Las paradojas de Zenón

Las paradojas de Zenón son un conjunto de problemas filosóficos que, en general, se piensa que fueron ideados por el filósofo griego Zenón de Elea (c. 490-430 a. C.) para apoyar la teoría de Parménides. doctrina que, contrariamente a la evidencia de los sentidos, la creencia en la pluralidad y el cambio es errónea, y en particular que el movimiento no es más que una ilusión. Generalmente se asume, basado en el Parménides (128a-d) de Platón, que Zenón asumió el proyecto de crear estas paradojas porque otros filósofos habían creado paradojas contra Parménides. vista. Así, Platón hace que Zenón diga que el propósito de las paradojas "es mostrar que su hipótesis de que las existencias son muchas, si se sigue adecuadamente, conduce a resultados aún más absurdos que la hipótesis de que son una". Platón hace que Sócrates afirme que Zenón y Parménides estaban argumentando esencialmente exactamente el mismo punto. Algunas de las nueve paradojas sobrevivientes de Zenón (conservadas en la Física de Aristóteles) y el comentario de Simplicio al respecto) son esencialmente equivalentes entre sí. Aristóteles ofreció una refutación de algunos de ellos. Tres de los más fuertes y famosos, el de Aquiles y la tortuga, el argumento de la dicotomía y el de una flecha en vuelo, se presentan en detalle a continuación.

Los argumentos de Zenón son quizás los primeros ejemplos de un método de prueba llamado reductio ad absurdum, también conocido como prueba por contradicción. También se les acredita como fuente del método dialéctico utilizado por Sócrates. Algunos matemáticos e historiadores, como Carl Boyer, sostienen que las paradojas de Zeno son simplemente problemas matemáticos, para los cuales el cálculo moderno proporciona una solución matemática. Algunos filósofos, sin embargo, dicen que las paradojas de Zeno y sus variaciones (ver la lámpara de Thomson) siguen siendo problemas metafísicos relevantes. Los orígenes de las paradojas son algo confusos. Diogenes Laërtius, una cuarta fuente de información sobre Zenón y sus enseñanzas, citando a Favorino, dice que el maestro de Zenón, Parménides, fue el primero en presentar la paradoja de Aquiles y la tortuga. Pero en un pasaje posterior, Laercio atribuye el origen de la paradoja a Zenón, explicando que Favorino no está de acuerdo.

Paradojas del movimiento

Paradoja de la dicotomía

Lo que es in locomoción debe llegar a la mitad de la etapa antes de que llegue a la meta.

—relatado por Aristóteles, Física VI:9, 239b10

Supongamos que Atalanta desea caminar hasta el final de un camino. Antes de que pueda llegar allí, debe llegar a la mitad del camino. Antes de que pueda llegar a la mitad del camino, debe recorrer una cuarta parte del camino. Antes de viajar un cuarto, debe viajar un octavo; antes de un octavo, un dieciseisavo; y así.

La dicotomía

La secuencia resultante se puede representar como:

${displaystyle left{cdots{1}{16},{frac {1}{8}}},{frac {1}{4}}},{frac {1}{2}}}},1rightright}}$

Esta descripción requiere que uno complete una cantidad infinita de tareas, lo que Zeno sostiene es imposible.

Esta secuencia también presenta un segundo problema, ya que no contiene una primera distancia para correr, ya que cualquier posible primera distancia (finita) podría dividirse por la mitad y, por lo tanto, no sería la primera después de todo. Por lo tanto, el viaje ni siquiera puede comenzar. Entonces, la conclusión paradójica sería que el viaje sobre cualquier distancia finita no puede completarse ni comenzar, y por lo tanto todo movimiento debe ser una ilusión.

Este argumento se denomina "dicotomía" porque implica dividir repetidamente una distancia en dos partes. Un ejemplo con el sentido original se puede encontrar en una asíntota. También se conoce como la paradoja Race Course.

Aquiles y la tortuga

Aquiles y la tortuga

En una carrera, el corredor más rápido nunca puede superar lo más lento, ya que el perseguidor debe llegar primero al punto en que el perseguido comenzó, de modo que el más lento debe mantener siempre una ventaja.

—relatado por Aristóteles, Física VI:9, 239b15

En la paradoja de Aquiles y la tortuga, Aquiles está en una carrera a pie con la tortuga. Aquiles le permite a la tortuga una ventaja de 100 metros, por ejemplo. Suponga que cada corredor comienza a correr a una velocidad constante, uno más rápido que el otro. Después de un tiempo finito, Aquiles habrá corrido 100 metros, llevándolo al punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga ha corrido una distancia mucho más corta, digamos 2 metros. Entonces, Aquiles tardará un poco más en recorrer esa distancia, momento en el cual la tortuga habrá avanzado más; y luego más tiempo aún para llegar a este tercer punto, mientras la tortuga avanza. Por lo tanto, cada vez que Aquiles llega a algún lugar en el que ha estado la tortuga, todavía le queda cierta distancia por recorrer antes de que pueda alcanzar a la tortuga. Como señaló Aristóteles, este argumento es similar a la dicotomía. Carece, sin embargo, de la conclusión aparente de la inmovilidad.

