La paradoja de russell

En lógica matemática, la paradoja de Russell (también conocida como antinomia de Russell) es una paradoja de teoría de conjuntos descubierta por el filósofo británico y matemático Bertrand Russell en 1901. La paradoja de Russell muestra que toda teoría de conjuntos que contiene un principio de comprensión sin restricciones conduce a contradicciones. La paradoja ya había sido descubierta de forma independiente en 1899 por el matemático alemán Ernst Zermelo. Sin embargo, Zermelo no publicó la idea, que solo conocían David Hilbert, Edmund Husserl y otros académicos de la Universidad de Göttingen. A finales de la década de 1890, Georg Cantor –considerado el fundador de la moderna teoría de conjuntos– ya se había dado cuenta de que su teoría conduciría a una contradicción, lo cual se lo comunicó a Hilbert y Richard Dedekind por carta.

Según el principio de comprensión irrestricta, para cualquier propiedad suficientemente bien definida, existe el conjunto de todos y sólo los objetos que tienen esa propiedad. Sea R el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Si R no es miembro de sí mismo, entonces su definición implica que es miembro de sí mismo; si es miembro de sí mismo, entonces no es miembro de sí mismo, ya que es el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. La contradicción resultante es la paradoja de Russell. En símbolos:

VamosR={}x▪ ▪ x∉x}, entoncesR▪ ▪ R⟺ ⟺ R∉R{displaystyle {text{Let }R={xmid xnot in x}{text{, then }}} Rin Riff Rnot in R}

Russell también demostró que se podía derivar una versión de la paradoja en el sistema axiomático construido por el filósofo y matemático alemán Gottlob Frege, lo que socava el intento de Frege de reducir las matemáticas a la lógica y cuestiona el programa logicista. En 1908 se propusieron dos formas influyentes de evitar la paradoja: la propia teoría de tipos de Russell y la teoría de conjuntos de Zermelo. En particular, los axiomas de Zermelo restringieron el principio de comprensión ilimitada. Con las contribuciones adicionales de Abraham Fraenkel, la teoría de conjuntos de Zermelo se convirtió en la ahora estándar teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (comúnmente conocida como ZFC cuando se incluye el axioma de elección). La principal diferencia entre la solución de Russell y la de Zermelo a la paradoja es que Zermelo modificó los axiomas de la teoría de conjuntos manteniendo un lenguaje lógico estándar, mientras que Russell modificó el lenguaje lógico mismo. El lenguaje de ZFC, con la ayuda de Thoralf Skolem, resultó ser el de la lógica de primer orden.

Presentación informal

La mayoría de los conjuntos comúnmente encontrados no son miembros de sí mismos. Por ejemplo, considere el conjunto de todos los cuadrados en un plano. Este conjunto no es en sí mismo un cuadrado en el plano, por lo que no es miembro de sí mismo. Llamemos a un conjunto "normal" si no es un miembro de sí mismo, y "anormal" si es un miembro de sí mismo. Claramente, cada conjunto debe ser normal o anormal. El conjunto de cuadrados en el plano es normal. Por el contrario, el conjunto complementario que contiene todo lo que no es un cuadrado en el plano no es en sí mismo un cuadrado en el plano, por lo que es uno de sus propios miembros y, por lo tanto, es anormal.

Ahora consideramos el conjunto de todos los conjuntos normales, R, y tratamos de determinar si R es normal o anormal. Si R fuera normal, estaría contenido en el conjunto de todos los conjuntos normales (él mismo), y por lo tanto sería anormal; por otro lado, si R fuera anormal, no estaría contenido en el conjunto de todos los conjuntos normales (en sí mismo) y, por lo tanto, sería normal. Esto lleva a la conclusión de que R no es ni normal ni anormal: la paradoja de Russell.

