Latitud

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En geografía, la latitud es una coordenada geográfica que especifica la posición norte-sur de un punto en la superficie de la Tierra. La latitud es un ángulo (definido a continuación) que va desde 0° en el ecuador hasta 90° (norte o sur) en los polos. Las líneas de latitud constante, o paralelos , corren de este a oeste como círculos paralelos al ecuador. La latitud se usa junto con la longitud para especificar la ubicación precisa de las características en la superficie de la Tierra. Por sí solo, el término latitud debe tomarse como la latitud geodésica tal como se define a continuación. Brevemente, la latitud geodésica en un punto es el ángulo formado por el vector perpendicular (o normal ) a la superficie elipsoidal desde ese punto y el plano ecuatorial. También se definen seislatitudes auxiliares que se utilizan en aplicaciones especiales.

Trasfondo

Se emplean dos niveles de abstracción en las definiciones de latitud y longitud. En el primer paso, la superficie física es modelada por el geoide, una superficie que se aproxima al nivel medio del mar sobre los océanos y su continuación bajo las masas terrestres. El segundo paso es aproximar el geoide por una superficie de referencia matemáticamente más simple. La opción más simple para la superficie de referencia es una esfera, pero el geoide se modela con mayor precisión mediante un elipsoide. Las definiciones de latitud y longitud en tales superficies de referencia se detallan en las siguientes secciones. Las líneas de latitud y longitud constantes juntas constituyen una retícula en la superficie de referencia. La latitud de un punto en el realsuperficie es la del punto correspondiente en la superficie de referencia, siendo la correspondencia a lo largo de la normal a la superficie de referencia, que pasa por el punto en la superficie física. La latitud y la longitud junto con alguna especificación de altura constituyen un sistema de coordenadas geográficas como se define en la especificación de la norma ISO 19111.

Dado que hay muchos elipsoides de referencia diferentes, la latitud precisa de una característica en la superficie no es única: esto se enfatiza en el estándar ISO que establece que "sin la especificación completa del sistema de referencia de coordenadas, las coordenadas (es decir, latitud y longitud) son ambiguos en el mejor de los casos y sin sentido en el peor". Esto es de gran importancia en aplicaciones precisas, como un Sistema de Posicionamiento Global (GPS), pero en el uso común, donde no se requiere alta precisión, el elipsoide de referencia no suele indicarse.

En los textos en inglés, el ángulo de latitud, definido a continuación, generalmente se denota con la letra minúscula griega phi ( ϕ o φ ). Se mide en grados, minutos y segundos o grados decimales, al norte o al sur del ecuador. Para fines de navegación, las posiciones se dan en grados y minutos decimales. Por ejemplo, el faro de The Needles está en 50°39.734′ N 001°35.500′ W.

Este artículo se relaciona con los sistemas de coordenadas de la Tierra: puede adaptarse para cubrir la Luna, los planetas y otros objetos celestes (latitud planetográfica).

Para una breve historia ver Historia de latitud.

Determinación

En la navegación celeste, la latitud se determina con el método de altitud del meridiano. Una medición más precisa de la latitud requiere una comprensión del campo gravitacional de la Tierra, ya sea para configurar teodolitos o para determinar las órbitas de los satélites GPS. El estudio de la figura de la Tierra junto con su campo gravitatorio es la ciencia de la geodesia.

Latitud en la esfera

La retícula en la esfera.

La retícula está formada por las líneas de latitud constante y longitud constante, que se construyen con referencia al eje de rotación de la Tierra. Los puntos de referencia primarios son los polos donde el eje de rotación de la Tierra se cruza con la superficie de referencia. Los planos que contienen el eje de rotación cortan la superficie en los meridianos; y el ángulo entre cualquier plano meridiano y el que pasa por Greenwich (el primer meridiano) define la longitud: los meridianos son líneas de longitud constante. El plano que pasa por el centro de la Tierra y es perpendicular al eje de rotación corta la superficie en un gran círculo llamado Ecuador. Los planos paralelos al plano ecuatorial cortan la superficie en círculos de latitud constante; estos son los paralelos. El ecuador tiene una latitud de 0°, el Polo Norte tiene una latitud de 90° Norte (escrito 90° N o +90°), y el Polo Sur tiene una latitud de 90° Sur (escrito 90° S o −90°). La latitud de un punto arbitrario es el ángulo entre el plano ecuatorial y la normal a la superficie en ese punto: la normal a la superficie de la esfera está a lo largo del radio vector.

