La paradoja de ricardo

En lógica, la paradoja de Richard es una antinomia semántica de la teoría de conjuntos y el lenguaje natural descrita por primera vez por el matemático francés Jules Richard en 1905. La paradoja se usa normalmente para motivar la importancia de Distinguiendo cuidadosamente entre matemáticas y metamatemáticas.

Kurt Gödel cita específicamente la antinomia de Richard como un análogo semántico a su resultado sintáctico incompleto en la sección introductoria de "Sobre proposiciones formalmente indecidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados I". La paradoja fue también una motivación para el desarrollo de las matemáticas predicativas.

Descripción

El enunciado original de la paradoja, debido a Richard (1905), está fuertemente relacionado con el argumento diagonal de Cantor sobre la incontabilidad del conjunto de números reales.

La paradoja comienza con la observación de que ciertas expresiones del lenguaje natural definen números reales sin ambigüedades, mientras que otras expresiones del lenguaje natural no lo hacen. Por ejemplo, "El número real cuya parte entera es 17 y el nésimo lugar decimal es 0 si n es par y 1 si n es impar" define el número real 17.1010101... = 1693/99, mientras que la frase "la capital de Inglaterra" no define un número real, ni la frase "el entero positivo más pequeño no definible en menos de sesenta letras" (ver la paradoja de Berry).

Hay una lista infinita de frases en inglés (tal que cada frase tiene una longitud finita, pero la lista en sí tiene una longitud infinita) que definen los números reales sin ambigüedades. Primero organizamos esta lista de frases aumentando la longitud, luego ordenamos lexicográficamente todas las frases de igual longitud, de modo que el orden sea canónico. Esto produce una lista infinita de los números reales correspondientes: r₁, r₂,.... Ahora defina un nuevo número real r de la siguiente manera. La parte entera de r es 0, el nésimo decimal de r es 1 si el nésimo decimal lugar de r_n no es 1, y el nésimo lugar decimal de r es 2 si el nésimo decimal de r_n es 1.

El párrafo anterior es una expresión en inglés que define inequívocamente un número real r. Por lo tanto, r debe ser uno de los números r_n. Sin embargo, r se construyó de modo que no puede ser igual a ninguno de los r_n (por lo tanto, r es un número indefinible). Esta es la contradicción paradójica.

Análisis y relación con las metamatemáticas

La paradoja de Richard resulta en una contradicción insostenible, que debe analizarse para encontrar un error.

La definición propuesta del nuevo número real r incluye claramente una secuencia finita de caracteres y, por lo tanto, al principio parece ser una definición de un número real. Sin embargo, la definición se refiere a la propia definibilidad en inglés. Si fuera posible determinar qué expresiones en inglés realmente de definen un número real y cuáles no, entonces se produciría la paradoja. Por lo tanto, la resolución de la paradoja de Richard es que no hay forma de determinar sin ambigüedades exactamente qué oraciones en inglés son definiciones de números reales (ver Good 1966). Es decir, no hay manera de describir en un número finito de palabras cómo saber si una expresión inglesa arbitraria es una definición de un número real. Esto no es sorprendente, ya que la capacidad de hacer esta determinación también implicaría la capacidad de resolver el problema de la detención y realizar cualquier otro cálculo no algorítmico que pueda describirse en inglés.

Un fenómeno similar ocurre en las teorías formalizadas que pueden referirse a su propia sintaxis, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC). Digamos que una fórmula φ(x) define un número real si hay exactamente un número real r tal que φ(r) se mantiene. Entonces no es posible definir, por ZFC, el conjunto de todas las (números de Gödel de) fórmulas que definen números reales. Porque, si fuera posible definir este conjunto, sería posible hacer una diagonal sobre él para producir una nueva definición de un número real, siguiendo el esquema de la paradoja de Richard anterior. Tenga en cuenta que el conjunto de fórmulas que definen los números reales puede existir, como un conjunto F; la limitación de ZFC es que no hay ninguna fórmula que defina F sin referencia a otros conjuntos. Esto está relacionado con el teorema de indefinibilidad de Tarski.

El ejemplo de ZFC ilustra la importancia de distinguir las metamatemáticas de un sistema formal de las declaraciones del propio sistema formal. La propiedad D(φ) de que una fórmula φ de ZFC define un número real único no es expresable en sí misma por ZFC, pero debe considerarse como parte de la metateoría utilizada para formalizar ZFC. Desde este punto de vista, la paradoja de Richard resulta de tratar una construcción de la metateoría (la enumeración de todas las declaraciones en el sistema original que definen los números reales) como si esa construcción pudiera realizarse en el sistema original.

