La paradoja del peluquero

La paradoja del barbero es un rompecabezas derivado de la paradoja de Russell. Fue utilizado por Bertrand Russell como ilustración de la paradoja, aunque lo atribuye a una persona anónima que se lo sugirió. El rompecabezas muestra que un escenario aparentemente plausible es lógicamente imposible. Específicamente, describe a un barbero que se define de tal manera que se afeita y no se afeita, lo que implica que no existe tal barbero.

Paradoja

El barbero es el "que afeita a todos aquellos, y sólo a aquellos, que no se afeitan a sí mismos". La pregunta es, ¿el barbero se afeita solo?

Cualquier respuesta a esta pregunta resulta en una contradicción: el barbero no puede afeitarse a sí mismo, ya que solo afeita a aquellos que no se afeitan a sí mismos. Así, si se afeita a sí mismo deja de ser el peluquero especificado. Por el contrario, si el peluquero no se afeita a sí mismo, entonces encaja en el grupo de personas que serían afeitadas por el peluquero especificado y, por lo tanto, como ese peluquero, debe afeitarse a sí mismo.

En su forma original, esta paradoja no tiene solución, ya que tal barbero no puede existir. La pregunta es una pregunta cargada en el sentido de que asume la existencia de un barbero que no podría existir, lo cual es una proposición vacía y, por lo tanto, falsa. Hay otras variaciones no paradójicas, pero son diferentes.

Historia

Esta paradoja a menudo se atribuye incorrectamente a Bertrand Russell (por ejemplo, por Martin Gardner en ¡Ajá!). Se le sugirió a Russell como una forma alternativa de la paradoja de Russell, que Russell había ideado para mostrar que la teoría de conjuntos, tal como la usaban Georg Cantor y Gottlob Frege, contenía contradicciones. Sin embargo, Russell negó que la paradoja del barbero fuera un caso propio:

Esa contradicción [la paradoja de Russell] es extremadamente interesante. Puede modificar su forma; algunas formas de modificación son válidas y algunas no lo son. Una vez tuve un formulario sugerido para mí que no era válido, a saber, la cuestión de si el barbero se afeita o no. Usted puede definir el barbero como "uno que afeita a todos aquellos, y los únicos, que no se afeitan". La pregunta es, ¿se afeita el barbero? En esta forma la contradicción no es muy difícil de resolver. Pero en nuestra forma anterior creo que es claro que sólo se puede rodear observando que toda la cuestión de si una clase es o no es un miembro de sí misma es una tontería, es decir, que ninguna clase es o no un miembro de sí mismo, y que ni siquiera es cierto decir eso, porque toda la forma de palabras es sólo ruido sin sentido.

—Bertrand Russell, La filosofía del atomismo lógico

Este punto se desarrolla más en Versiones aplicadas de la paradoja de Russell.

En lógica de primer orden

${displaystyle (exists x)({text{person}(x)wedge (forall y)({text{person}(y)implies ({text{shaves}(x,y)iff neg {text{shaves}(y,y))})}}}}$

Esta frase dice que un barbero x existe. Su valor de verdad es falso, ya que la cláusula existencial es insaciable (una contradicción) debido al cuantificador universal ${displaystyle (forall)}$. El cuantificador universal Sí. incluirá cada elemento en el dominio, incluyendo nuestro barbero infame x. Así que cuando el valor x se asigna Sí., la frase en el cuantificador universal puede ser reescrita a ${displaystyle {text{shaves}(x,x)iff neg {text{shaves}(x,x)}$, que es un ejemplo de la contradicción ${displaystyle aiff neg a}$. Puesto que la frase es falsa por ese valor particular, toda la cláusula universal es falsa. Puesto que la cláusula existencial es una conjunción con un operado que es falso, toda la frase es falsa. Otra manera de demostrar esto es negar toda la frase y llegar a una tautología. Nadie es un barbero, así que no hay solución a la paradoja.

${displaystyle (exists x)({text{person}(x)wedge bot)}$

${displaystyle (exists x)(bot)}$

${displaystyle bot }$