La paradoja de D'Alembert

En dinámica de fluidos, la paradoja de d'Alembert (o la paradoja hidrodinámica) es una contradicción alcanzada en 1752 por el matemático francés Jean le Rond d& #39;Alembert. D'Alembert demostró que, para un flujo potencial incompresible y no viscoso, la fuerza de arrastre es cero en un cuerpo que se mueve con velocidad constante en relación con el fluido. La resistencia cero está en directa contradicción con la observación de una resistencia sustancial en los cuerpos que se mueven en relación con fluidos, como el aire y el agua; especialmente a altas velocidades correspondientes a altos números de Reynolds. Es un ejemplo particular de la paradoja de la reversibilidad.

D'Alembert, trabajando en un problema del premio de 1749 de la Academia de Berlín sobre el arrastre de flujo, concluyó: "Me parece que la teoría (flujo potencial), desarrollada con todo el rigor posible, da, al menos en varios casos, una resistencia estrictamente evanescente, una paradoja singular que dejo a los futuros geómetras [es decir, matemáticos: los dos términos se usaban indistintamente en ese momento] para dilucidar". Una paradoja física indica fallas en la teoría.

La mecánica de fluidos fue así desacreditada por los ingenieros desde el principio, lo que resultó en una desafortunada división – entre el campo de la hidráulica, que observa fenómenos que no se pueden explicar, y la mecánica de fluidos teórica, que explica fenómenos que no se pueden observar – en las palabras del Premio Nobel de Química Sir Cyril Hinshelwood.

Según el consenso científico, la aparición de la paradoja se debe a los efectos desatendidos de la viscosidad. Junto con los experimentos científicos, durante el siglo XIX se produjeron grandes avances en la teoría de la fricción de fluidos viscosos. La paradoja culminó con el descubrimiento y descripción de las delgadas capas límite por Ludwig Prandtl en 1904. Incluso con números de Reynolds muy altos, las delgadas capas límite permanecen como resultado de fuerzas viscosas. Estas fuerzas viscosas causan arrastre por fricción en objetos aerodinámicos, y para los cuerpos rocosos el resultado adicional es la separación del flujo y una estela de baja presión detrás del objeto, lo que lleva a la formación de arrastre.

La opinión general en la comunidad de la mecánica de fluidos es que, desde un punto de vista práctico, la paradoja se resuelve siguiendo las líneas sugeridas por Prandtl. Falta una prueba matemática formal, que es difícil de proporcionar, como en tantos otros problemas de flujo de fluidos que involucran las ecuaciones de Navier-Stokes (que se utilizan para describir el flujo viscoso).

Fricción viscosa: Saint-Venant, Navier y Stokes

Los primeros pasos para resolver la paradoja los dio Saint-Venant, quien modeló la fricción de fluidos viscosos. Saint-Venant afirma en 1847:

"Pero se encuentra otro resultado si, en lugar de un fluido ideal – objeto de los cálculos de los geométricos del siglo pasado – se utiliza un fluido real, compuesto por un número finito de moléculas y ejerciendo en su estado de movimiento fuerzas o fuerzas de presión desiguales que tienen componentes tangenciales a los elementos superficiales a través de los cuales actúan; componentes a los que nos referimos como la fricción del fluido, un nombre que se les ha dado desde Descarteton y Venurit."

Poco después, en 1851, Stokes calculó la resistencia sobre una esfera en el flujo de Stokes, conocida como Stokes' ley. El flujo de Stokes es el límite bajo del número de Reynolds de las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el movimiento de un líquido viscoso.

Sin embargo, cuando el problema del flujo se plantea en una forma adimensional, las ecuaciones viscosas de Navier-Stokes convergen para números de Reynolds crecientes hacia las ecuaciones no viscosas de Euler, lo que sugiere que el flujo debería converger hacia las soluciones no viscosas de la teoría del flujo potencial. teniendo la resistencia cero de la paradoja de d'Alembert. De esto, no se ha encontrado evidencia en mediciones experimentales de visualizaciones de arrastre y flujo. Esto volvió a plantear dudas sobre la aplicabilidad de la mecánica de fluidos en la segunda mitad del siglo XIX.

