La ruina del jugador

Did you mean:

In statistics, gambler 's ruin is the fact that a gambler playing a game with negative expected value will eventually go broke, regardless of their betting system.

El concepto se planteó inicialmente: un jugador persistente que aumenta su apuesta a una fracción fija de sus fondos después de ganar, pero no la reduce después de una pérdida, eventualmente e inevitablemente se arruinará, incluso si cada apuesta tiene un valor esperado positivo.

Otra afirmación del concepto es que un jugador persistente con riqueza finita, que juega un juego limpio (es decir, cada apuesta tiene un valor esperado de cero para ambos lados) eventualmente e inevitablemente arruinará contra un oponente con riqueza infinita. Esta situación se puede modelar mediante un paseo aleatorio sobre la recta de números reales. En ese contexto, es probable que el jugador, con virtual certeza, regrese a su punto de origen, lo que significa arruinarse y arruinarse un número infinito de veces si el paseo aleatorio continúa para siempre. Este es el corolario de un teorema general de Christiaan Huygens, también conocido como la ruina del jugador. Ese teorema muestra cómo calcular la probabilidad de que cada jugador gane una serie de apuestas que continúa hasta que se pierde toda la apuesta inicial, dadas las apuestas iniciales de los dos jugadores y la probabilidad constante de ganar. Esta es la idea matemática más antigua que recibe el nombre de ruina del jugador, pero no la primera idea a la que se aplicó el nombre. El uso común del término hoy en día es otro corolario del resultado de Huygens.

El concepto tiene relevancia específica para los jugadores. Sin embargo, también conduce a teoremas matemáticos con amplia aplicación y muchos resultados relacionados en probabilidad y estadística. El resultado de Huygens, en particular, condujo a importantes avances en la teoría matemática de la probabilidad.

Historia

La primera mención conocida del problema de la ruina del jugador es una carta de Blaise Pascal a Pierre Fermat en 1656 (dos años después de la correspondencia más famosa sobre el problema de los puntos). La versión de Pascal se resumió en una carta de 1656 de Pierre de Carcavi a Huygens:

Que dos hombres jueguen con tres dados, el primer jugador anotando un punto cada vez que 11 es lanzado, y el segundo cada vez que 14 es lanzado. Pero en lugar de los puntos acumulando de la manera ordinaria, dejemos que se añada un punto a la puntuación de un jugador sólo si la puntuación de su oponente es nula, pero de otra manera dejar que se reste de la puntuación de su oponente. Es como si los puntos opuestos forman parejas, y se aniquilan, de modo que el jugador que sigue siempre tiene cero puntos. El ganador es el primero en llegar a doce puntos; ¿cuáles son las posibilidades relativas de cada jugador ganador?

Did you mean:

Huygens reformulated the problem and published it in De ratiociniis in ludo aleae ("On Reasoning in Games of Chance ", 1657):

Problema (2-1) Cada jugador comienza con 12 puntos, y un exitoso rollo de los tres dados para un jugador (obtener un 11 para el primer jugador o un 14 para el segundo) añade uno a la puntuación de ese jugador y resta uno de la puntuación del otro jugador; el perdedor del juego es el primero en llegar a cero puntos. ¿Cuál es la probabilidad de victoria para cada jugador?

Esta es la formulación clásica de la ruina del jugador: dos jugadores comienzan con apuestas fijas, transfiriendo puntos hasta que uno u otro está "arruinado"; llegando a cero puntos. Sin embargo, el término "ruina del jugador" No se aplicó hasta muchos años después.

Razones de los cuatro resultados

Vamos d{displaystyle d} ser la cantidad de dinero que un jugador tiene a su disposición en cualquier momento, y dejar N{displaystyle N} ser cualquier entero positivo. Supongamos que él levanta su estaca para dN{fnMicroc} {d} {N}} cuando gana, pero no reduce su apuesta cuando pierde (este patrón general no es raro entre los jugadores reales). En virtud de este esquema de apuestas, se necesitará como máximo N perder apuestas seguidas para arruinarlo. Si su probabilidad de ganar cada apuesta es inferior a 1 (si es 1, entonces no es un jugador), es virtualmente seguro perder eventualmente N apuestas en una fila, sin embargo grande N Lo es. No es necesario que siga la regla precisa, sólo que aumenta su apuesta lo suficientemente rápido como gana. Esto es cierto incluso si el valor esperado de cada apuesta es positivo.