Paradoja de la flecha

La flecha

Si todo cuando ocupa un espacio igual está en reposo en ese momento, y si lo que está en locomoción siempre está ocupando ese espacio en cualquier momento, la flecha voladora es por lo tanto inmóvil en ese momento y en el siguiente instante del tiempo, pero si ambos instantes del tiempo se toman como el mismo instante o continuo del tiempo entonces está en movimiento.

—relatado por Aristóteles, Física VI:9, 239b5

En la paradoja de la flecha, Zeno afirma que para que ocurra el movimiento, un objeto debe cambiar la posición que ocupa. Da un ejemplo de una flecha en vuelo. Afirma que en cualquier instante de tiempo (sin duración), la flecha no se mueve ni hacia donde está ni hacia donde no está. No puede moverse a donde no está, porque no transcurre el tiempo para que se mueva allí; no puede moverse a donde está, porque ya está allí. En otras palabras, en cada instante de tiempo no ocurre ningún movimiento. Si todo está inmóvil en cada instante, y el tiempo está enteramente compuesto de instantes, entonces el movimiento es imposible.

Mientras que las dos primeras paradojas dividen el espacio, esta paradoja comienza dividiendo el tiempo, y no en segmentos, sino en puntos.

Otras tres paradojas dadas por Aristóteles

Paradoja del lugar

De Aristóteles:

Si todo lo que existe tiene un lugar, el lugar también tendrá un lugar, y así sucesivamente ad infinitum.

Paradoja del grano de mijo

Descripción de la paradoja del Diccionario de Filosofía de Routledge:

El argumento es que un solo grano de mijo no hace ruido al caer, pero mil granos hacen un sonido. De ahí que mil nada se conviertan en algo, una conclusión absurda.

La refutación de Aristóteles:

El razonamiento de Zeno es falso cuando argumenta que no hay parte del mijo que no haga un sonido: porque no hay razón por la cual ninguna parte de este tipo no debe en ningún tiempo dejar de mover el aire que todo el bushel se mueve en caída. De hecho, no se mueve de sí mismo ni siquiera tal cantidad del aire como se movería si esta parte fuera por sí misma: porque ninguna parte existe de otra manera que potencialmente.

Descripción de Nick Huggett:

Este es un argumento Parmenidean que uno no puede confiar en el sentido de la audiencia. La respuesta de Aristóteles parece ser que incluso sonidos inaudibles pueden agregar a un sonido audible.

Las filas móviles (o estadio)

Las filas móviles

De Aristóteles:

... en relación a las dos filas de cuerpos, cada fila que se compone de un número igual de cuerpos de igual tamaño, pasando uno al otro en un curso de carrera mientras avanzan con igual velocidad en direcciones opuestas, la una fila ocupando originalmente el espacio entre el objetivo y el punto medio del curso y el otro que entre el punto medio y el puesto de partida. Esto... implica la conclusión de que la mitad de un tiempo dado es igual al doble de ese tiempo.

Para un relato ampliado de los argumentos de Zenón presentados por Aristóteles, véase el comentario de Simplicio Sobre la física de Aristóteles.

Soluciones propuestas

Diógenes la cínica

Según Simplicio, Diógenes el Cínico no dijo nada al escuchar los argumentos de Zenón, sino que se puso de pie y caminó, con el fin de demostrar la falsedad de las conclusiones de Zenón (ver solvitur ambulando). Sin embargo, para resolver por completo cualquiera de las paradojas, es necesario mostrar lo que está mal en el argumento, no solo en las conclusiones. A lo largo de la historia, se han propuesto varias soluciones, entre las primeras registradas están las de Aristóteles y Arquímedes.

Aristóteles

Aristóteles (384 a. C.-322 a. C.) señaló que a medida que disminuye la distancia, también disminuye el tiempo necesario para cubrir esas distancias, por lo que el tiempo necesario también se vuelve cada vez más pequeño. Aristóteles también distinguió "cosas infinitas con respecto a la divisibilidad" (como una unidad de espacio que puede dividirse mentalmente en unidades cada vez más pequeñas mientras permanece espacialmente igual) de cosas (o distancias) que son infinitas en extensión ("con respecto a sus extremos"). La objeción de Aristóteles a la paradoja de la flecha era que "el tiempo no está compuesto de ahoras indivisibles más de lo que cualquier otra magnitud está compuesta de indivisibles".

