La paradoja de la rueda de Aristóteles
Paradoja de rueda de Aristóteles es una paradoja o problema que aparece en el trabajo griego pseudo-aristotélico Mechanica Declara lo siguiente: Una rueda se representa en el espacio bidimensional como dos círculos. Su círculo exterior más grande es tangencial a una superficie horizontal (por ejemplo, una carretera que roda), mientras que la más pequeña, interior tiene el mismo centro y está rígidamente afianzada a la mayor. (El círculo más pequeño podría ser la cuenta de un neumático, el borde que se monta sobre, o el eje.) Asumiendo que los rollos de círculo más grandes sin deslizarse (o esquiar) para una revolución completa, las distancias movidas por las circunferencias de ambos círculos son las mismas. La distancia viajada por el círculo más grande es igual a su circunferencia, pero para los más pequeños es mayor que su circunferencia, creando así una paradoja.
La paradoja no se limita a las ruedas: otras cosas representadas en dos dimensiones muestran el mismo comportamiento, como un rollo de cinta adhesiva, o una típica botella o frasco redondo enrollado de lado (el círculo más pequeño sería la boca o el cuello de el frasco o botella).
En una versión alternativa del problema, el círculo más pequeño, en lugar del más grande, está en contacto con la superficie horizontal. Los ejemplos incluyen una rueda de tren típica, que tiene una pestaña, o una barra montada a horcajadas sobre un banco. El educador y filósofo estadounidense Israel Drabkin llamó a estas versiones de la paradoja del Caso II, y se aplica un análisis similar, pero no idéntico.
Historia de la paradoja
En la antigüedad
En la antigüedad, el problema de la rueda se describió en la obra griega Mechanica, tradicionalmente atribuida a Aristóteles, pero que se cree ampliamente que fue escrita por un miembro posterior de su escuela. (Thomas Winter ha hecho la propuesta alternativa de que fue escrito por Archytas). También aparece en la Mechanica de Hero of Alexandria. En la versión aristotélica aparece como "Problema 24", donde la descripción de la rueda se da de la siguiente manera:
Para dejar que haya un círculo más grande ΔZ más pequeño EHB, y A en el centro de ambos; ZI ser la línea que el mayor se desenrolla por sí mismo, y HK que los más pequeños se desenrollan por sí mismos, igual a Z. Cuando muevo el círculo más pequeño, muevo el mismo centro, eso es A; que el más grande esté unido a él. Cuando AB se vuelve perpendicular a HK, al mismo tiempo Una caja se vuelve perpendicular a Z, por lo que siempre habrá completado una distancia igual, a saber HK para la circunferencia HB, y Z para Z. Si el trimestre desenrolla una distancia igual, está claro que todo el círculo desenrollará una distancia igual al círculo entero para que cuando la línea BH viene K, la circunferencia Z será Z, y todo el círculo será desenrollado. De la misma manera, cuando muevo el gran círculo, ajustando el pequeño a él, su centro es el mismo, AB será perpendicular y en ángulos rectos simultáneamente con Una caja, este último a ZI, el primero a HO. Así que, cuando el uno habrá completado una línea igual a HO, y el otro a ZI, y ZA se vuelve perpendicular a Z, y HA a HK, para que sean como en el principio . y I.
El problema se plantea entonces:
Ahora ya que no hay parada de lo más grande para lo más pequeño para que [el mayor] permanezca por un intervalo de tiempo en el mismo punto, y ya que el más pequeño no salta sobre ningún punto, es extraño que el mayor atraviesa un camino igual al de lo más pequeño, y de nuevo que el más pequeño atraviesa un camino igual al de lo más grande. Además, es notable que, aunque en cada caso sólo hay un movimiento, el centro que se mueve en un caso roda una gran distancia y en el otro una distancia menor.
En la revolución científica
El matemático Gerolamo Cardano analiza el problema de la rueda en su Opus novum de proporcionalibus numerorum de 1570, cuestionando la presunción de su análisis en términos de movimiento. Mersenne lo discutió más a fondo en su Quaestiones Celeberrimae in Genesim de 1623, donde sugiere que el problema puede analizarse mediante un proceso de expansión y contracción de los dos círculos. Pero Mersenne quedó insatisfecho con su comprensión y escribió:
De hecho Nunca he podido descubrir, y no creo que nadie más haya podido descubrir si el círculo más pequeño toca el mismo punto dos veces, o procede con saltos y deslizamientos.