El jugador jugando un juego justo (con probabilidad) 12{fnMicroc} {1}{2}}} eventualmente se romperá o duplicará su riqueza. Por simetría, tiene una 12{fnMicroc} {1}{2}}} la oportunidad de ir roto antes de duplicar su dinero. Si duplica su dinero, repite este proceso y de nuevo tiene un 12{fnMicroc} {1}{2}}} la oportunidad de duplicar su dinero antes de ir a la quiebra. Después del segundo proceso, tiene un ()12)2=14{displaystyle left {frac}right)}{2}={frac} {1}{4}} la posibilidad de que no se haya roto todavía. Continuando así, su oportunidad de no irrumpir después de n{displaystyle n} procesos ()12)n{displaystyle left {frac {2}}derecha)} {n}} {fn}}, qué enfoques 0{displaystyle 0}, y su oportunidad de irrumpido después n{displaystyle n} procesos sucesivos .. i=1n()12)i{displaystyle sum _{i=1}n}left({frac {1}{2}right)}{i}}} enfoques 1{displaystyle 1}.

Did you mean:

Huygens 's result is illustrated in the next section.

El destino final de un jugador en un juego con valor esperado negativo no puede ser mejor que el del jugador en un juego justo, por lo que también se arruinará.

Did you mean:

Example of Huygens 's result

Lanzamiento justo de moneda

Considere un juego de lanzamiento de moneda con dos jugadores en el que cada jugador tiene un 50 % de posibilidades de ganar con cada lanzamiento de moneda. Después de cada lanzamiento de moneda, el perdedor transfiere un centavo al ganador. El juego termina cuando un jugador tiene todas las monedas.

Si no hay otras limitaciones en el número de lanzamientos, la probabilidad de que el juego finalmente termine de esta manera es 1. (Una forma de ver esto es la siguiente. Cualquier cadena finita dada de caras y cruces eventualmente será volteada con certeza: la probabilidad de no ver esta cadena, aunque alta al principio, decae exponencialmente. En particular, los jugadores eventualmente lanzarían una cadena de caras tan larga como el número total de monedas en juego, momento en el cual el juego ya debe haber terminó.)

Si el jugador uno tiene n₁ centavos y el jugador dos tiene n₂ centavos, las probabilidades P₁ y P₂ que los jugadores uno y dos, respectivamente, terminarán sin un centavo son:

P1=n2n1+n2P2=n1n1+n2{displaystyle {begin{aligned}P_{1} {n_{2} {n_{1}+n_{2}[5pt]P_{2} {n_{1} {n_{1}}end{aligned}}

Dos ejemplos de esto son si un jugador tiene más centavos que el otro; y si ambos jugadores tienen el mismo número de centavos. En el primer caso decir jugador uno ()P1){displaystyle (P_{1})} tiene 8 centavos y jugador dos (P2{displaystyle P_{2}) tenían 5 centavos entonces la probabilidad de cada pérdida es:

P1=58+5=513=0,3846o38.46% % P2=88+5=813=0.6154o61.54% % {displaystyle {begin{aligned}P_{1} {frac}{8+5}={frac}={frac} {5}{13}=0.3846{ or }}38.46%[6pt]P_{2} limit={frac {8}{8+5}={frac {8} {13}=0.6154{text{ or }61.54%end{aligned}}}} {8} {8} {8} {8} {8}} {8} {8}} {8} {8}} {8}}}}} {8}}} {8} {8} {8}}}} {8} {8}}}}}}}}}} {8}} {8} {8}}} {8} {8} {8}}}}}}}}} {8} {8}}} {8}}} {8}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {8}}}} {}}}}}} {8}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {8}}}}}}}}}}}}} {8}} {8}}}}}}}}

De ello se deduce que incluso con las mismas probabilidades de ganar, el jugador que comienza con menos centavos tiene más probabilidades de fracasar.

En el segundo caso, donde ambos jugadores tienen la misma cantidad de centavos (en este caso 6), la probabilidad de que cada uno pierda es:

P1=66+6=612=12=0.5P2=66+6=612=12=0.5{displaystyle {begin{aligned}P_{1} {6+6}={frac}={frac} {6}{12}={frac} {1}{2}=0.5[5pt]P_{2} {6}{12}={frac} {2}=0.5end{aligned}}

Lanzamiento injusto de moneda

En el caso de una moneda injusta, donde el jugador uno gana cada lanzamiento con probabilidad p, y el jugador dos gana con probabilidad q = 1 − p, entonces la probabilidad de cada final sin dinero es:

P1=1− − ()pq)n21− − ()pq)n1+n2P2=1− − ()qp)n11− − ()qp)n1+n2{displaystyle {begin{aligned}P_{1} {frac {1-({frac {frac {}{n_{2}}}{1-({frac {frac}}} {fn_}} {f}} {fn_}}}}} {fnf}}} {fnf}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}} { {fn} {fn}}[5pt]P_{2} {fn_}} {fn_} {fn_} {fn_}} {fn_}} {fnfn}} {fnK}}}}}}} {\fn}}}}}}}\\fn}}}}}}\\\\\\\\\\pn_\\\\p}p}p}p}p}p}p}p}p}\\\\\p}p}}}}}}}}\p}\\\\\\\\p}pn_\pn_\\pn_\p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}}p}p}p}p}p}p}p} {1-({frac {q}{n_{1}}{1-({frac}}{1-({frac} {f})} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}}}}} {fn}}}}}} {fn}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Un argumento es que el tiempo de golpe esperado es finito y así con un Martingale (teoría de probabilidad), asociando el valor ()qp)l{displaystyle left({frac {fnK}derecha)} con cada estado para que el valor esperado del estado sea constante, esta es la solución al sistema de ecuaciones:

P1+P2=1()qp)n1=P1+P2()qp)n1+n2{displaystyle {begin{aligned}P_{1}+P_{2} limit=1[5pt]left({frac {q}{p}}}right)} {n_{1}}} {4}+P_{2}left({frac}{frac} {f}}}}}}}}}p_p_p_p}}p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p}p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_p_ {fn} {fn} {fn}fn}} {fnfn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fnfn}}}} {fnfn}}}}}} {fnf}}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Alternately, this can be shown as follows: Considere la probabilidad de jugador 1 experimentando jugadores ruina haber comenzado con 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■1{displaystyle n confía1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/> cantidad de dinero, P()Rn){displaystyle P(R_{n}}. Entonces, usando la Ley de Probabilidad Total, tenemos

P()Rn)=P()Rn▪ ▪ W)P()W)+P()Rn▪ ▪ W̄ ̄ )P()W̄ ̄ ),{displaystyle P(R_{n})=P(R_{n}mid W)P(W)+P(R_{n}mid {bar {W})P({bar {W}})}

donde W denota el evento que el jugador 1 gana la primera apuesta. Entonces claramente P()W)=p{displaystyle P(W)=p} y P()W̄ ̄ )=1− − p=q{displaystyle P({bar {W})=1-p=q}. También P()Rn▪ ▪ W){displaystyle P(R_{n}mid W)} es la probabilidad de que el jugador 1 experimente la ruina del jugador haber comenzado con n+1{displaystyle n+1} cantidad de dinero: P()Rn+1){displaystyle P(R_{n+1})}; y P()Rn▪ ▪ W̄ ̄ ){displaystyle P(R_{n}mid {bar {W})} es la probabilidad de que el jugador 1 experimente la ruina del jugador haber comenzado con n− − 1{displaystyle n-1} cantidad de dinero: P()Rn− − 1){displaystyle P(R_{n-1}}.

Denotación qn=P()Rn){displaystyle q_{n}=P(R_{n}}, tenemos la relación lineal de recurrencia homogénea

qn=qn+1p+qn− − 1q,{displaystyle q_{n}=q_{n+1}p+q_{n-1}q,}

que podemos resolver utilizando el hecho de que q0=1{displaystyle q_{0}=1} (es decir, la probabilidad de la ruina del jugador dado que el jugador 1 comienza sin dinero es 1), y qn1+n2=0{displaystyle q_{n_{1}+n_{2}=0} (es decir, la probabilidad de la ruina del jugador dado que el jugador 1 comienza con todo el dinero es 0.) Para una descripción más detallada del método vea por ejemplo Feller (1970), Introducción a la teoría de probabilidad y sus aplicaciones, 3a edición.

Problema de ruina de N jugadores

El problema arriba descrito (2 jugadores) es un caso especial del llamado problema N-Player Ruin. Aquí. N≥ ≥ 2{displaystyle Ngeq 2} jugadores con capital inicial x1,x2,...... ,xN{displaystyle x_{1},x_{2},ldotsx_{N} dólares, respectivamente, jugar una secuencia de juegos independientes (arbitrarios) y ganar y perder ciertas cantidades de dólares entre sí y de acuerdo con reglas fijas. La secuencia de juegos termina tan pronto como al menos un jugador está arruinado. Los métodos estándar de cadena Markov se pueden aplicar para resolver este problema más general en principio, pero las computaciones rápidamente se vuelven prohibitivas tan pronto como el número de jugadores o sus capitales iniciales aumentan. Para N=2{displaystyle N=2} grandes capitales iniciales x1,x2{displaystyle x_{1},x_{2}} la solución puede ser bien aproximada utilizando el movimiento marroniano bidimensional. (Para) N≥ ≥ 3{displaystyle Ngeq 3} esto no es posible.) En la práctica el verdadero problema es encontrar la solución para los casos típicos N≥ ≥ 3{displaystyle Ngeq 3} y capital inicial limitado. Swan (2006) propuso un algoritmo basado en métodos matricial-analíticos (Folding Algorithm for ruin problems) que reduce significativamente el orden de la tarea computacional en tales casos.