Flujo separado invisible: Kirchhoff y Rayleigh

En la segunda mitad del siglo XIX, el enfoque volvió a centrarse en el uso de la teoría del flujo no viscoso para la descripción del arrastre de fluidos, suponiendo que la viscosidad se vuelve menos importante con números de Reynolds altos. El modelo propuesto por Kirchhoff y rayleigh se basó en la teoría de la línea libre de Helmholtz y consiste en una estela constante detrás del cuerpo. Los supuestos aplicados a la región de la estela incluyen: velocidades de flujo iguales a la velocidad del cuerpo y una presión constante. Esta región de estela está separada del flujo potencial fuera del cuerpo y de la estela por láminas de vórtice con saltos discontinuos en la velocidad tangencial a través de la interfaz. Para tener una resistencia distinta de cero en el cuerpo, la región de estela debe extenderse hasta el infinito. De hecho, esta condición se cumple para el flujo de Kirchhoff perpendicular a una placa. La teoría establece correctamente que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad. En primera instancia, la teoría sólo podría aplicarse a flujos que se separan en bordes afilados. Más tarde, en 1907, Levi-Civita lo amplió a flujos que se separan de un límite curvo suave.

Ya se sabía que estos flujos constantes no son estables, ya que las láminas de vórtice desarrollan las llamadas inestabilidades Kelvin-Helmholtz. Pero este modelo de flujo estacionario se estudió más a fondo con la esperanza de que todavía pudiera dar una estimación razonable de la resistencia. Rayleigh pregunta "... si los cálculos de resistencia se ven afectados materialmente por esta circunstancia, ya que las presiones experimentadas deben ser casi independientes de lo que sucede a cierta distancia en la parte trasera del obstáculo, donde comenzaría primero la inestabilidad. manifestarse."

Sin embargo, surgieron objeciones fundamentales contra este enfoque: Kelvin observó que si una placa se mueve con velocidad constante a través del fluido (en reposo lejos de la placa, excepto la estela), la velocidad en la estela es igual a la de la estela. lámina. La extensión infinita de la estela, que se ensancha con la distancia a la placa, como se desprende de la teoría, da como resultado una energía cinética infinita en la estela, que debe rechazarse por motivos físicos. Además, las diferencias de presión observadas entre la parte delantera y trasera de la placa, y las fuerzas de arrastre resultantes, son mucho mayores de lo previsto: para una placa plana perpendicular al flujo, el coeficiente de resistencia previsto es C_D =0,88, mientras que en los experimentos se encuentra C_D=2,0. Esto se debe principalmente a la succión en el lado de la estela de la placa, inducida por el flujo inestable en la estela real (a diferencia de la teoría que supone una velocidad de flujo constante igual a la velocidad de la placa).

Por lo tanto, se considera que esta teoría no es satisfactoria como explicación del arrastre sobre un cuerpo que se mueve a través de un fluido. Aunque se puede aplicar a los llamados flujos de cavidades donde, en lugar de una estela llena de líquido, se supone que existe una cavidad de vacío detrás del cuerpo.

Capas límite delgadas: Prandtl

El físico alemán Ludwig Prandtl sugirió en 1904 que los efectos de una capa límite delgada y viscosa posiblemente podrían ser la fuente de una resistencia sustancial. Prandtl propuso la idea de que, a altas velocidades y altos números de Reynolds, una condición de contorno sin deslizamiento provoca una fuerte variación de las velocidades del flujo sobre una capa delgada cerca de la pared del cuerpo. Esto conduce a la generación de vorticidad y disipación viscosa de energía cinética en la capa límite. La disipación de energía, que falta en las teorías no viscosas, provoca en los cuerpos brumosos una separación del flujo. La baja presión en la región de la estela provoca un arrastre de forma, y este puede ser mayor que el arrastre de fricción debido al esfuerzo cortante viscoso en la pared.