Presentación oficial

El término "teoría de conjunto vivo" se utiliza de varias maneras. En un uso, la teoría de conjuntos ingenuos es una teoría formal, que se formula en un idioma de primer orden con un predicado binario no-lógico ▪ ▪ {displaystyle in }, y que incluye el Axioma de la extensionidad:

О О xО О Sí.()О О z()z▪ ▪ x⟺ ⟺ z▪ ▪ Sí.)⟹ ⟹ x=Sí.){displaystyle forall x,forall y,(forall z,(zin xiff zin y)implies x=y)}

y el esquema del axioma de comprensión sin restricciones:

∃ ∃ Sí.О О x()x▪ ▪ Sí.⟺ ⟺ φ φ ()x)){displaystyle exists yforall x(xin yiff varphi (x)}

para cualquier fórmula φ φ {displaystyle varphi } con la variable x como una variable libre dentro φ φ {displaystyle varphi }. Substituto x∉ ∉ x{displaystyle xnotin x} para φ φ ()x){displaystyle varphi (x)}. Luego por instantánea existencial (utilizando el símbolo Sí.{displaystyle y}) y la instantánea universal que tenemos

Sí.▪ ▪ Sí.⟺ ⟺ Sí.∉ ∉ Sí.{displaystyle yin yiff ynotin y}

una contradicción. Por lo tanto, esta teoría ingenua de conjuntos es inconsistente.

Respuestas de teoría de conjuntos

A partir del principio de explosión de la lógica clásica, cualquier proposición puede demostrarse a partir de una contradicción. Por lo tanto, la presencia de contradicciones como la paradoja de Russell en una teoría axiomática de conjuntos es desastrosa; ya que si se puede probar que alguna fórmula es verdadera, destruye el significado convencional de verdad y falsedad. Además, dado que la teoría de conjuntos se consideraba la base de un desarrollo axiomático de todas las demás ramas de las matemáticas, la paradoja de Russell amenazaba los fundamentos de las matemáticas en su conjunto. Esto motivó una gran cantidad de investigación a principios del siglo XX para desarrollar una teoría de conjuntos consistente (libre de contradicciones).

En 1908, Ernst Zermelo propuso una axiomatización de la teoría de conjuntos que evitaba las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua al reemplazar la comprensión arbitraria de conjuntos con axiomas de existencia más débiles, como su axioma de separación (Aussonderung). Las modificaciones a esta teoría axiomática propuestas en la década de 1920 por Abraham Fraenkel, Thoralf Skolem y el mismo Zermelo dieron como resultado la teoría axiomática de conjuntos llamada ZFC. Esta teoría se volvió ampliamente aceptada una vez que el axioma de elección de Zermelo dejó de ser controvertido, y ZFC se ha mantenido como la teoría de conjuntos axiomática canónica hasta el día de hoy.

ZFC no asume que, para cada propiedad, hay un conjunto de todas las cosas que satisfacen esa propiedad. Más bien, afirma que dado cualquier conjunto X, existe cualquier subconjunto de X definible mediante lógica de primer orden. El objeto R discutido anteriormente no se puede construir de esta manera y, por lo tanto, no es un conjunto ZFC. En algunas extensiones de ZFC, los objetos como R se denominan clases propias.

ZFC no dice nada acerca de los tipos, aunque la jerarquía acumulativa tiene una noción de capas que se asemejan a los tipos. El mismo Zermelo nunca aceptó la formulación de ZFC de Skolem usando el lenguaje de la lógica de primer orden. Como señala José Ferreirós, Zermelo insistió en cambio en que "las funciones proposicionales (condiciones o predicados) utilizadas para separar subconjuntos, así como las funciones de reemplazo, pueden ser 'totalmente arbitrarias' [ganz beliebig];" la interpretación moderna que se le da a esta afirmación es que Zermelo quería incluir una cuantificación de orden superior para evitar la paradoja de Skolem. Alrededor de 1930, Zermelo también introdujo (aparentemente independientemente de von Neumann), el axioma de fundamento, así —como observa Ferreirós— "al prohibir 'circular' y 'sin conexión a tierra' conjuntos, [ZFC] incorporó una de las motivaciones cruciales de TT [teoría de tipos]: el principio de los tipos de argumentos. Este ZFC de segundo orden preferido por Zermelo, incluido el axioma de fundamento, permitió una rica jerarquía acumulativa. Ferreirós escribe que "Zermelo's 'layers' son esencialmente los mismos que los tipos en las versiones contemporáneas de TT simple [teoría de tipos] ofrecida por Gödel y Tarski. Uno puede describir la jerarquía acumulativa en la que Zermelo desarrolló sus modelos como el universo de un TT acumulativo en el que se permiten tipos transfinitos. (Una vez que hemos adoptado un punto de vista impredicativo, abandonando la idea de que las clases se construyen, no es antinatural aceptar tipos transfinitos). esencialmente sobre los mismos objetos previstos. La principal diferencia es que TT se basa en una fuerte lógica de orden superior, mientras que Zermelo empleó una lógica de segundo orden, y ZFC también puede recibir una formulación de primer orden. La 'descripción' de primer orden de la jerarquía acumulativa es mucho más débil, como lo demuestra la existencia de modelos numerables (paradoja de Skolem), pero goza de algunas ventajas importantes."

