La prueba ontológica de Gödel

La prueba ontológica de Gödel es un argumento formal del matemático Kurt Gödel (1906–1978) a favor de la existencia de Dios. El argumento está en una línea de desarrollo que se remonta a Anselmo de Canterbury (1033-1109). El argumento ontológico de San Anselmo, en su forma más sucinta, es el siguiente: “Dios, por definición, es aquello por lo cual no se puede concebir nada más grande. Dios existe en el entendimiento. Si Dios existe en el entendimiento, podríamos imaginarlo más grande existiendo en la realidad. Por lo tanto, Dios debe existir." Gottfried Leibniz (1646-1716) dio una versión más elaborada; esta es la versión que Gödel estudió e intentó aclarar con su argumento ontológico.

Gödel dejó un resumen de catorce puntos de sus creencias filosóficas en sus artículos. Los puntos relevantes para la prueba ontológica incluyen

4. Hay otros mundos y seres racionales de un tipo diferente y superior.

5. El mundo en el que vivimos no es el único en el que viviremos o hemos vivido.

13. Existe una filosofía y teología científicas (exactas), que se ocupa de conceptos de la abstracción más elevada; y esto también es muy fructífero para la ciencia.

14. Las religiones son, en su mayoría, malas, pero la religión no lo es.

Historia

La primera versión de la prueba ontológica en los artículos de Gödel está fechada 'alrededor de 1941'. No se sabe que Gödel le haya contado a nadie sobre su trabajo en la prueba hasta 1970, cuando pensó que se estaba muriendo. En febrero, permitió que Dana Scott copiara una versión de la prueba, que circuló de forma privada. En agosto de 1970, Gödel le dijo a Oskar Morgenstern que estaba "satisfecho" con la prueba, pero Morgenstern anotó en la entrada de su diario del 29 de agosto de 1970 que Gödel no publicaría porque temía que otros pudieran pensar "que él realmente cree en Dios, mientras que él solo se dedica a una investigación lógica". es decir, al mostrar que tal prueba con suposiciones clásicas (completitud, etc.) correspondientemente axiomatizadas, es posible)." Gödel murió el 14 de enero de 1978. En sus papeles se encontró otra versión, ligeramente diferente a la de Scott. Finalmente se publicó, junto con la versión de Scott, en 1987.

En cartas a su madre, que no asistía a la iglesia y había criado a Kurt y a su hermano como librepensadores, Gödel argumentó extensamente a favor de la creencia en una vida después de la muerte. Hizo lo mismo en una entrevista con un escéptico Hao Wang, quien dijo: "Expresé mis dudas mientras G hablaba [...] Gödel sonrió mientras respondía a mis preguntas, obviamente consciente de que sus respuestas no me convencían.." Wang informa que la esposa de Gödel, Adele, dos días después de la muerte de Gödel, le dijo a Wang que "Gödel, aunque no iba a la iglesia, era religioso y leía la Biblia en la cama todos los domingos por la mañana".." En una respuesta no enviada por correo a un cuestionario, Gödel describió su religión como "luterano bautizado (pero no miembro de ninguna congregación religiosa). Mi creencia es teísta, no panteísta, siguiendo a Leibniz en lugar de a Spinoza."

Esquema

La prueba utiliza la lógica modal, que distingue entre verdades necesarias y verdades contingentes. En la semántica más común para la lógica modal, muchos "mundos posibles" son considerados. Una verdad es necesaria si es verdadera en todos los mundos posibles. Por el contrario, si una declaración es verdadera en nuestro mundo, pero es falsa en otro mundo, entonces es una verdad contingente. Una declaración que es verdadera en algún mundo (no necesariamente el nuestro) se llama una verdad posible.

Además, la prueba usa una lógica de orden superior (modal) porque la definición de Dios emplea una cuantificación explícita sobre las propiedades.

Primero, Gödel axiomatiza la noción de una "propiedad positiva": para cada propiedad φ, ya sea φ o su negación ¬φ debe ser positivo, pero no ambos (axioma 2). Si una propiedad positiva φ implica una propiedad ψ en cada mundo posible, entonces ψ también es positivo (axioma 1). Gödel luego argumenta que cada propiedad positiva está "posiblemente ejemplificada", es decir, se aplica al menos a algún objeto en algún mundo (teorema 1). Definiendo un objeto como divino si tiene todas las propiedades positivas (definición 1), y requiriendo que esa propiedad sea positiva en sí misma (axioma 3), Gödel muestra que en algún mundo posible existe un objeto divino (teorema 2), llamado "Dios" en el siguiente. Gödel procede a demostrar que existe un objeto divino en todos mundos posibles.

