos E_n son independientes y la suma de las probabilidades de los E_n diverge a infinito, entonces la probabilidad de que un número infinito de ellos ocurra es 1. Es decir:

La suposición de independencia se puede debilitar a la independencia por pares, pero en ese caso la prueba es más difícil.

Ejemplo

El teorema del mono infinito, que teclear al azar sin fin, con una probabilidad de 1, eventualmente producirá cada texto finito (como las obras de Shakespeare), equivale a la afirmación de que una moneda (no necesariamente justa) lanzada infinitamente a menudo eventualmente Sube las cabezas. Este es un caso especial del segundo Lema.

El lema se puede aplicar para dar un teorema de cobertura en Rⁿ. Específicamente (Stein 1993, Lema X.2.1), si E_j es una colección de subconjuntos medibles de Lebesgue de un conjunto compacto en Rⁿ tal que

.. jμ μ ()Ej)=JUEGO JUEGO ,{displaystyle sum _{j}mu (E_{j}=infty}

Fj=Ej+xj{displaystyle F_{j}=E_{j}+x_{j}

limSupFj=⋂ ⋂ n=1JUEGO JUEGO ⋃ ⋃ k=nJUEGO JUEGO Fk=Rn{displaystyle lim sup F_{j}=bigcap ¿Qué? ¿Qué? }F_{k}=Mathbb {R} {fn}

Prueba

Supongamos que .. n=1JUEGO JUEGO Pr()En)=JUEGO JUEGO {textstyle sum _{n=1} {infty }Pr(E_{n}=infty } y los acontecimientos ()En)n=1JUEGO JUEGO {displaystyle (E_{n}_{n=1} {infty} son independientes. Es suficiente para mostrar el evento que E_n's no ocurrió por infinitamente muchos valores de n tiene probabilidad Esto es sólo para decir que es suficiente demostrar que

1− − Pr()lim supn→ → JUEGO JUEGO En)=0.{displaystyle 1-Pr(limsup _{nto infty }E_{n}=0.}

Teniendo en cuenta que:

1− − Pr()lim supn→ → JUEGO JUEGO En)=1− − Pr(){}Eni.o.})=Pr(){}Eni.o.}c)=Pr()()⋂ ⋂ N=1JUEGO JUEGO ⋃ ⋃ n=NJUEGO JUEGO En)c)=Pr()⋃ ⋃ N=1JUEGO JUEGO ⋂ ⋂ n=NJUEGO JUEGO Enc)=Pr()lim infn→ → JUEGO JUEGO Enc)=limN→ → JUEGO JUEGO Pr()⋂ ⋂ n=NJUEGO JUEGO Enc){begin{aligned}1-Pr(limsup _{ntoinfty }E_{n}) {=1-Pr left({E_{n}{ i.o}right)=pr left({E_n}{f}{b}{f}p}p}p}p}p}p}c}c}p}c}c}c}c}c}c}c}c}c}prc}c}cc}c}cc}c}c}cc}c}cc}cpnun}c}prccc}cccccc}cpccc}c}cc}ccc}ccc}c}pncip ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? }Pr left(bigcap ¿Qué? ¿Qué?

Pr()⋂ ⋂ n=NJUEGO JUEGO Enc)=0{textstyle Pr left(bigcap ¿Qué? - Sí.

()En)n=1JUEGO JUEGO {displaystyle (E_{n}_{n=1} {infty}

Pr()⋂ ⋂ n=NJUEGO JUEGO Enc)=∏ ∏ n=NJUEGO JUEGO Pr()Enc)=∏ ∏ n=NJUEGO JUEGO ()1− − Pr()En)).{displaystyle {begin{aligned}Pr left(bigcap ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué?

.. n=NJUEGO JUEGO Pr()En){textstyle sum ¿Qué?

Contraparte

Otro resultado relacionado es el llamado contraparte del Borel-Cantelli lemma. Es una contraparte del Lemma en el sentido de que da una condición necesaria y suficiente para que la carga sea 1 reemplazando la suposición de independencia por la suposición completamente diferente de que ()An){displaystyle (A_{n})} es la monotona aumentando para índices suficientemente grandes. Este Lemma dice:

Vamos ()An){displaystyle (A_{n})} ser tal Ak⊆ ⊆ Ak+1{displaystyle A_{k}subseteq A_{k+1}, y dejar Ā ̄ {displaystyle {bar {}}} denota el complemento A{displaystyle A}. Entonces la probabilidad de infinitamente muchos Ak{displaystyle A_{k} ocurre (es decir, al menos uno Ak{displaystyle A_{k} se produce) es uno si y sólo si existe una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos ()tk){displaystyle (t_{k})} tales que

.. kPr()Atk+1▪ ▪ Ā ̄ tk)=JUEGO JUEGO .{displaystyle sum _{k}pr(A_{t_{k+1}mid {bar {}_{t_{k}})=infty.}

Este simple resultado puede ser útil en problemas como por ejemplo aquellos que implican golpear probabilidades para el proceso estocástico con la elección de la secuencia ()tk){displaystyle (t_{k})} Normalmente siendo la esencia.

Kochen–Piedra

Vamos An{displaystyle A_{n} ser una secuencia de eventos con .. Pr()An)=JUEGO JUEGO {textstyle sum Pr(A_{n}=infty } y <math alttext="{textstyle liminf _{kto infty }{frac {sum _{1leq m,nleq k}Pr(A_{m}cap A_{n})}{left(sum _{n=1}^{k}Pr(A_{n})right)^{2}}}lim infk→ → JUEGO JUEGO .. 1≤ ≤ m,n≤ ≤ kPr()Am∩ ∩ An)().. n=1kPr()An))2.JUEGO JUEGO ,{textstyle liminf _{kto infty }{frac {sum _{1leq m,nleq k} ¿Por qué?<img alt="{textstyle liminf _{kto infty }{frac {sum _{1leq m,nleq k}Pr(A_{m}cap A_{n})}{left(sum _{n=1}^{k}Pr(A_{n})right)^{2}}} entonces hay una probabilidad positiva de que An{displaystyle A_{n} ocurre infinitamente a menudo.