La latitud, así definida para la esfera, a menudo se denomina latitud esférica, para evitar ambigüedades con la latitud geodésica y las latitudes auxiliares definidas en secciones posteriores de este artículo.

Latitudes nombradas en la Tierra

Además del ecuador, otros cuatro paralelos son importantes:

círculo Artico	66° 34′ (66,57°) N
trópico de Cáncer	23° 26′ (23,43°) N
Trópico de Capricornio	23° 26′ (23,43°) S
circulo Antartico	66° 34′ (66,57°) S

El plano de la órbita de la Tierra alrededor del Sol se llama eclíptica, y el plano perpendicular al eje de rotación de la Tierra es el plano ecuatorial. El ángulo entre la eclíptica y el plano ecuatorial se denomina inclinación axial, oblicuidad o inclinación de la eclíptica, y se denota convencionalmente por i . La latitud de los círculos tropicales es igual a i y la latitud de los círculos polares es su complemento (90° - i ). El eje de rotación varía lentamente con el tiempo y los valores dados aquí son los de la época actual. La variación de tiempo se analiza con más detalle en el artículo sobre la inclinación axial.

La figura muestra la geometría de una sección transversal del plano perpendicular a la eclíptica y a través de los centros de la Tierra y el Sol en el solsticio de diciembre cuando el Sol está sobre la cabeza en algún punto del Trópico de Capricornio. Las latitudes del polo sur por debajo del círculo polar antártico son de día, mientras que las latitudes del polo norte por encima del círculo polar ártico son de noche. La situación se invierte en el solsticio de junio, cuando el Sol está sobre el Trópico de Cáncer. Solo en latitudes entre los dos trópicos es posible que el Sol esté directamente sobre su cabeza (en el cenit).

En las proyecciones de mapas no existe una regla universal sobre cómo deben aparecer los meridianos y los paralelos. Los ejemplos a continuación muestran los paralelos nombrados (como líneas rojas) en la proyección de Mercator y la proyección transversal de Mercator comúnmente utilizadas. En el primero los paralelos son horizontales y los meridianos son verticales, mientras que en el segundo no hay una relación exacta de paralelos y meridianos con horizontal y vertical: ambos son curvas complicadas.

	mercado normal		Mercator transversal
		\

Latitud en el elipsoide

Elipsoides

En 1687, Isaac Newton publicó Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , en el que demostró que un cuerpo fluido rotatorio y autogravitatorio en equilibrio toma la forma de un elipsoide achatado. (Este artículo usa el término elipsoide en lugar del término más antiguo esferoide ). El resultado de Newton fue confirmado por mediciones geodésicas en el siglo XVIII. (Consulte Arco meridiano). Un elipsoide achatado es la superficie tridimensional generada por la rotación de una elipse sobre su eje más corto (eje menor). "Elipsoide achatado de revolución" se abrevia como "elipsoide" en el resto de este artículo. (Los elipsoides que no tienen un eje de simetría se denominan triaxiales).

Se han utilizado muchos elipsoides de referencia diferentes en la historia de la geodesia. En los días previos a los satélites, se diseñaron para dar un buen ajuste al geoide en el área limitada de un levantamiento pero, con la llegada del GPS, se ha vuelto natural usar elipsoides de referencia (como WGS84) con centro en el centro de masa de la Tierra y eje menor alineado con el eje de rotación de la Tierra. Estos elipsoides geocéntricos suelen estar dentro de los 100 m (330 pies) del geoide. Dado que la latitud se define con respecto a un elipsoide, la posición de un punto dado es diferente en cada elipsoide: no se puede especificar exactamente la latitud y la longitud de una característica geográfica sin especificar el elipsoide utilizado. Muchos mapas mantenidos por agencias nacionales se basan en elipsoides más antiguos, entonces uno debe saber cómo se transforman los valores de latitud y longitud de un elipsoide a otro. Los dispositivos GPS incluyen software para realizar transformaciones de datum que vinculan WGS84 al elipsoide de referencia local con su cuadrícula asociada.