Arquímedes

Antes del 212 a. C., Arquímedes había desarrollado un método para derivar una respuesta finita para la suma de una cantidad infinita de términos que se hacen cada vez más pequeños. (Ver: Serie geométrica, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, La cuadratura de la parábola.) Su argumento, aplicando el método de agotamiento para probar que la suma infinita en cuestión sea igual al área de un cuadrado particular, es en gran parte geométrico pero bastante riguroso. El análisis de hoy logra el mismo resultado, usando límites (ver series convergentes). Estos métodos permiten la construcción de soluciones basadas en las condiciones estipuladas por Zeno, es decir, la cantidad de tiempo necesario para cada paso es geométricamente decreciente.

Tomás de Aquino

Tomás de Aquino, comentando la objeción de Aristóteles, escribió "Los instantes no son partes del tiempo, pues el tiempo no está hecho de instantes más de lo que una magnitud está hecha de puntos, como ya hemos demostrado. De donde no se sigue que una cosa no esté en movimiento en un tiempo dado, sólo porque no esté en movimiento en ningún instante de ese tiempo.

Bertrand Russell

Bertrand Russell ofreció lo que se conoce como la 'teoría del movimiento at-at'. Está de acuerdo en que no puede haber movimiento "durante" un instante sin duración, y sostiene que todo lo que se requiere para el movimiento es que la flecha esté en un punto en un momento, en otro punto en otro momento, y en los puntos apropiados entre esos dos puntos para los tiempos intermedios. En esta vista, el movimiento es solo un cambio de posición a lo largo del tiempo.

Hermann Weyl

Otra solución propuesta es cuestionar uno de los supuestos que Zeno usó en sus paradojas (particularmente la dicotomía), que es que entre dos puntos diferentes en el espacio (o el tiempo), siempre hay otro punto. Sin esta suposición, solo hay un número finito de distancias entre dos puntos, por lo tanto, no hay una secuencia infinita de movimientos y la paradoja se resuelve. Según Hermann Weyl, la suposición de que el espacio está hecho de unidades finitas y discretas está sujeta a un problema adicional, dado por el "argumento del mosaico" o "problema de función de distancia". Según esto, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el espacio discretizado es siempre igual a la longitud de uno de los dos lados, en contradicción con la geometría. Jean Paul Van Bendegem ha argumentado que el argumento del mosaico se puede resolver y que, por lo tanto, la discretización puede eliminar la paradoja.

Henri Bergson

Una conclusión alternativa, propuesta por Henri Bergson en su libro Matter and Memory de 1896, es que, si bien el camino es divisible, el movimiento no lo es. En este argumento, los instantes en el tiempo y las magnitudes instantáneas no existen físicamente. Un objeto en movimiento relativo no puede tener una posición relativa instantánea o determinada y, por lo tanto, su movimiento no puede ser diseccionado fraccionadamente.

Peter Lynds

En 2003, Peter Lynds presentó un argumento muy similar. Todas las paradojas del movimiento de Zeno se resuelven con la conclusión de que los instantes en el tiempo y las magnitudes instantáneas no existen físicamente. Lynds argumenta que un objeto en movimiento relativo no puede tener una posición relativa instantánea o determinada (porque si la tuviera, no podría estar en movimiento), y por lo tanto no puede tener su movimiento fragmentado como si la tuviera, como se supone por las paradojas. Para obtener más información sobre la incapacidad de conocer tanto la velocidad como la ubicación, consulte el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Nick Huggett

Nick Huggett argumenta que Zeno está asumiendo la conclusión cuando dice que los objetos que ocupan el mismo espacio que ocupan en reposo deben estar en reposo.

Paradojas en tiempos modernos

Los procesos infinitos siguieron siendo teóricamente problemáticos en matemáticas hasta finales del siglo XIX. Con la definición de límite épsilon-delta, Weierstrass y Cauchy desarrollaron una formulación rigurosa de la lógica y el cálculo involucrados. Estos trabajos resolvieron las matemáticas que involucran procesos infinitos.

Si bien las matemáticas pueden calcular dónde y cuándo el Aquiles en movimiento superará a la tortuga de la paradoja de Zenón, filósofos como Kevin Brown y Francis Moorcroft afirman que las matemáticas no abordan el punto central del argumento de Zeno, y que resolver los problemas matemáticos no resuelve todos los problemas que plantean las paradojas.