Con este fin, define las esencias: si x es un objeto en algún mundo, entonces se dice que una propiedad φ es un esencia de x si φ(x) es verdadero en ese mundo y si φ implica necesariamente todas las demás propiedades que x tiene en ese mundo (definición 2). Al exigir que las propiedades positivas sean positivas en todos los mundos posibles (axioma 4), Gödel puede demostrar que la semejanza a Dios es una esencia de un objeto semejante a Dios (teorema 3). Ahora bien, se dice que x existe necesariamente si, para cada esencia φ de x, existe un elemento y con propiedad φ en todos los mundos posibles (definición 3). El axioma 5 requiere que la existencia necesaria sea una propiedad positiva.

Por lo tanto, debe seguirse de la semejanza a Dios. Además, la semejanza a Dios es una esencia de Dios, ya que implica todas las propiedades positivas, y cualquier propiedad no positiva es la negación de alguna propiedad positiva, por lo que Dios no puede tener ninguna propiedad no positiva. Dado que la existencia necesaria también es una propiedad positiva (axioma 5), debe ser una propiedad de todo objeto divino, ya que todo objeto divino tiene todas las propiedades positivas (definición 1). Dado que cualquier objeto divino existe necesariamente, se sigue que cualquier objeto divino en un mundo es un objeto divino en todos los mundos, según la definición de existencia necesaria. Dada la existencia de un objeto divino en un mundo, demostrado anteriormente, podemos concluir que hay un objeto divino en todos los mundos posibles, como se requiere (teorema 4). Además del axioma 1-5 y la definición 1-3, en la prueba se usaron tácitamente algunos otros axiomas de la lógica modal.

A partir de estas hipótesis, también es posible demostrar que existe un solo Dios en cada mundo por la ley de Leibniz, la identidad de los indiscernibles: dos o más objetos son idénticos (iguales) si tienen todas sus propiedades en común, por lo que solo habría un objeto en cada mundo que posee la propiedad G. Sin embargo, Gödel no intentó hacerlo, ya que deliberadamente limitó su prueba a la cuestión de la existencia, en lugar de la unicidad.

Notación simbólica

Ax. 1.()P()φ φ )∧ ∧ ▪ ▪ О О x()φ φ ()x)⇒ ⇒ ↑ ↑ ()x)))⇒ ⇒ P()↑ ↑ )Ax. 2.P()¬ ¬ φ φ ).. ¬ ¬ P()φ φ )Th. 1.P()φ φ )⇒ ⇒ Cause Cause ∃ ∃ xφ φ ()x)Df. 1.G()x).. О О φ φ ()P()φ φ )⇒ ⇒ φ φ ()x))Ax. 3.P()G)Th. 2.Cause Cause ∃ ∃ xG()x)Df. 2.φ φ essx.. φ φ ()x)∧ ∧ О О ↑ ↑ ()↑ ↑ ()x)⇒ ⇒ ▪ ▪ О О Sí.()φ φ ()Sí.)⇒ ⇒ ↑ ↑ ()Sí.)))Ax. 4.P()φ φ )⇒ ⇒ ▪ ▪ P()φ φ )Th. 3.G()x)⇒ ⇒ GessxDf. 3.E()x).. О О φ φ ()φ φ essx⇒ ⇒ ▪ ▪ ∃ ∃ Sí.φ φ ()Sí.))Ax. 5.P()E)Th. 4.▪ ▪ ∃ ∃ xG()x){displaystyle {begin{rl}{text{Ax. 1.} {left(P(varphi);wedge ;Box ;forall x(varphi (x) Rightarrow psi (x))right);Rightarrow ;P(psi)\{text{Ax. 2.} {neg varphi);Leftrightarrow;neg P(varphi)\{text{Th. 1.} {cH00}} ventajaP(varphi);Rightarrow ;Diamond ;exists x;varphi (x){text{Df. 1.} {G(x);Leftrightarrow ;forall varphi (P(varphi) Rightarrow varphi (x)\{text{Ax. 3.} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}}\ Diamond ;exists x;G(x)\{text{Df. 2.} {varphi {text{ ess }x;Leftrightarrow ;varphi (x)wedge forall psi left(psi (x) RightBox;for all y(varphi (y)Rightarrow psi (y)right)\{text{Ax. 4.}} {varphi);Rightarrow ;Box;P(varphi)\\text{f}} {f}fnMicrosoft] Box ;exists x;G(x)end{array}}

Crítica

La mayoría de las críticas a la prueba de Gödel se dirigen a sus axiomas: como con cualquier prueba en cualquier sistema lógico, si se duda de los axiomas de los que depende la prueba, entonces se puede dudar de las conclusiones. Es particularmente aplicable a la prueba de Gödel, porque se basa en cinco axiomas, algunos de los cuales se consideran cuestionables. Una prueba no requiere que la conclusión sea correcta, sino que al aceptar los axiomas, la conclusión se sigue lógicamente.