La geometría del elipsoide.

La forma de un elipsoide de revolución está determinada por la forma de la elipse que gira alrededor de su eje menor (más corto). Se requieren dos parámetros. Uno es invariablemente el radio ecuatorial, que es el eje semi-principal, un . El otro parámetro suele ser (1) el radio polar o eje semi-menor, b ; o (2) el (primer) aplanamiento, f ; o (3) la excentricidad, e . Estos parámetros no son independientes: están relacionados por $f={\frac {ab}{a}},\qquad e^{2}=2f-f^{2},\qquad b=a(1-f)=a{\sqrt {1- e^{2}}}\,.$

Muchos otros parámetros (ver elipse, elipsoide) aparecen en el estudio de la geodesia, la geofísica y las proyecciones cartográficas, pero todos pueden expresarse en términos de uno o dos miembros del conjunto a , b , f y e . Tanto f como e son pequeños y, a menudo, aparecen en expansiones en serie en los cálculos; son del orden1/298y 0.0818 respectivamente. Los valores para un número de elipsoides se dan en la Figura de la Tierra. Los elipsoides de referencia suelen estar definidos por el semieje mayor y el aplanamiento inverso ,1/F. Por ejemplo, los valores de definición para el elipsoide WGS84, utilizados por todos los dispositivos GPS, son

a (radio ecuatorial):6 378 137 .0 m exactamente
1/F(aplanamiento inverso):298.257 223 563 exactamente

de los que se derivan

b (radio polar):6 356 752 .314 25m _
e (excentricidad al cuadrado):0.006 694 379 990 14

La diferencia entre los ejes semi-mayor y semi-menor es de unos 21 km (13 millas) y como fracción del eje semi-mayor es igual al aplanamiento; en un monitor de computadora, el elipsoide podría tener un tamaño de 300 por 299 píxeles. Esto apenas se distinguiría de una esfera de 300 por 300 píxeles, por lo que las ilustraciones suelen exagerar el aplanamiento.

Latitudes geodésicas y geocéntricas

La retícula en el elipsoide se construye exactamente de la misma manera que en la esfera. La normal en un punto de la superficie de un elipsoide no pasa por el centro, a excepción de los puntos en el ecuador o en los polos, pero la definición de latitud permanece sin cambios como el ángulo entre la normal y el plano ecuatorial. La terminología para la latitud debe precisarse más distinguiendo:

Latitud geodésica : el ángulo entre la normal y el plano ecuatorial. La notación estándar en las publicaciones en inglés es ϕ . Esta es la definición que se asume cuando la palabra latitud se usa sin calificación. La definición debe ir acompañada de una especificación del elipsoide.
Latitud geocéntrica (también conocida como latitud esférica , por el ángulo polar 3D): el ángulo entre el radio (desde el centro hasta el punto en la superficie) y el plano ecuatorial. (La siguiente figura). No existe una notación estándar: los ejemplos de varios textos incluyen θ , ψ , q , ϕ′ , ϕ _c , ϕ _g . Este artículo usa θ .

La latitud geográfica debe utilizarse con cuidado, ya que algunos autores la utilizan como sinónimo de latitud geodésica mientras que otros la utilizan como alternativa a la latitud astronómica. "Latitud" (sin calificar) normalmente debería referirse a la latitud geodésica.

La importancia de especificar el dato de referencia puede ilustrarse con un ejemplo sencillo. En el elipsoide de referencia para WGS84, el centro de la Torre Eiffel tiene una latitud geodésica de 48° 51′ 29″ N, o 48,8583° N y una longitud de 2° 17′ 40″ E o 2,2944°E. Las mismas coordenadas en el datum ED50 definen un punto en el suelo que está a 140 metros (460 pies) de distancia de la torre. Una búsqueda en la web puede producir varios valores diferentes para la latitud de la torre; el elipsoide de referencia rara vez se especifica.