La literatura popular a menudo tergiversa los argumentos de Zenón. Por ejemplo, a menudo se dice que Zeno argumentó que la suma de un número infinito de términos debe ser infinita en sí misma, con el resultado de que no solo el tiempo, sino también la distancia a recorrer, se vuelven infinitas. Sin embargo, ninguna de las fuentes antiguas originales tiene a Zeno discutiendo la suma de cualquier serie infinita. Simplicio hace que Zenón diga "es imposible atravesar un número infinito de cosas en un tiempo finito". Esto presenta el problema de Zeno no de encontrar la suma, sino de terminar una tarea con un número infinito de pasos: ¿cómo se puede llegar de A a B?, si se puede identificar un número infinito de eventos (no instantáneos) que deben preceder a la llegada a B, y uno no puede llegar ni siquiera al comienzo de un "último evento"?

Tom Stoppard ofrece una versión humorística en su obra Jumpers de 1972, en la que el protagonista principal, el profesor de filosofía George Moore, sugiere que, según la paradoja de Zeno, San Sebastián, un santo cristiano del siglo III martirizado por un disparo de flechas, murió de miedo.

Continúa el debate sobre la cuestión de si las paradojas de Zenón se han resuelto o no. En La historia de las matemáticas: una introducción (2010), Burton escribe: "Aunque el argumento de Zeno confundió a sus contemporáneos, una explicación satisfactoria incorpora una idea ahora familiar, la noción de un 'serie infinita convergente.'"

Bertrand Russell ofreció una "solución" a las paradojas basadas en el trabajo de Georg Cantor, pero Brown concluye "Dada la historia de las 'resoluciones finales', desde Aristóteles en adelante, probablemente sea temerario pensar que hemos llegó al final. Puede ser que los argumentos de Zeno sobre el movimiento, por su simplicidad y universalidad, siempre sirvan como una especie de 'imagen de Rorschach'. sobre el cual las personas pueden proyectar sus preocupaciones fenomenológicas más fundamentales (si las tienen)."

Paradojas chinas similares

Diagrama de la paradoja de Hui Shi

Más o menos al mismo tiempo, durante el período de los Reinos Combatientes (475-221 a. C.), los antiguos filósofos chinos de la Escuela de los Nombres, una escuela de pensamiento similarmente preocupada por la lógica y la dialéctica, desarrollaron paradojas similares a las de Zenón. Las obras de la Escuela de Nombres se han perdido en gran parte, con la excepción de partes del Gongsun Longzi. La segunda de las Diez Tesis de Hui Shi sugiere el conocimiento de los infinitesimales: Lo que no tiene espesor no se puede amontonar; sin embargo, tiene una dimensión de mil li.

Entre los muchos acertijos registrados en su Zhuangzi hay uno muy similar a la Dicotomía de Zeno:

"Si desde un palo un pie largo todos los días tomas la mitad de ella, en una era de mil años no será agotado."

—Zhuangzi, capítulo 33 (Traducción del título)

El canon mohista parece proponer una solución a esta paradoja argumentando que al moverse a lo largo de una longitud medida, la distancia no se cubre en fracciones sucesivas de la longitud, sino en una sola etapa. Debido a la falta de obras sobrevivientes de la Escuela de Nombres, la mayoría de las otras paradojas enumeradas son difíciles de interpretar.

Efecto Zeno cuántico

En 1977, los físicos E. C. George Sudarshan y B. Misra descubrieron que la evolución dinámica (movimiento) de un sistema cuántico se puede obstaculizar (o incluso inhibir) mediante la observación del sistema. Este efecto suele denominarse "efecto Zeno cuántico" ya que recuerda mucho a la paradoja de la flecha de Zenón. Este efecto se teorizó por primera vez en 1958.

Comportamiento zeno

En el campo de la verificación y diseño de sistemas cronometrados e híbridos, el comportamiento del sistema se denomina Zeno si incluye un número infinito de pasos discretos en un tiempo finito. Algunas técnicas de verificación formal excluyen estos comportamientos del análisis, si no son equivalentes al comportamiento no Zenón. En el diseño de sistemas, estos comportamientos a menudo también se excluirán de los modelos de sistemas, ya que no se pueden implementar con un controlador digital.

Lewis Carroll y Douglas Hofstadter

Lo que la tortuga le dijo a Aquiles, escrito en 1895 por Lewis Carroll, fue un intento de revelar una paradoja análoga en el ámbito de la lógica pura. Si el argumento de Carroll es válido, la implicación es que las paradojas del movimiento de Zeno no son esencialmente problemas de espacio y tiempo, sino que van directamente al corazón del razonamiento mismo. Douglas Hofstadter hizo del artículo de Carroll una pieza central de su libro Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, escribiendo muchos más diálogos entre Aquiles y la tortuga para dilucidar sus argumentos. Hofstadter conecta las paradojas de Zeno con el teorema de incompletitud de Gödel en un intento por demostrar que los problemas planteados por Zeno son omnipresentes y se manifiestan en la teoría de sistemas formales, la computación y la filosofía de la mente.