La paradoja de Hilbert del Grand Hotel

Hilbert's Hotel

La paradoja del Gran Hotel de Hilbert (coloquial: Paradoja del Hotel Infinito o El Hotel de Hilbert) es una experimento mental que ilustra una propiedad contraria a la intuición de los conjuntos infinitos. Está demostrado que un hotel totalmente ocupado con un número infinito de habitaciones aún puede alojar huéspedes adicionales, incluso un número infinito de ellos, y este proceso puede repetirse con una frecuencia infinita. La idea fue presentada por David Hilbert en una conferencia de 1924 'Über das Unendliche', reimpresa en (Hilbert 2013, p.730), y se popularizó a través del libro de 1947 de George Gamow One Two Tres... Infinito.

La paradoja

Considere un hotel hipotético con un número contablemente infinito de habitaciones, todas las cuales están ocupadas. Uno podría estar tentado a pensar que el hotel no podría acomodar a los huéspedes recién llegados, como sería el caso con un número finito de habitaciones, donde se aplicaría el principio del casillero.

Finitivamente muchas nuevas invitadas

Supongamos que llega un nuevo huésped y desea ser alojado en el hotel. Podemos (simultáneamente) mover al huésped que está actualmente en la habitación 1 a la habitación 2, al huésped que está actualmente en la habitación 2 a la habitación 3, y así sucesivamente, moviendo a cada huésped de su habitación actual n a la habitación n+1. Después de esto, la habitación 1 está vacía y el nuevo huésped puede trasladarse a esa habitación. Repitiendo este procedimiento, es posible dejar espacio para cualquier número finito de nuevos huéspedes. En general, asuma que los huéspedes k buscan una habitación. Podemos aplicar el mismo procedimiento y mover a cada huésped de la habitación n a la habitación n + k. De manera similar, si los huéspedes k quisieran abandonar el hotel, todos los huéspedes se moverán de la habitación n a la habitación n − k.

Infinitamente muchas nuevas invitadas

También es posible alojar un número infinito contable de nuevos huéspedes: basta con mover la persona que ocupa la habitación 1 a la habitación 2, el huésped que ocupa la habitación 2 a la habitación 4 y, en general, el huésped que ocupa la habitación n a la habitación 2n (2 veces n), y todas las habitaciones impares (que son infinitas contablemente) serán gratis para los nuevos huéspedes.

Infinidad de autocares con infinitos invitados cada uno

Es posible acomodar infinitamente muchas cargas de pasajeros contablemente infinito cada uno, por varios métodos diferentes. La mayoría de los métodos dependen de los asientos en los entrenadores ya numerados (o utilizar el axioma de elección contable). En general cualquier función de emparejamiento se puede utilizar para resolver este problema. Para cada uno de estos métodos, considere el número de asiento de un pasajero en un entrenador para ser n{displaystyle n}, y su número de entrenador para ser c{displaystyle c}, y los números n{displaystyle n} y c{displaystyle c} son entonces alimentados en los dos argumentos de la función de emparejamiento.

Método de las potencias principales

Enviar al huésped en la habitación i{displaystyle i} a la habitación 2i{displaystyle 2^{i}, luego poner la carga del primer entrenador en las habitaciones 3n{displaystyle 3^{n}, el segundo coche está cargado en las habitaciones 5n{displaystyle 5^{n}; para el número de entrenador c{displaystyle c} usamos las habitaciones pn{displaystyle p^{n} Donde p{displaystyle p} es c{displaystyle c}es un número primo. Esta solución deja algunas habitaciones vacías (que pueden o no ser útiles para el hotel); específicamente, todos los números que no son poderes primarios, como 15 o 847, ya no serán ocupados. (Así que, estrictamente hablando, esto muestra que el número de llegadas es menos que o igual a el número de vacantes creadas. Es más fácil demostrar, por un medio independiente, que el número de llegadas también es mayor o igual a el número de vacantes y, por consiguiente, iguales, que modificar el algoritmo a un ajuste exacto.) (El algoritmo funciona igualmente bien si uno intercambia n{displaystyle n} y c{displaystyle c}, pero cualquier elección es hecha, debe ser aplicado uniformemente en todo.)

Método de factorización prima

Cada persona de un determinado asiento s{displaystyle s} y entrenador c{displaystyle c} se puede poner en la habitación 2s3c{displaystyle 2^{s}3^{c} (presunción) c=0 para la gente ya en el hotel, 1 para el primer entrenador, etc.). Debido a que cada número tiene una factorización primaria única, es fácil ver que todas las personas tendrán una habitación, mientras que ninguna dos personas terminarán en la misma habitación. Por ejemplo, la persona en la habitación 2592 (2534{displaystyle 2^{5}3^{4}Estaba sentado en el cuarto entrenador, en el quinto asiento. Como el método de los primeros poderes, esta solución deja ciertas habitaciones vacías.