Distancia del meridiano

La longitud de un grado de latitud depende de la figura de la Tierra asumida.

Distancia del meridiano en la esfera

En la esfera, la normal pasa por el centro y la latitud ( ϕ ) es por lo tanto igual al ángulo subtendido en el centro por el arco de meridiano desde el ecuador hasta el punto en cuestión. Si la distancia del meridiano se denota por m ( ϕ ) entonces $m(\phi )={\frac {\pi }{180^{\circ }}}R\phi_{\mathrm {grados} }=R\phi_{\mathrm {radianes} }$

donde R denota el radio medio de la Tierra. R es igual a 6371 km o 3959 millas. No es apropiada una mayor precisión para R , ya que los resultados de mayor precisión requieren un modelo de elipsoide. Con este valor de R , la longitud del meridiano de 1 grado de latitud en la esfera es de 111,2 km (69,1 millas terrestres) (60,0 millas náuticas). La longitud de 1 minuto de latitud es de 1,853 km (1,151 millas terrestres) (1,00 millas náuticas), mientras que la longitud de 1 segundo de latitud es de 30,8 mo 101 pies (ver milla náutica).

Distancia del meridiano en el elipsoide

En Arco de meridianos y textos estándar se muestra que la distancia a lo largo de un meridiano desde la latitud ϕ hasta el ecuador viene dada por ( ϕ en radianes) $m(\phi )=\int _{0}^{\phi }M(\phi ')\,d\phi '=a\left(1-e^{2}\right)\int _ {0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '$

donde M ( ϕ ) es el radio de curvatura meridional.

La distancia del cuarto de meridiano del ecuador al polo es $m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,$

Para WGS84 esta distancia es10 001 .965 729 km .

La evaluación de la integral de la distancia del meridiano es fundamental para muchos estudios en geodesia y proyección de mapas. Se puede evaluar expandiendo la integral por la serie binomial e integrando término por término: vea Arco de meridianos para más detalles. La longitud del arco meridiano entre dos latitudes dadas se obtiene reemplazando los límites de la integral por las latitudes correspondientes. La longitud de un pequeño arco de meridiano está dada por $\delta m(\phi )=M(\phi )\,\delta \phi =a\left(1-e^{2}\right)\left(1-e^{2}\sin ^ {2}\phi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,\delta \phi$

$\fi$	Δ _lat	Δ _largo
0°	110.574 kilometros	111.320 kilometros
15°	110.649 kilometros	107.550 kilometros
30°	110.852 kilometros	96.486 kilometros
45°	111,132 kilometros	78.847 kilometros
60°	111.412 kilometros	55.800 kilometros
75°	111.618 kilometros	28,902 kilometros
90°	111.694 kilometros	0.000 kilometros

Cuando la diferencia de latitud es de 1 grado, correspondiente aπ/180radianes, la distancia del arco es aproximadamente $\Delta_{\text{lat}}^{1}={\frac {\pi a\left(1-e^{2}\right)}{180^{\circ }\left(1 -e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}$

La distancia en metros (correcta a 0,01 metros) entre latitudes $\fi$ − 0,5 grados y $\fi$ + 0,5 grados en el esferoide WGS84 es $\Delta _{\text{lat}}^{1}=111\,132.954-559.822\cos 2\phi +1.175\cos 4\phi$

La variación de esta distancia con la latitud (en WGS84) se muestra en la tabla junto con la longitud de un grado de longitud (distancia este-oeste): $\Delta _{\text{long}}^{1}={\frac {\pi a\cos \phi }{180^{\circ }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\,$

La Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial (NGA) del gobierno de EE. UU. proporciona una calculadora para cualquier latitud.

El siguiente gráfico ilustra la variación tanto de un grado de latitud como de un grado de longitud con la latitud.

La definición de latitud geodésica (

ϕ ) y latitud geocéntrica (

θ ).

