Las conjeturas de Kaplansky
El matemático Irving Kaplansky se destaca por proponer numerosas conjeturas en varias ramas de las matemáticas, incluida una lista de diez conjeturas sobre las álgebras de Hopf. Suelen conocerse como conjeturas de Kaplansky.
Anillos de grupo
Sea K un campo y G un grupo sin torsión. La conjetura del divisor cero de Kaplansky establece:
- El anillo de grupo K[G] no contiene divisores notriviales cero, es decir, es un dominio.
Dos conjeturas relacionadas se conocen, respectivamente, como conjetura idempotente de Kaplansky:
- K[G] no contiene ningún idempotente no-trivial, es decir, si a2 = aEntonces a = 1 o a = 0.
y la conjetura unitaria de Kaplansky (que fue originalmente formulada por Graham Higman y popularizada por Kaplansky):
- K[G] no contiene ninguna unidad no-trivial, es decir, si ab = 1 dentro K[G]Entonces a = kg para algunos k dentro K y g dentro G.
La conjetura del divisor cero implica la conjetura idempotente y está implícita en la conjetura de la unidad. A partir de 2021, las conjeturas del divisor cero y del idempotente están abiertas. La conjetura de la unidad, sin embargo, fue refutada en la característica 2 por Giles Gardam al exhibir un contraejemplo explícito en un grupo cristalográfico, a saber, el grupo fundamental de la variedad Hantzsche-Wendt; ver también grupo de Fibonacci. Una preimpresión posterior de Gardam afirma que esencialmente el mismo elemento también da un contraejemplo en la característica 0 (encontrar una inversa es computacionalmente mucho más complicado en esta configuración, de ahí el retraso entre el primer resultado y el segundo).
Existen pruebas tanto de las conjeturas idempotentes como de cero visores para grandes clases de grupos. Por ejemplo, la conjetura de cero visores es conocida por todos los grupos amenables elementales libres de torsión (una clase incluyendo todos los grupos virtualmente solvables), ya que sus álgebras de grupo son conocidos como dominios Ore. Se deduce que la conjetura tiene más generalmente para todos los grupos amenables elementales libres de torsión residual. Note que cuando es un campo de cero característica, entonces la conjetura de cero visores está implícita por la conjetura de Atiyah, que también se ha establecido para grandes clases de grupos.
La conjetura idempotente tiene una generalización, la conjetura idempotente de Kadison, también conocida como conjetura de Kadison-Kaplansky, para elementos del álgebra C* del grupo reducido. En este contexto, se sabe que si la conjetura de Farrell-Jones es válida para K[G], también lo es La conjetura idempotente. Esto último se ha resuelto positivamente para una clase extremadamente grande de grupos, incluidos, por ejemplo, todos los grupos hiperbólicos.
También se sabe que la conjetura de la unidad se cumple en muchos grupos, pero sus soluciones parciales son mucho menos sólidas que las otras dos (como lo demuestra el contraejemplo mencionado anteriormente). No se sabe que esta conjetura se derive de ninguna afirmación analítica como las otras dos, por lo que todos los casos en los que se sabe que se cumple se han establecido mediante un enfoque combinatorio directo que involucra la llamada propiedad de productos únicos. Según el trabajo de Gardam mencionado anteriormente, ahora se sabe que esto no es cierto en general.
Álgebras de Banach
Esta conjetura establece que todo homomorfismo de álgebra del álgebra de Banach C(X) (funciones continuas de valores complejos en X, donde < i>X es un espacio compacto de Hausdorff) en cualquier otra álgebra de Banach, es necesariamente continua. La conjetura es equivalente a la afirmación de que toda norma de álgebra sobre C(X) es equivalente a la norma uniforme habitual. (El propio Kaplansky había demostrado anteriormente que cada norma de álgebra completa en C(X) es equivalente a la norma uniforme.)
A mediados de la década de 1970, H. Garth Dales y J. Esterle demostraron de forma independiente que, si además se asume la validez de la hipótesis del continuo, existen espacios compactos de Hausdorff X y homomorfismos discontinuos de C(X) a algo de álgebra de Banach, dando contraejemplos a la conjetura.
En 1976, R. M. Solovay (basándose en el trabajo de H. Woodin) exhibió un modelo de ZFC (teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel + axioma de elección) en el que la conjetura de Kaplansky es cierta. La conjetura de Kaplansky es, por tanto, un ejemplo de afirmación indecidible en ZFC.
Formas cuadráticas
En 1953, Kaplansky propuso la conjetura de que los valores finitos de las invariantes u sólo pueden ser potencias de 2.
En 1989, la conjetura fue refutada por Alexander Merkurjev quien demostró campos con u- invariantes de cualquier m. En 1999, Oleg Izhboldin construyó un campo con u- invariante m = 9 que fue el primer ejemplo de un extraño u- invariante. En 2006, Alexander Vishik demostró campos con u- invariante para cualquier entero k a partir de 3.