Este método también se puede ampliar fácilmente para noches infinitas, entradas infinitas, etc. ()2s3c5n7e...{displaystyle 2^{s}3^{c}5^{n}7})

Método de entrelazado

Para cada pasajero, compare las longitudes de n{displaystyle n} y c{displaystyle c} como escrito en cualquier sistema de numeral posicional, como decimal. (Trata a cada residente de hotel como en el entrenador #0.) Si uno de los números es más corto, agregue ceros principales hasta que ambos valores tengan el mismo número de dígitos. Interlea los dígitos para producir un número de habitación: sus dígitos serán [el primer dígito del número de autobús]-[el primer dígito del número de asiento]-[segundo dígito del número de asiento]-etc. El hotel (coach #0) en la habitación número 1729 se mueve a la habitación 01070209 (es decir, la habitación 1.070,209). El pasajero en el asiento 1234 del autobús 789 va a la habitación 01728394 (es decir, habitación 1,728,394).

A diferencia de la solución de potencias principales, esta llena el hotel por completo y podemos reconstruir el asiento y el vagón originales de un huésped invirtiendo el proceso de entrelazado. Primero agregue un cero inicial si la habitación tiene un número impar de dígitos. Luego, desentrelaza el número en dos números: el número del autocar consta de los dígitos impares y el número del asiento son los números pares. Por supuesto, la codificación original es arbitraria y los roles de los dos números se pueden invertir (asiento impar y entrenador par), siempre que se aplique de manera consistente.

Método de números triangulares

Los que ya están en el hotel serán trasladados a la habitación ()n2+n)/2{displaystyle (n^{2}+n)/2}, o el n{displaystyle n}t número triangular. Los de un entrenador estarán en la habitación. ()()c+n− − 1)2+c+n− − 1)/2+n{displaystyle ((c+n-1)^{2}+c+n-1)/2+n}, o el ()c+n− − 1){displaystyle (c+n-1)} número triangular más n{displaystyle n}. De esta manera todas las habitaciones serán llenadas por uno, y sólo uno, invitado.

Esta función de emparejamiento se puede demostrar visualmente al estructurar el hotel como una pirámide infinitamente alta de una habitación de profundidad. La fila superior de la pirámide es una habitación individual: habitación 1; su segunda fila son las habitaciones 2 y 3; etcétera. La columna formada por el conjunto de habitaciones más a la derecha corresponderá a los números triangulares. Una vez que se llenan (por los ocupantes redistribuidos del hotel), las habitaciones vacías restantes forman la forma de una pirámide exactamente idéntica a la forma original. Por lo tanto, el proceso puede repetirse para cada conjunto infinito. Hacer esto uno a la vez para cada entrenador requeriría una cantidad infinita de pasos, pero al usar las fórmulas anteriores, un huésped puede determinar cuál será su habitación "será" una vez que su entrenador ha sido contactado en el proceso, y simplemente puede ir allí de inmediato.

Método de enumeración arbitrario

Vamos S:={}()a,b)▪ ▪ a,b▪ ▪ N}{displaystyle S:={(a,b)mid a,bin mathbb {N}}. S{displaystyle S. es contable desde N{displaystyle mathbb {N} es contable, por lo tanto podemos enumerar sus elementos s1,s2,...... {displaystyle S_{1},s_{2},dots }. Ahora si sn=()a,b){displaystyle s_{n}=(a,b)}, asignar el b{displaystyle b}el invitado del a{displaystyle a}t coach to the n{displaystyle n}habitación (considerar los huéspedes ya en el hotel como huéspedes del 0{displaystyle 0}t entrenador). Así tenemos una función asignando a cada persona a una habitación; además, esta asignación no se salta sobre ninguna habitación.

Más capas de infinito

Supongamos que el hotel está al lado de un océano y llega una cantidad infinita de transbordadores de automóviles, cada uno con una cantidad infinita de autocares, cada uno con una cantidad infinita de pasajeros. Esta es una situación que involucra tres "niveles" de infinito, y se puede resolver por extensiones de cualquiera de las soluciones anteriores.

El método de factorización principal se puede aplicar agregando un nuevo número primo para cada capa adicional de infinito (2s3c5f{fnMicrosoft Sans Serif}, con f{displaystyle f} el ferry).

La solución de potencia principal se puede aplicar con una mayor exponenciación de números primos, lo que da como resultado números de habitación muy grandes, incluso con entradas pequeñas. Por ejemplo, el pasajero en el segundo asiento del tercer autobús en el segundo transbordador (dirección 2-3-2) elevaría el segundo primo impar (5) a 49, que es el resultado de que el tercer primo impar (7) sea elevado a la potencia de su número de asiento (2). Este número de habitación tendría más de treinta dígitos decimales.

El método de intercalado se puede utilizar con tres "hebras" intercaladas; en lugar de dos. El pasajero con dirección 2-3-2 iría a la habitación 232, mientras que el de dirección 4935-198-82217 iría a la habitación #008,402,912,391,587 (los ceros iniciales se pueden quitar).