Latitudes auxiliares

Hay seis latitudes auxiliares que tienen aplicaciones a problemas especiales en geodesia, geofísica y la teoría de proyecciones cartográficas:

Latitud geocéntrica
Latitud paramétrica (o reducida)
Rectificando latitud
latitud autálica
Latitud conforme
Latitud isométrica

Todas las definiciones dadas en esta sección se relacionan con ubicaciones en el elipsoide de referencia, pero las dos primeras latitudes auxiliares, como la latitud geodésica, pueden extenderse para definir un sistema de coordenadas geográficas tridimensionales, como se explica a continuación. Las latitudes restantes no se utilizan de esta manera; se usan solo como construcciones intermedias en proyecciones de mapas del elipsoide de referencia al plano o en cálculos de geodésicas en el elipsoide. Sus valores numéricos no son de interés. Por ejemplo, nadie necesitaría calcular la latitud autálica de la Torre Eiffel.

Las expresiones a continuación dan las latitudes auxiliares en términos de latitud geodésica, el semieje mayor, a , y la excentricidad, e . (Para las inversas, consulte a continuación). Las formas dadas son, además de las variantes de notación, las de la referencia estándar para proyecciones de mapas, a saber, "Proyecciones de mapas: un manual de trabajo" de JP Snyder. Se pueden encontrar derivaciones de estas expresiones en Adams y en las publicaciones en línea de Osborne y Rapp.

Latitud geocéntrica

La latitud geocéntrica es el ángulo entre el plano ecuatorial y el radio desde el centro hasta un punto de interés.

Cuando el punto está sobre la superficie del elipsoide, la relación entre la latitud geocéntrica ( θ ) y la latitud geodésica ( ϕ ) es: $\theta (\phi )=\tan ^{-1}\left(\left(1-e^{2}\right)\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left ((1-f)^{2}\tan\phi\derecha)\,.$

Para puntos que no están en la superficie del elipsoide, la relación involucra adicionalmente la altura elipsoidal h : $\theta (\phi ,h)=\tan ^{-1}\left({\frac {N(1-f)^{2}+h}{N+h}}\tan \phi \ derecho)$

Las latitudes geodésicas y geocéntricas son iguales en el ecuador y en los polos, pero en otras latitudes difieren en algunos minutos de arco. Tomando el valor de la excentricidad al cuadrado como 0.0067 (depende de la elección del elipsoide) la diferencia máxima de ${\ estilo de visualización \ phi {-} \ theta}$ puede demostrarse que tiene unos 11,5 minutos de arco en una latitud geodésica de aproximadamente 45° 6′.

Latitud paramétrica (o latitud reducida)

La latitud paramétrica o latitud reducida , β , se define por el radio trazado desde el centro del elipsoide hasta el punto Q de la esfera circundante (de radio a ), que es la proyección paralela al eje terrestre de un punto P del elipsoide . en la latitud ϕ . Fue introducido por Legendre y Bessel, quienes resolvieron problemas de geodésicas en el elipsoide transformándolos en un problema equivalente para geodésicas esféricas utilizando esta latitud más pequeña. Notación de Bessel, u ( ϕ ), también se utiliza en la literatura actual. La latitud paramétrica está relacionada con la latitud geodésica por: $\beta (\phi )=\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left ((1-f)\tan\phi\right)$

El nombre alternativo surge de la parametrización de la ecuación de la elipse que describe una sección meridiana. En términos de coordenadas cartesianas p , la distancia desde el eje menor, y z , la distancia sobre el plano ecuatorial, la ecuación de la elipse es: ${\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,.$

Las coordenadas cartesianas del punto están parametrizadas por $p=a\cos \beta \,,\qquad z=b\sin \beta \,;$

Cayley sugirió el término latitud paramétrica debido a la forma de estas ecuaciones.

La latitud paramétrica no se utiliza en la teoría de las proyecciones cartográficas. Su aplicación más importante está en la teoría de las geodésicas elipsoides, (Vincenty, Karney ).