En ZFC, dado un conjunto A, es posible definir un conjunto B que consta exactamente de los conjuntos en A que son no miembros de sí mismos. B no puede estar en A por el mismo razonamiento en la Paradoja de Russell. Esta variación de la paradoja de Russell muestra que ningún conjunto lo contiene todo.

A través del trabajo de Zermelo y otros, especialmente John von Neumann, la estructura de lo que algunos ven como lo "natural" los objetos descritos por ZFC finalmente se aclararon; son los elementos del universo de von Neumann, V, construidos a partir del conjunto vacío iterando transfinitamente la operación del conjunto potencia. Por lo tanto, ahora es posible nuevamente razonar sobre conjuntos de una manera no axiomática sin entrar en conflicto con la paradoja de Russell, es decir, razonando sobre los elementos de V. Si es apropiado pensar en conjuntos de esta manera es un punto de discusión entre los puntos de vista rivales sobre la filosofía de las matemáticas.

Otras soluciones a la paradoja de Russell, con una estrategia subyacente más cercana a la de la teoría de tipos, incluyen los nuevos fundamentos de Quine y la teoría de conjuntos de Scott-Potter. Otro enfoque más es definir una relación de pertenencia múltiple con un esquema de comprensión modificado apropiadamente, como en la teoría de conjuntos de extensión doble.

Historia

Russell descubrió la paradoja en mayo o junio de 1901. Según su propio relato en su Introducción a la filosofía matemática de 1919, "intentó descubrir algún defecto en la prueba de Cantor de que no hay mayor cardenal". En una carta de 1902, anunció el descubrimiento a Gottlob Frege de la paradoja en el Begriffsschrift de Frege de 1879 y enmarcó el problema en términos tanto de lógica como de teoría de conjuntos, y en particular en términos de Frege& #39;s definición de función:

Sólo hay un punto en el que he encontrado una dificultad. Usted declara (pág. 17 [pág. 23 supra]) que una función también puede actuar como el elemento indeterminado. Esto creía anteriormente, pero ahora este punto de vista me parece dudoso por la siguiente contradicción. Vamos w ser el predicado: ser un predicado que no puede ser predicado de sí mismo. Can w ¿Se predica de sí mismo? De cada respuesta su opuesto sigue. Por lo tanto, debemos concluir que w no es un predicado. Tampoco hay clase (como totalidad) de esas clases que, cada una tomada como totalidad, no pertenecen a sí mismas. De esto concluyo que bajo ciertas circunstancias una colección definible [Menge] no forma una totalidad.

Russell continuaría cubriéndolo extensamente en su libro Los principios de las matemáticas de 1903, donde repitió su primer encuentro con la paradoja:

Antes de salir de las cuestiones fundamentales, es necesario examinar más detalladamente la singular contradicción, ya mencionada, con respecto a los predicados no predicables de sí mismos.... Puedo mencionar que fui llevado a ello en el esfuerzo por reconciliar la prueba de Cantor...".

Russell le escribió a Frege sobre la paradoja justo cuando Frege estaba preparando el segundo volumen de su Grundgesetze der Arithmetik. Frege respondió a Russell muy rápidamente; apareció su carta del 22 de junio de 1902, con el comentario de van Heijenoort en Heijenoort 1967: 126–127. Frege luego escribió un apéndice en el que admitía la paradoja y propuso una solución que Russell respaldaría en sus Principios de las matemáticas, pero que luego algunos consideraron insatisfactoria. Por su parte, Russell tuvo su obra en la imprenta y añadió un apéndice sobre la doctrina de los tipos.