Al anticipar la posibilidad de cualquier cantidad de capas de huéspedes infinitos, el hotel puede desear asignar habitaciones de manera que ningún huésped tenga que mudarse, sin importar cuántos huéspedes lleguen después. Una solución es convertir la dirección de cada llegada en un número binario en el que los unos se usan como separadores al comienzo de cada capa, mientras que un número dentro de una capa determinada (como el número de autobús de un huésped) es representada con tantos ceros. Así, un huésped con la dirección anterior 2-5-1-3-1 (cinco capas infinitas) iría a la habitación 10010000010100010 (decimal 295458).

Como paso adicional en este proceso, se puede eliminar un cero de cada sección del número; en este ejemplo, la nueva habitación del huésped es 101000011001 (decimal 2585). Esto asegura que cada habitación pueda ser ocupada por un invitado hipotético. Si no llegan conjuntos infinitos de invitados, solo se ocuparán las habitaciones que sean una potencia de dos.

Infinitas capas de anidamiento

Aunque se puede encontrar una habitación para cualquier número finito de infinitos anidados de personas, no siempre ocurre lo mismo para un número infinito de capas, incluso si existe un número finito de elementos en cada capa.

Análisis

La paradoja de Hilbert es una paradoja verídica: conduce a un resultado contrario a la intuición que es probablemente cierto. Las afirmaciones "hay un invitado en cada habitación" y "no se pueden alojar más invitados" no son equivalentes cuando hay infinitas habitaciones.

Inicialmente, esta situación podría parecer contraintuitiva. Las propiedades de las colecciones infinitas de las cosas son muy diferentes de las de las colecciones finitas de las cosas. La paradoja del Grand Hotel de Hilbert se puede entender utilizando la teoría de Cantor de números transfinitos. Así, en un hotel ordinario (finito) con más de una habitación, el número de habitaciones con números impares es obviamente menor que el número total de habitaciones. Sin embargo, en el acertado Grand Hotel de Hilbert, la cantidad de habitaciones raras no es menor que el "número" total de habitaciones. En términos matemáticos, la cardinalidad del subconjunto que contiene las habitaciones numeradas es la misma que la cardinalidad del conjunto de todas las habitaciones. De hecho, los conjuntos infinitos se caracterizan como conjuntos que tienen subconjuntos adecuados de la misma cardenalidad. Para conjuntos contables (conjuntos con la misma cardenalidad que los números naturales) este cardenalismo es א א 0{displaystyle aleph _{0}.

Parafraseado, para cualquier conjunto infinito numerable, existe una función biyectiva que asigna el conjunto infinito contable al conjunto de números naturales, incluso si el conjunto infinito contable contiene los números naturales. Por ejemplo, el conjunto de números racionales, aquellos números que pueden escribirse como un cociente de números enteros, contiene los números naturales como un subconjunto, pero no es mayor que el conjunto de números naturales ya que los racionales son contables: hay una biyección de los naturales a los racionales.

Referencias en ficción

• BBC La Zona de Aprendizaje repetidamente analizó un docudrama educativo de 1996 Hotel Hilbert situado en el hotel como se ve a través de los ojos de una joven invitada Fiona Knight, su nombre un juego de palabras en "finito". El programa fue diseñado para educar a los espectadores sobre el concepto de infinito.
• La novela Luz blanca por el escritor de ficción matemática/ciencia Rudy Rucker incluye un hotel basado en la paradoja de Hilbert, y donde el protagonista de la historia conoce a Georg Cantor.
• La novela de ciencia ficción de Stephen Baxter Transcendent tiene una breve discusión sobre la naturaleza de la infinidad, con una explicación basada en la paradoja, modificada para usar soldados en lugar de hoteles.
• Geoffrey A. Landis' Nebula La breve historia ganadora del premio "Ripples in the Dirac Sea" utiliza el hotel Hilbert como una explicación de por qué un mar Dirac infinitamente lleno puede sin embargo aceptar partículas.
• En la novela de Peter Høeg Miss Smilla se siente por la nieve, la heroína titular refleja que es admirable para el gerente del hotel y los huéspedes ir a todo ese problema para que el recién llegado pueda tener su propia habitación y algo de privacidad.
• En la novela de Ivar Ekeland para niños, El gato en Numberland, un "Sr. Hilbert" y su esposa dirigen un hotel infinito para todos los enteros. La historia progresa a través del método triangular para los racionales.
• En la novela de Will Wiles The Way InnEl nombre del villano es Hilbert.
• En la novela de Reginald Hill "The Stranger House" el personaje Sam se refiere a la paradoja Hilbert Hotel.
• La breve historia de Naum Ya. Vilenkin El Hotel Extraordinario (a menudo erróneamente atribuido a Stanislaw Lem) muestra la forma en que el Gran Hotel de Hilbert puede ser removido cuando llegan nuevos anfitriones infinitos.
• La saga del cómic La Tempestad de la Liga de los Caballeros Extraordinarios serie de Alan Moore y Kevin O'Neill muestra un villano llamado Infinity. En la historia se sugiere que el villano va al hotel basado en la paradoja de Hilbert. Georg Cantor también es mencionado.