Rectificando latitud

La latitud de rectificación , μ , es la distancia del meridiano escalada de modo que su valor en los polos sea igual a 90 grados oπ/2radianes: $\mu (\phi )={\frac {\pi }{2}}{\frac {m(\phi )}{m_{\mathrm {p} }}}$

donde es la distancia del meridiano desde el ecuador hasta una latitud ϕ (ver Arco del meridiano) $m(\phi )=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2} \phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '\,,$

y la longitud del cuadrante meridiano desde el ecuador hasta el polo (la distancia polar) es $m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.$

Uso de la latitud de rectificación para definir una latitud en una esfera de radio $R={\frac {2m_{\mathrm {p} }}{\pi }}$

define una proyección desde el elipsoide a la esfera tal que todos los meridianos tienen longitud real y escala uniforme. Luego, la esfera se puede proyectar al plano con una proyección equirrectangular para dar una doble proyección desde el elipsoide al plano de modo que todos los meridianos tengan una longitud real y una escala de meridianos uniforme. Un ejemplo del uso de la latitud rectificadora es la proyección cónica equidistante. (Snyder, Sección 16). La latitud de rectificación también es de gran importancia en la construcción de la proyección transversal de Mercator.

Latitud autálica

La latitud autálica (después del griego para "misma área"), ξ , da una transformación que preserva el área de una esfera. $\xi (\phi )=\sin ^{-1}\left({\frac {q(\phi )}{q_{\mathrm {p} }}}\right)$

donde ${\begin{alineado}q(\phi )&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{ 2}\phi }}-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }} \right)\\[2pt]&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }} +{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\end{alineado}}$

y ${\begin{alineado}q_{\mathrm {p} }=q\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=1-{\frac {1-e^{2 }}{2e}}\ln \left({\frac {1-e}{1+e}}\right)\\&=1+{\frac {1-e^{2}}{e}} \tanh ^{-1}e\end{alineado}}$

y el radio de la esfera se toma como $R_{q}=a{\sqrt {\frac {q_{\mathrm {p} }}{2}}}\,.$

Un ejemplo del uso de la latitud autálica es la proyección cónica de áreas iguales de Albers.

Latitud conforme

La latitud conforme , χ , da una transformación (conforme) que preserva el ángulo de la esfera. ${\begin{alineado}\chi (\phi )&=2\tan ^{-1}\left[\left({\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi } }\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{e}\right]^{\frac {1}{2}} -{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=2\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{\frac {e}{2}} \right]-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=\tan ^{-1}\left[\sinh \left(\sinh ^{-1}(\tan \phi ) -e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right)\right]\\&=\operatorname {gd} \left[\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e \tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right]\end{alineado}}$

donde gd( x ) es la función de Gudermann. (Véase también proyección de Mercator).

La latitud conforme define una transformación del elipsoide a una esfera de radio arbitrario tal que el ángulo de intersección entre dos líneas en el elipsoide es el mismo que el ángulo correspondiente en la esfera (para que la forma de los elementos pequeños se conserve bien) . Otra transformación conforme de la esfera al plano da una doble proyección conforme del elipsoide al plano. Esta no es la única forma de generar tal proyección conforme. Por ejemplo, la versión 'exacta' de la proyección transversal de Mercator en el elipsoide no es una proyección doble. (Sin embargo, implica una generalización de la latitud conforme al plano complejo).

Latitud isométrica

La latitud isométrica , ψ , se utiliza en el desarrollo de las versiones elipsoidales de la proyección normal de Mercator y la proyección transversal de Mercator. El nombre "isométrico" surge del hecho de que en cualquier punto del elipsoide incrementos iguales de ψ y longitud λ dan lugar a desplazamientos de igual distancia a lo largo de los meridianos y paralelos respectivamente. La retícula definida por las líneas de constante ψ y constante λ divide la superficie del elipsoide en una malla de cuadrados (de tamaño variable). La latitud isométrica es cero en el ecuador pero diverge rápidamente de la latitud geodésica, tendiendo al infinito en los polos. La notación convencional se da en Snyder (página 15): ${\begin{alineado}\psi (\phi )&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}} \right)\right]+{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right]\\& =\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\\&=\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e \tanh ^{-1}(e\sin \phi ).\end{alineado}}$

Para la proyección normal de Mercator (en el elipsoide), esta función define el espaciado de los paralelos: si la longitud del ecuador en la proyección es E (unidades de longitud o píxeles), entonces la distancia, y , de un paralelo de latitud ϕ desde el ecuador es $y(\phi )={\frac {E}{2\pi }}\psi (\phi )\,.$

La latitud isométrica ψ está estrechamente relacionada con la latitud conforme χ : $\psi (\phi )=\operatorname {gd} ^{-1}\chi (\phi )\,.$

Fórmulas inversas y series.