Ernst Zermelo en su (1908) Una nueva prueba de la posibilidad de un buen ordenamiento (publicado al mismo tiempo que publicó "la primera teoría axiomática de conjuntos") estableció afirmación del descubrimiento previo de la antinomia en la ingenua teoría de conjuntos de Cantor. Afirma: "Y, sin embargo, incluso la forma elemental que Russell⁹ dio a las antinomias de la teoría de conjuntos podría haberlos persuadido [J. König, Jourdain, F. Bernstein] que la solución de estas dificultades no debe buscarse en la renuncia al buen orden sino sólo en una adecuada restricción de la noción de conjunto. La nota al pie 9 es donde hace su afirmación:

⁹1903, págs. 366 a 368. Había descubierto esta antinomia yo mismo, independientemente de Russell, y la había comunicado antes de 1903 al profesor Hilbert entre otros..

Frege envió una copia de su Grundgesetze der Arithmetik a Hilbert; como se señaló anteriormente, el último volumen de Frege menciona la paradoja que Russell le había comunicado a Frege. Después de recibir el último volumen de Frege, el 7 de noviembre de 1903, Hilbert le escribió una carta a Frege en la que decía, refiriéndose a la paradoja de Russell: "Creo que el Dr. Zermelo la descubrió hace tres o cuatro años". hace". Se descubrió un relato escrito del argumento real de Zermelo en el Nachlass de Edmund Husserl.

En 1923, Ludwig Wittgenstein propuso "eliminar" de la paradoja de Russell como sigue:

La razón por la que una función no puede ser su propio argumento es que el signo de una función ya contiene el prototipo de su argumento, y él no puede contenerse. Porque supongamos que la función F(fx) podría ser su propio argumento: en ese caso habría una proposición F(F(fx)), en la que la función externa F y la función interna F debe tener diferentes significados, ya que el interior tiene la forma O(fx) y el exterior tiene la forma Y(O(fx)). Sólo la letra 'F' es común a las dos funciones, pero la letra por sí misma no significa nada. Esto inmediatamente se vuelve claro si en lugar de F(Fu) Escribimos (do): F(Ou). Ou = Fu. Eso elimina la paradoja de Russell. ()Tractatus Logico-Philosofico, 3.333)

Russell y Alfred North Whitehead escribieron sus Principia Mathematica en tres volúmenes con la esperanza de lograr lo que Frege no había podido lograr. Intentaron desterrar las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua empleando una teoría de tipos que idearon para este propósito. Si bien lograron fundamentar la aritmética de alguna manera, no es del todo evidente que lo hicieran por medios puramente lógicos. Si bien Principia Mathematica evitó las paradojas conocidas y permitió la derivación de una gran cantidad de matemáticas, su sistema dio lugar a nuevos problemas.

En cualquier caso, Kurt Gödel en 1930-1931 demostró que mientras que la lógica de gran parte de Principia Mathematica, ahora conocida como lógica de primer orden, es completa, la aritmética de Peano es necesariamente incompleta si es coherente. Se considera ampliamente, aunque no universalmente, que esto ha demostrado que el programa logicista de Frege es imposible de completar.

En 2001, se celebró en Múnich una Conferencia Internacional del Centenario que celebraba los primeros cien años de la paradoja de Russell y se publicaron sus actas.

Versiones aplicadas

Hay algunas versiones de esta paradoja que están más cerca de situaciones de la vida real y pueden ser más fáciles de entender para los que no son lógicos. Por ejemplo, la paradoja del barbero supone un barbero que afeita a todos los hombres que no se afeitan y solo a los que no se afeitan. Cuando uno piensa si el barbero debe afeitarse o no, la paradoja comienza a surgir.