La evidencia de que el escenario de Prandtl ocurre para cuerpos farolosos en flujos con números de Reynolds altos se puede ver en flujos iniciados impulsivamente alrededor de un cilindro. Inicialmente, el flujo se asemeja a un flujo potencial, después del cual el flujo se separa cerca del punto de estancamiento posterior. A partir de entonces, los puntos de separación se mueven aguas arriba, lo que da como resultado una región de flujo separado de baja presión.

Prandtl formuló la hipótesis de que los efectos viscosos son importantes en capas delgadas, llamadas capas límite, adyacentes a límites sólidos, y que la viscosidad no tiene ningún papel importante fuera. El espesor de la capa límite se reduce cuando se reduce la viscosidad. El problema completo del flujo viscoso, descrito por las ecuaciones no lineales de Navier-Stokes, en general no tiene solución matemática. Sin embargo, utilizando su hipótesis (y respaldada por experimentos), Prandtl pudo derivar un modelo aproximado para el flujo dentro de la capa límite, llamado teoría de la capa límite; mientras que el flujo fuera de la capa límite podría tratarse utilizando la teoría del flujo no viscoso. La teoría de la capa límite se presta al método de expansiones asintóticas emparejadas para derivar soluciones aproximadas. En el caso más simple de una placa plana paralela al flujo entrante, la teoría de la capa límite da como resultado un arrastre (de fricción), mientras que todas las teorías de flujo no viscoso predecirán un arrastre cero. Es importante destacar que para la aeronáutica, la teoría de Prandtl se puede aplicar directamente a cuerpos aerodinámicos como perfiles aerodinámicos donde, además de la resistencia por fricción superficial, también hay resistencia por forma. El arrastre de forma se debe al efecto de la capa límite y la estela delgada sobre la distribución de presión alrededor del perfil aerodinámico.

Preguntas abiertas

Para verificar, como sugirió Prandtl, que una causa cada vez más pequeña (viscosidad cada vez más pequeña para un número de Reynolds creciente) tiene un efecto grande (resistencia sustancial) puede ser muy difícil.

El matemático Garrett Birkhoff, en el capítulo inicial de su libro Hydrodynamics de 1950, aborda una serie de paradojas de la mecánica de fluidos (incluida la paradoja de d'Alembert) y expresa una clara duda en sus resoluciones oficiales:

"Además, creo que atribuirlos a todos al abandono de la viscosidad es una excesiva simplificación injustificada La raíz es más profunda, en falta de precisamente ese rigor deductivo cuya importancia es tan comúnmente minimizada por físicos e ingenieros."

En particular, en la paradoja de d'Alembert, considera otra posible ruta para la creación de resistencia: la inestabilidad de las posibles soluciones de flujo a las ecuaciones de Euler. Birkhoff afirma:

"En todo caso, los párrafos anteriores aclaran que la teoría de los flujos no viscosos es incompleta. De hecho, el razonamiento que conduce al concepto de "flujo constante" es inconclusivo; no hay justificación rigurosa para la eliminación del tiempo como variable independiente. Así, aunque los flujos de Dirichlet (potential solutions) y otros flujos constantes son matemáticamente posibles, no hay razón para suponer que cualquier flujo constante es estable."

In his 1951 review of Birkhoff 's book, the mathematician James J. Stoker sharply criticizes the first chapter of the book:

"El revisor encontró difícil entender por qué clase de lectores se escribió el primer capítulo. Para los lectores que conocen la hidrodinámica, la mayoría de los casos citados como paradojas pertenecen a la categoría de errores desde entonces rectificados, o en la categoría de discrepancias entre teoría y experimentos las razones por las cuales también se entienden bien. Por otra parte, los no iniciados serían muy propensos a obtener ideas erróneas sobre algunos de los logros importantes y útiles en la hidrodinámica de leer este capítulo."

En la segunda y revisada edición de Hydrodynamics de Birkhoff en 1960, las dos afirmaciones anteriores ya no aparecen.