Las fórmulas de las secciones anteriores dan la latitud auxiliar en términos de la latitud geodésica. Las expresiones para las latitudes geocéntrica y paramétrica pueden invertirse directamente, pero esto es imposible en los cuatro casos restantes: las latitudes rectificadora, autálica, conforme e isométrica. Hay dos métodos de proceder.

El primero es una inversión numérica de la ecuación definitoria para todos y cada uno de los valores particulares de la latitud auxiliar. Los métodos disponibles son la iteración de punto fijo y la búsqueda de raíces de Newton-Raphson.
- Al convertir de isométrico o conforme a geodésico, dos iteraciones de Newton-Raphson brindan una precisión doble.
El otro enfoque, más útil, es expresar la latitud auxiliar como una serie en términos de la latitud geodésica y luego invertir la serie mediante el método de reversión de Lagrange. Tales series son presentadas por Adams, quien usa expansiones de series de Taylor y da coeficientes en términos de excentricidad. Osborne deriva series a un orden arbitrario utilizando el paquete de álgebra computacional Maxima y expresa los coeficientes en términos de excentricidad y aplanamiento. El método de la serie no es aplicable a la latitud isométrica y se debe encontrar la latitud conforme en un paso intermedio.

Comparación numérica de latitudes auxiliares

El gráfico de la derecha muestra la diferencia entre la latitud geodésica y las latitudes auxiliares distintas de la latitud isométrica (que diverge hasta el infinito en los polos) para el caso del elipsoide WGS84. Las diferencias que se muestran en el gráfico están en minutos de arco. En el hemisferio norte (latitudes positivas), θ ≤ χ ≤ μ ≤ ξ ≤ β ≤ ϕ; en el hemisferio Sur (latitudes negativas), las desigualdades se invierten, con igualdad en el ecuador y los polos. Aunque el gráfico parece simétrico alrededor de 45°, los mínimos de las curvas en realidad se encuentran entre 45° 2′ y 45° 6′. Algunos puntos de datos representativos se dan en la siguiente tabla. Las latitudes conformes y geocéntricas son casi indistinguibles, un hecho que se explotó en los días de las calculadoras manuales para acelerar la construcción de proyecciones cartográficas.

A primer orden en el aplanamiento f , las latitudes auxiliares se pueden expresar como ζ = ϕ − Cf sin 2 ϕ donde la constante C toma los valores [ ¹ ⁄ ₂ , ² ⁄ ₃ , ³ ⁄ ₄ , 1, 1] para ζ = [ β , ξ , μ , χ , θ ].

ϕ	Paramétrico β − ϕ	Autálica ξ − ϕ	Rectificando μ − ϕ	Conforme χ − ϕ	Geocéntrico θ − ϕ
0°	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′
15°	−2.88′	−3.84′	−4.32′	−5.76′	−5.76′
30°	−5.00′	−6.66′	−7.49′	−9.98′	−9.98′
45°	−5.77′	−7.70′	−8.66′	−11.54′	−11.55′
60°	−5.00′	−6.67′	−7.51′	−10.01′	−10.02′
75°	−2.89′	−3.86′	−4.34′	−5.78′	−5.79′
90°	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′

Latitud y sistemas de coordenadas

La latitud geodésica, o cualquiera de las latitudes auxiliares definidas en el elipsoide de referencia, constituye con la longitud un sistema de coordenadas bidimensional en ese elipsoide. Para definir la posición de un punto arbitrario es necesario extender dicho sistema de coordenadas a tres dimensiones. De esta forma se utilizan tres latitudes: las latitudes geodésica, geocéntrica y paramétrica se utilizan en coordenadas geodésicas, coordenadas polares esféricas y coordenadas elipsoidales respectivamente.