En sus Dos nuevas ciencias, Galileo utiliza el problema de la rueda para defender un cierto tipo de atomismo. Comienza su análisis considerando un par de hexágonos concéntricos, en lugar de círculos. Imaginando este hexágono "rodando" En una superficie, Galileo nota que el hexágono interior "salta" un poco de espacio con cada rollo del exterior en una nueva cara. Luego imagina lo que sucedería con el límite cuando el número de caras de un polígono se vuelve muy grande, y descubre que el pequeño espacio que se “salta” se vuelve más grande. por el polígono interior se hace cada vez más pequeño. El escribe:
Por lo tanto, un polígono más grande que tiene mil lados pasa y mide una línea recta igual a su perímetro, mientras que al mismo tiempo el más pequeño pasa una línea aproximadamente igual, pero una interrumpidamente compuesta de mil pequeñas partículas iguales a sus mil lados con mil espacios poco vacíos interpuestos, porque podemos llamar estos "void" en relación a los mil linelets tocados por los lados del polígono.
Dado que un círculo es sólo el límite en el que el número de caras del polígono se vuelve infinito, Galileo descubre que la rueda de Aristóteles contiene material que está lleno de espacios infinitesimales o "vacíos", y que "los vacíos interpuestos no están cuantificados, sino que son infinitos". Esto lo lleva a concluir que la creencia en los átomos –en el sentido de que la materia está “compuesta por una infinidad de átomos no cuantificables”– es una creencia en los átomos. – es suficiente para explicar el fenómeno. Gilles de Roberval (1602-1675) también está asociado con este análisis.
En el siglo XIX
Bernard Bolzano analizó la rueda de Aristóteles en Las paradojas del infinito (1851), un libro que influyó en Georg Cantor y los pensadores posteriores sobre las matemáticas del infinito. Bolzano observa que existe una biyección entre los puntos de dos arcos similares cualesquiera, que puede implementarse dibujando un radio, señalando que la historia de este hecho aparentemente paradójico se remonta a Aristóteles.
En el siglo XX
El autor de Falacias y paradojas matemáticas utiliza una moneda de diez centavos pegada a un medio dólar (que representa círculos más pequeños y más grandes, respectivamente) con sus centros alineados y ambos fijados a un eje, como modelo para la paradoja. El escribe:
Esta es la solución, entonces, o la clave para ella. Aunque tienes cuidado de no dejar que el medio dólar se desliza en la mesa, el “punto” que rastrea el segmento de línea al pie del centavo es tanto girando y deslizando todo el tiempo. Se desliza con respecto a la mesa. Ya que el centavo no toca la parte superior de la mesa, usted no nota el deslizamiento. Si puedes rodar el medio dólar a lo largo de la mesa y al mismo tiempo rodar el centavo (o mejor aún el eje) a lo largo de un bloque de madera, puedes observar el deslizamiento. Si alguna vez has estacionado demasiado cerca del bordillo, has notado el chillido hecho por tu tapadera ya que se desliza (y los rollos) en el bordillo mientras tu neumático simplemente se roda en el pavimento. Cuanto menor sea el pequeño círculo relativo al gran círculo, más se desliza el pequeño. Por supuesto el centro de los dos círculos no gira en absoluto, por lo que se desliza todo el camino.
Análisis y soluciones
La paradoja es que el círculo interior más pequeño se mueve 2πR, la circunferencia del círculo exterior más grande con radio Ren lugar de su propia circunferencia. Si el círculo interno se rodaba por separado, se movería 2πr, su propia circunferencia con radio r. El círculo interno no está separado, sino rígidamente conectado con el más grande.
Primera solución
Si el círculo más pequeño depende del más grande (Caso I), el movimiento del círculo más grande obliga al más pequeño a atravesar la circunferencia del más grande. Si el círculo más grande depende del más pequeño (Caso II), entonces el movimiento del círculo más pequeño obliga al círculo más grande a atravesar la circunferencia del círculo más pequeño. Ésta es la solución más sencilla.
Segunda solución
Esta solución considera la transición desde las posiciones inicial a final. Sea Pb un punto en el círculo más grande y Ps sea un punto en el círculo más pequeño, ambos en el mismo radio. Por conveniencia, supongamos que ambos están directamente debajo del centro, de manera análoga a ambas manecillas de un reloj que apuntan hacia las seis. Tanto Pb como Ps viajan en una trayectoria cicloide mientras ruedan juntos una revolución.
Mientras cada uno viaja 2πR horizontalmente de principio a fin, Ps es más corta y más eficiente que la de Pb. Pb viaja más arriba y más abajo de la trayectoria del centro (el único recto) que Ps.
Si Pb y Ps< /span> estuvieran en cualquier otro lugar de sus respectivos círculos, los caminos curvos tendrían la misma longitud. En resumen, el círculo más pequeño se mueve horizontalmente 2πR porque cualquier punto en el círculo más pequeño recorre un camino más corto y, por lo tanto, más directo que cualquier punto en el círculo más grande. círculo.