The importance and usefulness of the achievements, made on the subject of the d''Alembert paradox, are reviewed by Stewartson thirty years later. His long 1981 survey article starts with:

"Puesto que la teoría inviscida clásica conduce a la conclusión patentemente absurda de que la resistencia experimentada por un cuerpo rígido que pasa por un fluido con velocidad uniforme es cero, se han hecho grandes esfuerzos durante los últimos cien años para proponer teorías alternas y explicar cómo una fuerza friccional desaparecidamente pequeña en el fluido puede sin embargo tener un efecto significativo en las propiedades de flujo. Los métodos utilizados son una combinación de observación experimental, cálculo a menudo a gran escala, y análisis de la estructura de la forma asintotica de la solución ya que la fricción tiende a cero. Este ataque triple ha logrado un éxito considerable, especialmente durante los últimos diez años, de manera que ahora la paradoja pueda considerarse como resuelta en gran medida."

Para muchas paradojas en física, su resolución a menudo reside en trascender la teoría disponible. En el caso de la paradoja de D'Alembert, Prandtl proporcionó el mecanismo esencial para su resolución mediante el descubrimiento y el modelado de finas capas límite viscosas, que no desaparecen con números de Reynolds elevados.

Prueba de resistencia cero en flujo potencial estable

Flujo potencial

Los tres supuestos principales en la derivación de la paradoja de d'Alembert son que el flujo estacionario es incompresible, no viscoso e irrotacional. Un fluido no viscoso se describe mediante las ecuaciones de Euler, que junto con las otras dos condiciones leen

Silencio Silencio ⋅ ⋅ u=0(incompresibilidad)Silencio Silencio × × u=0(irrotacional)∂ ∂ ∂ ∂ tu+()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )u=− − 1*** *** Silencio Silencio p(Ecuación de vuelo){displaystyle {begin{aligned} {nabla }cdot {fnsymbol {u}=0 tarde {text{(incompresibilidad)}\\\\fnMicrosoft Sans {nabla }times {boldsymbol {u}=0 limitándose {text{(irrotational)}\\cH00{frac} {partial }{partial {fnK}cdot {boldsymbol {nabla}derecha){boldsymbol {u}=-{frac {1}{rho {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}end{aligned}}}

donde u denota la velocidad del flujo del fluido, p la presión, ρ la densidad y ∇ es el operador de gradiente.

Tenemos el segundo término en la ecuación de Euler como:

()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )u=12Silencio Silencio ()u⋅ ⋅ u)− − u× × Silencio Silencio × × u=12Silencio Silencio ()u⋅ ⋅ u)()1){displaystyle left({boldsymbol {u}cdot {boldsymbol {nabla}right){boldsymbol {u}={tfrac {1}{2} {boldsymbol {nabla }}left({boldsymbol {u}cdot {boldsymbol {u}}right)-{boldsymbol {u}times {boldsymbol {nabla }}times {boldsymbol {}}} {f}}}} {f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMis}fnMis}fnMises}fnMis}}fnMis {fnMis}fnMis {fnMis} {fnMis}fnMis {\fnMis}fnMis}fnMis}fnMis {fnMises}}fnMises}}fnMis {fnMis} {1}{2}{boldsymbol {nabla }left({boldsymbol {u}cdot {boldsymbol {u}right)qquad (1)}

donde la primera igualdad es una identidad de cálculo vectorial y la segunda igualdad utiliza que el flujo es irrotacional. Además, para cada flujo irrotacional, existe un potencial de velocidad φ tal que u = ∇φ . Sustituyendo todo esto en la ecuación de conservación del impulso se obtiene

Silencio Silencio ()∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t+12u⋅ ⋅ u+p*** *** )=0.{displaystyle {boldsymbol {nabla}left({frac {partial varphi }{partial {fnh} {fn}} {fn}}cdot {boldsymbol {fnK} {fnMicroc {fnh}}derecho)={boldsymbol {0}}

Por lo tanto, la cantidad entre paréntesis debe ser constante (cualquier dependencia t puede eliminarse redefiniendo φ). Suponiendo que el fluido está en reposo en el infinito y que la presión se define como cero allí, esta constante es cero y, por tanto,

∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t+12u⋅ ⋅ u+p*** *** =0,()2){displaystyle {frac {partial varphi }{partial {fnh} {fn}} {fn}}cdot {fnK}=0,qquad (2)}

que es la ecuación de Bernoulli para flujo potencial inestable.