Variación: números richardianos

Una variación de la paradoja utiliza números enteros en lugar de números reales, al tiempo que conserva el carácter autorreferencial del original. Considere un idioma (como el inglés) en el que se definen las propiedades aritméticas de los números enteros. Por ejemplo, "el primer número natural" define la propiedad de ser el primer número natural, uno; y "divisible por exactamente dos números naturales" define la propiedad de ser un número primo (Está claro que algunas propiedades no se pueden definir explícitamente, ya que todo sistema deductivo debe comenzar con algunos axiomas. Pero para los propósitos de este argumento, se supone que frases como "an entero es la suma de dos números enteros, ya se entienden). Si bien la lista de todas estas definiciones posibles es infinita en sí misma, se ve fácilmente que cada definición individual se compone de un número finito de palabras y, por lo tanto, también de un número finito de caracteres. Dado que esto es cierto, podemos ordenar las definiciones, primero por longitud y luego lexicográficamente.

Ahora, podemos asignar cada definición al conjunto de números naturales, de modo que la definición con el menor número de caracteres y orden alfabético corresponderá al número 1, la siguiente definición en la serie corresponderá al 2, y así en. Dado que cada definición está asociada con un número entero único, es posible que ocasionalmente el número entero asignado a una definición se ajuste a esa definición. Si, por ejemplo, la definición "no divisible por ningún número entero que no sea 1 y sí mismo" pasó a ser 43, entonces esto sería cierto. Dado que 43 en sí mismo no es divisible por ningún otro entero que no sea 1 y él mismo, entonces el número de esta definición tiene la propiedad de la definición misma. Sin embargo, esto puede no ser siempre el caso. Si la definición: "divisible por 3" fueron asignados al número 58, entonces el número de la definición no tiene la propiedad de la definición misma. Dado que 58 en sí mismo no es divisible por 3. Este último ejemplo se denominará que tiene la propiedad de ser richardiano. Por tanto, si un número es richardiano, entonces la definición correspondiente a ese número es una propiedad que el propio número no tiene. (Más formalmente, "x es ricardiano" es equivalente a "x no tiene la propiedad designada por la expresión definitoria con la que x se correlaciona en el conjunto de definiciones ordenadas en serie"). Así, en este ejemplo, 58 es ricardiano, pero 43 no lo es.

Ahora, dado que la propiedad de ser richardiano es en sí misma una propiedad numérica de los números enteros, pertenece a la lista de todas las definiciones de propiedades. Por lo tanto, a la propiedad de ser ricardiano se le asigna un número entero, n. Por ejemplo, la definición "ser ricardiano" podría asignarse al número 92. Finalmente, la paradoja se convierte en: ¿El 92 es ricardiano? Supongamos que 92 es ricardiano. Esto solo es posible si 92 no tiene la propiedad designada por la expresión definitoria con la que está correlacionado. En otras palabras, esto significa que 92 no es ricardiano, lo que contradice nuestra suposición. Sin embargo, si suponemos que 92 no es ricardiano, entonces tiene la propiedad definitoria a la que corresponde. Esto, por definición, significa que es ricardiano, nuevamente contrario a la suposición. Por lo tanto, la afirmación "92 es ricardiano" no puede ser designado consistentemente como verdadero o falso.

Relación con el predicativismo

Otra opinión sobre la paradoja de Richard se relaciona con el predicativismo matemático. Según esta vista, los números reales se definen en etapas, y cada etapa solo hace referencia a etapas anteriores y otras cosas que ya se han definido. Desde un punto de vista predicativo no es válido cuantificar sobre todos los números reales en el proceso de generar un nuevo número real, porque se cree que esto resulta en un problema de circularidad en las definiciones. Las teorías de conjuntos como ZFC no se basan en este tipo de marco predicativo y permiten definiciones impredicativas.

Richard (1905) presentó una solución a la paradoja desde el punto de vista del predicativismo. Richard afirmó que la falla de la construcción paradójica era que la expresión para la construcción del número real r en realidad no define un número real sin ambigüedades, porque la declaración se refiere a la construcción de un conjunto infinito de números reales. números, de los cuales r mismo es una parte. Por lo tanto, dice Richard, el número real r no se incluirá como ningún r_n, porque la definición de r no cumple los criterios para ser incluido en la secuencia de definiciones utilizadas para construir la secuencia r_n. Los matemáticos contemporáneos están de acuerdo en que la definición de r no es válida, pero por una razón diferente. Creen que la definición de r no es válida porque no hay una noción bien definida de cuándo una frase en inglés define un número real, por lo que no hay una forma inequívoca de construir la secuencia r_n.

Aunque la solución de Richard a la paradoja no ganó el favor de los matemáticos, el predicativismo es una parte importante del estudio de los fundamentos de las matemáticas. El predicativismo fue estudiado en detalle por primera vez por Hermann Weyl en Das Kontinuum, donde demostró que gran parte del análisis real elemental se puede realizar de manera predicativa comenzando solo con los números naturales. Más recientemente, el predicativismo ha sido estudiado por Solomon Feferman, quien ha utilizado la teoría de la prueba para explorar la relación entre los sistemas predicativo e impredicativo.