Una refutación fácil de las "versiones del profano" como la paradoja del barbero parece ser que no existe tal barbero, o que el barbero tiene alopecia, o es mujer, y en los dos últimos casos el barbero no se afeita, por lo que puede existir sin paradoja. El punto central de la paradoja de Russell es que la respuesta 'tal conjunto no existe' significa que la definición de la noción de conjunto dentro de una teoría dada es insatisfactoria. Tenga en cuenta la diferencia entre las afirmaciones "tal conjunto no existe" y "es un conjunto vacío". Es como la diferencia entre decir "No hay balde" y diciendo "El balde está vacío".

Una notable excepción a lo anterior puede ser la paradoja de Grelling-Nelson, en la que las palabras y el significado son los elementos del escenario en lugar de las personas y el corte de cabello. Aunque es fácil refutar la paradoja del barbero diciendo que tal barbero no existe (y no puede) existir, es imposible decir algo similar sobre una palabra definida significativamente.

Una forma en que se ha dramatizado la paradoja es la siguiente: Supongamos que cada biblioteca pública tiene que compilar un catálogo de todos sus libros. Dado que el catálogo es en sí mismo uno de los libros de la biblioteca, algunos bibliotecarios lo incluyen en el catálogo para que esté completo; mientras que otros lo dejan fuera, ya que es evidente que es uno de los libros de la biblioteca. Ahora imagine que todos estos catálogos se envían a la biblioteca nacional. Algunos de ellos se incluyen a sí mismos en sus listados, otros no. El bibliotecario nacional compila dos catálogos maestros: uno de todos los catálogos que se enumeran a sí mismos y otro de todos los que no.

La pregunta es: ¿deberían incluirse estos catálogos maestros? El 'Catálogo de todos los catálogos que se enumeran a sí mismos' no es problema. Si el bibliotecario no lo incluye en su propio listado, sigue siendo un verdadero catálogo de aquellos catálogos que sí se incluyen a sí mismos. Si lo incluye, sigue siendo un verdadero catálogo de los que se enumeran a sí mismos. Sin embargo, así como el bibliotecario no puede equivocarse con el primer catálogo maestro, está condenado al fracaso con el segundo. Cuando se trata del 'Catálogo de todos los catálogos que no se enumeran a sí mismos', el bibliotecario no puede incluirlo en su propio listado, porque entonces se incluiría a sí mismo, y por lo tanto pertenecería al otro catálogo, el de los catálogos que sí se incluyen a sí mismos. Sin embargo, si el bibliotecario lo omite, el catálogo está incompleto. De cualquier manera, nunca puede ser un verdadero catálogo maestro de catálogos que no se enumeran a sí mismos.

Aplicaciones y temas relacionados

Paradojas tipo Russell

Como se ilustra arriba para la paradoja del barbero, la paradoja de Russell no es difícil de extender. Llevar:

• Un verbo transitivo que puede aplicarse a su forma sustantiva.

Forma la oración:

El que no se golpea a sí mismo,

A veces el "todo" se reemplaza por "todos los ⟨V⟩ers".

Un ejemplo sería "pintura":

El pintura... pinturatodo (y sólo los) que no pintura ellos mismos.

o "elegir"

El elegidoso (representante), que elegidostodo lo que no elegidos ellos mismos.

En el episodio de la temporada 8 de The Big Bang Theory, "The Skywalker Intrusion", Sheldon Cooper analiza la canción "Play That Funky Music" y concluye que la letra presenta un ejemplo musical de la Paradoja de Russell.

Las paradojas que caen en este esquema incluyen:

• El barbero con "afeitar".
• La paradoja original de Russell con "contener": El contenedor (Set) que contiene todos (contenedores) que no se contienen.
• La paradoja Grelling-Nelson con "descriptor": El descriptor (palabra) que describe todas las palabras, que no se describen.
• La paradoja de Richard con "denote": El denoter (número) que denota todos los denoters (números) que no se denotan. (En esta paradoja, todas las descripciones de números obtienen un número asignado. El término "que denota todos los denoters (números) que no se denotan" se llama aquí Richardian.)
• "Estoy mintiendo.", a saber, la paradoja mentirosa y la paradoja epimenides, cuyos orígenes son antiguos
• Russell-Myhill paradox

Paradojas relacionadas

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