Arrastre cero

Ahora supongamos que un cuerpo se mueve con velocidad constante v a través del fluido, que está en reposo infinitamente lejos. Entonces el campo de velocidades del fluido tiene que seguir al cuerpo, por lo que tiene la forma u(x , t) = u(x − v t, 0), donde x es el vector de coordenadas espaciales, y por tanto:

∂ ∂ u∂ ∂ t+()v⋅ ⋅ Silencio Silencio )u=0.{displaystyle {frac {partial {boldsymbol {u}{partial} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}} t}+left({boldsymbol {}cdot {boldsymbol {nabla}right){boldsymbol {u}={boldsymbol {0}}

∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t=− − v⋅ ⋅ Silencio Silencio φ φ +R()t)=− − v⋅ ⋅ u+R()t).{displaystyle {frac {partial varphi }{partial t}=-{boldsymbol {}cdot {boldsymbol {nabla} }varphi +R(t)=-{boldsymbol {v}cdot {boldsymbol {u}+R(t). }

La fuerza F que el fluido ejerce sobre el cuerpo viene dada por la integral de superficie

F=− − ∫ ∫ ApndS{displaystyle {boldsymbol {F}=-int _{A}p,{boldsymbol {n};mathrm {d} S.

p=− − *** *** ()∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t+12u⋅ ⋅ u)=*** *** ()v⋅ ⋅ u− − 12u⋅ ⋅ u− − R()t)),{displaystyle p=-rho left({frac {partial varphi }{partial {fnK}cdot {fnh}cdot {fnh}rho left({boldsymbol {}cdot {cdot {boldsymbol {u}}}}-{tfrac}-{tfrac {1}{2}{boldsymbol {u}cdot {boldsym {bolu}-R(t)right),}

F=− − ∫ ∫ ApndS=*** *** ∫ ∫ A()12u⋅ ⋅ u− − v⋅ ⋅ u)ndS,{displaystyle {boldsymbol {F}=- ¿Qué? {n};mathrm {d} ¿Qué? S,}

En este punto, resulta más conveniente trabajar con los componentes del vector. El késimo componente de esta ecuación dice

Fk=*** *** ∫ ∫ A.. i()12ui2− − uivi)nkdS.()3){displaystyle F_{k}=rho int ¿Por qué? {1}{2}u_{i} {2}-u_{i})n_{k},mathrm S.qquad (3)

Sea V el volumen ocupado por el fluido. El teorema de la divergencia dice que

12∫ ∫ A.. iui2nkdS=− − 12∫ ∫ V∂ ∂ ∂ ∂ xk().. iui2)dV.{displaystyle {frac}{2}int ¿Qué? ¿Por qué? S=-{frac {1}{2}int ¿Por qué?

12∂ ∂ ∂ ∂ xk().. iui2)=.. iui∂ ∂ uk∂ ∂ xi=.. i∂ ∂ ()uiuk)∂ ∂ xi{displaystyle {frac}{2}{frac {partial }{partial x_{k}}left(sum) ¿Por qué? ¿Por qué? ♪♪ ¿Qué? #

− − 12∫ ∫ V∂ ∂ ∂ ∂ xk().. iui2)dV=− − ∫ ∫ V.. i∂ ∂ ()uiuk)∂ ∂ xidV=∫ ∫ Auk.. iuinidS.{displaystyle - ¿Qué? {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicros {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?

Fk=*** *** ∫ ∫ A.. i()ukuini− − viuink)dS.{displaystyle F_{k}=rho int ¿Por qué? S.}

.. inivi=.. iniui{textstyle sum ¿Qué? ¿Qué?

Fk=*** *** ∫ ∫ A.. i()ukvini− − viuink)dS.{displaystyle F_{k}=rho int ¿Por qué? S.}

v⋅ ⋅ F=.. kvkFk=0.{textstyle vcdot F=sum ¿Qué?