Coordenadas geodésicas

En un punto P arbitrario, considere la línea PN que es normal al elipsoide de referencia. Las coordenadas geodésicas P( ɸ , λ , h ) son la latitud y la longitud del punto N del elipsoide y la distancia PN . Esta altura difiere de la altura sobre el geoide o una altura de referencia como la altura sobre el nivel medio del mar en una ubicación específica. La dirección de PN también diferirá de la dirección de una plomada vertical. La relación de estas diferentes alturas requiere el conocimiento de la forma del geoide y también del campo de gravedad de la Tierra.

Coordenadas polares esféricas

La latitud geocéntrica θ es el complemento del ángulo polar o colatitud θ′ en coordenadas polares esféricas convencionales en las que las coordenadas de un punto son P( r , θ ′, λ ) donde r es la distancia de P al centro O , θ ′ es el ángulo entre el radio vector y el eje polar y λ es la longitud. Dado que la normal en un punto general del elipsoide no pasa por el centro, es claro que los puntos P'en la normal, que tienen todas la misma latitud geodésica, tendrán diferentes latitudes geocéntricas. Los sistemas de coordenadas polares esféricas se utilizan en el análisis del campo de gravedad.

Coordenadas armónicas elipsoidales

La latitud paramétrica también se puede extender a un sistema de coordenadas tridimensional. Para un punto P que no está en el elipsoide de referencia (semiejes OA y OB ) construya un elipsoide auxiliar que sea confocal (mismos focos F , F′ ) con el elipsoide de referencia: la condición necesaria es que el producto ae del semieje mayor y la excentricidad es la misma para ambos elipsoides. Sea u el semieje menor ( OD ) del elipsoide auxiliar. Además, sea β la latitud paramétrica de P en el elipsoide auxiliar. El conjunto ( u , β ,λ ) definen las coordenadas elipsoidales-armónicas o simplemente coordenadas elipsoidales (aunque ese término también se usa para referirse a coordenadas geodésicas). Estas coordenadas son la elección natural en los modelos del campo de gravedad para un cuerpo elipsoidal giratorio. Lo anterior se aplica a un elipsoide biaxial (un esferoide, como en coordenadas esferoidales achatadas); para una generalización, consulte coordenadas elipsoidales triaxiales .

Conversiones de coordenadas

Las relaciones entre los sistemas de coordenadas anteriores y también las coordenadas cartesianas no se presentan aquí. La transformación entre coordenadas geodésicas y cartesianas se puede encontrar en Conversión de coordenadas geográficas. La relación de los polares cartesianos y esféricos se da en el sistema de coordenadas esféricas. La relación de coordenadas cartesianas y elipsoidales se discute en Torge.

Latitud astronómica

La latitud astronómica ( Φ ) es el ángulo entre el plano ecuatorial y la dirección vertical verdadera en un punto de la superficie. La verdadera vertical, la dirección de una plomada, es también la dirección de la gravedad (la resultante de la aceleración gravitacional (basada en la masa) y la aceleración centrífuga) en esa latitud. La latitud astronómica se calcula a partir de los ángulos medidos entre el cenit y las estrellas cuya declinación se conoce con precisión.

En general, la vertical verdadera en un punto de la superficie no coincide exactamente ni con la normal al elipsoide de referencia ni con la normal al geoide. El ángulo entre las normales astronómica y geodésica se denomina desviación vertical y suele ser de unos pocos segundos de arco, pero es importante en geodesia. La razón por la que difiere de la normal al geoide es porque el geoide es una forma teórica idealizada "al nivel medio del mar". Los puntos en la superficie real de la tierra suelen estar por encima o por debajo de esta superficie geoide ideal y aquí la vertical verdadera puede variar ligeramente. Además, la verdadera vertical en un punto en un momento específico está influenciada por las fuerzas de marea, que el geoide teórico promedia.

La latitud astronómica no debe confundirse con la declinación, la coordenada que los astrónomos usan de manera similar para especificar la posición angular de las estrellas al norte/sur del ecuador celeste (ver coordenadas ecuatoriales), ni con la latitud eclíptica, la coordenada que los astrónomos usan para especificar la posición angular de las estrellas al norte/sur de la eclíptica (ver coordenadas de la eclíptica).

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