Muchos filósofos han cuestionado los axiomas. La primera capa de crítica es simplemente que no se presentan argumentos que den razones por las que los axiomas son verdaderos. Una segunda capa es que estos axiomas particulares conducen a conclusiones no deseadas. Esta línea de pensamiento fue argumentada por Jordan Howard Sobel, mostrando que si se aceptan los axiomas, conducen a un 'colapso modal'. donde todo enunciado que es verdadero es necesariamente verdadero, es decir, los conjuntos de verdades necesarias, contingentes y posibles coinciden todas (siempre que haya mundos accesibles). Según Robert Koons, Sobel sugirió en un documento de la conferencia de 2005 que Gödel podría haber recibido con agrado el colapso modal.

Hay enmiendas sugeridas a la prueba, presentadas por C. Anthony Anderson, pero Anderson y Michael Gettings argumentaron que son refutables. Koons ha cuestionado la prueba del colapso modal de Sobel, pero Sobel ha presentado una contradefensa.

La prueba de Gödel también ha sido cuestionada por Graham Oppy, preguntando si muchos otros casi-dioses también serían "probados" a través de los axiomas de Gödel. Este contraargumento ha sido cuestionado por Gettings, quien está de acuerdo en que los axiomas pueden ser cuestionados, pero no está de acuerdo con que el contraejemplo particular de Oppy pueda mostrarse a partir de los axiomas de Gödel.

El erudito religioso p. Robert J. Spitzer aceptó la prueba de Gödel, calificándola de "una mejora sobre el argumento ontológico anselmiano (que no funciona)".

Hay, sin embargo, muchas más críticas, la mayoría centradas en la cuestión de si estos axiomas deben rechazarse para evitar conclusiones extrañas. La crítica más amplia es que incluso si no se puede demostrar que los axiomas son falsos, eso no significa que sean verdaderos. El famoso comentario de Hilbert sobre la intercambiabilidad de los primitivos' nombres se aplica a los de los axiomas ontológicos de Gödel ('positivo', 'semejante a un dios', 'esencia') así como a los de Hilbert. Axiomas de geometría de 39 ("punto", "línea", "plano"). Según André Fuhrmann (2005), queda por demostrar que la noción deslumbrante prescrita por las tradiciones y que a menudo se cree que es esencialmente misteriosa satisface los axiomas de Gödel. Esta no es una tarea matemática, sino teológica. Es esta tarea la que decide qué dios de la religión se ha demostrado que existe.

Versiones verificadas por computadora

Christoph Benzmüller y Bruno Woltzenlogel-Paleo formalizaron la prueba de Gödel a un nivel que es adecuado para la prueba automatizada de teoremas o al menos para la verificación por computadora a través de asistentes de prueba. El esfuerzo fue noticia en los periódicos alemanes. Según los autores de este esfuerzo, se inspiraron en el libro de Melvin Fitting.

En 2014, verificaron por computadora la prueba de Gödel (en la versión anterior). También probaron que los axiomas de esta versión son consistentes, pero implican un colapso modal, lo que confirma el argumento de Sobel de 1987.

En el mismo documento, sospechaban que la versión original de Gödel de los axiomas era inconsistente, ya que no demostraban su consistencia. En 2016, dieron una prueba computarizada de que esta versión implica Cause Cause ▪ ▪ ⊥ ⊥ {displaystyle Diamond Box bot }, es decir, es inconsistente en cada lógica modal con una relación de accesibilidad reflexiva o simétrica. Además, dieron un argumento de que esta versión es inconsistente en todas las lógicas, pero no pudo duplicarla por los proversores automatizados. Sin embargo, pudieron verificar la reformulación del argumento de Melvin Fitting y garantizar su consistencia.

En la literatura

Una variante humorística de la prueba ontológica de Gödel se menciona en la novela The Jolly Coroner de Quentin Canterel. La prueba también se menciona en la serie de televisión La mano de Dios.

La novela de Jeffrey Kegler de 2007 La prueba de Dios describe el redescubrimiento (ficticio) del cuaderno perdido de Gödel sobre la prueba ontológica.