La paradoja de galileo

La paradoja de Galileo es una demostración de una de las sorprendentes propiedades de los conjuntos infinitos. En su último trabajo científico, Dos nuevas ciencias, Galileo Galilei hizo afirmaciones aparentemente contradictorias sobre los números enteros positivos. Primero, un cuadrado es un número entero que es el cuadrado de un número entero. Algunos números son cuadrados, mientras que otros no lo son; por lo tanto, todos los números, tanto cuadrados como no cuadrados, deben ser más numerosos que solo los cuadrados. Y sin embargo, para cada número hay exactamente un cuadrado; por lo tanto, no puede haber más de uno que del otro. Este es un uso temprano, aunque no el primero, de la idea de correspondencia uno a uno en el contexto de conjuntos infinitos.

Galileo concluyó que las ideas de menor, igual y mayor se aplican a (lo que ahora llamaríamos) conjuntos finitos, pero no a conjuntos infinitos. Durante el siglo XIX Cantor encontró un marco en el que esta restricción no es necesaria; es posible definir comparaciones entre conjuntos infinitos de manera significativa (por definición, los dos conjuntos, enteros y cuadrados, tienen 'el mismo tamaño'), y que, según esta definición, algunos conjuntos infinitos son estrictamente más grandes que otros.

Las ideas no eran nuevas con Galileo, pero su nombre ha llegado a asociarse con ellas. En particular, Duns Scotus, alrededor de 1302, comparó los números pares con la totalidad de los números.

Galileo sobre conjuntos infinitos

La sección relevante de Dos nuevas ciencias se extrae a continuación:

Simplicio: Aquí se presenta una dificultad que me parece insoluble. Puesto que está claro que podemos tener una línea mayor que otra, cada una con un número infinito de puntos, nos vemos obligados a admitir que, dentro de una misma clase, podemos tener algo mayor que el infinito, porque la infinidad de puntos en la línea larga es mayor que la infinidad de puntos en la línea corta. Esto asignando a una cantidad infinita un valor mayor que el infinito está más allá de mi comprensión.

Salviati: Esta es una de las dificultades que surgen cuando intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir lo infinito, asignando a él las propiedades que damos a lo finito y limitado; pero esto creo que es incorrecto, porque no podemos hablar de cantidades infinitas como el uno más grande o menos que o igual a otro. Para demostrar esto tengo en mente un argumento que, por el bien de la claridad, pondré en forma de preguntas a Simplicio quien planteó esta dificultad.

Me doy por sentado que sabes cuál de los números son cuadrados y cuáles no lo son.

Simplicio: Soy bastante consciente de que un número cuadrado es uno que resulta de la multiplicación de otro número por sí mismo; así 4, 9, etc., son números cuadrados que vienen de multiplicar 2, 3, etc., por sí mismos.

Salviati: Muy bien; y también se sabe que al igual que los productos se llaman cuadrados, los factores se llaman lados o raíces; mientras que, por otro lado, los números que no consisten en dos factores iguales no son cuadrados. Por lo tanto, si afirmo que todos los números, incluyendo tanto cuadrados como no cuadrado, son más que los cuadrados solos, diré la verdad, ¿no?

Simplicio: Ciertamente.

Salviati: Si debo preguntar más lejos cuántos cuadrados hay uno podría responder verdaderamente que hay tantos como el número correspondiente de raíces, ya que cada cuadrado tiene su propia raíz y cada raíz su propio cuadrado, mientras que ningún cuadrado tiene más de una raíz y ninguna raíz más de un cuadrado.

Simplicio- Exactamente.

Salviati: Pero si pregunto cuántas raíces hay, no se puede negar que hay tantos como los números porque cada número es la raíz de algún cuadrado. Este ser concedido, debemos decir que hay tantos cuadrados como números porque son tan numerosos como sus raíces, y todos los números son raíces. Sin embargo, al principio dijimos que hay muchos más números que cuadrados, ya que la mayor parte de ellos no son cuadrados. No sólo así, pero el número proporcional de plazas disminuye a medida que pasamos a números más grandes, Así hasta 100 tenemos 10 cuadrados, es decir, los cuadrados constituyen 1/10 parte de todos los números; hasta 10000, encontramos sólo 1/100 parte para ser cuadrados; y hasta un millón sólo 1/1000 parte; por otro lado, en un número infinito, si uno podría concebir de tal cosa, él sería obligado a todos los cuadrados que se tomen juntos

Sagredo: ¿Qué hay que concluir entonces bajo estas circunstancias?

Salviati: Hasta donde veo sólo podemos inferir que la totalidad de todos los números es infinita, que el número de plazas es infinito, y que el número de sus raíces es infinito; ni el número de plazas es menor que la totalidad de los números, ni el último mayor que el primero; y finalmente los atributos "igual", "ver más", y "menos", no son aplicables a infinitas, sino sólo a las cantidades finitas. Cuando por lo tanto Simplicio introduce varias líneas de diferentes longitudes y me pregunta cómo es posible que los más largos no contengan más puntos que los más cortos, le respondo que una línea no contiene más o menos ni tan sólo tantos puntos como otros, pero que cada línea contiene un número infinito.

—Galileo, Dos nuevas ciencias