La identidad de Lagrange

En álgebra, la identidad de Lagrange, que lleva el nombre de Joseph Louis Lagrange, es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum) ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ##{i=1} {n-1}\sum ¿Por qué? {1}{2}\sum ¿Por qué?$$

En una notación vectorial más compacta, la identidad de Lagrange se expresa como:

$${\displaystyle\left\fnMithbf {a}\derecha\f}\left\fnMithbf {b}\derecha\f}-(\mathbf {a}\cdot \mathbf {b}=\sum _{1\leq i obedeci}\left (a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\,}$$

$${\displaystyle \left(\sum ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ##{i=1} {n-1}\sum ¿Por qué? {b}_{j}-a_{j}{\overline {b}_{i}\right perpetua{2}$$

Dado que el lado derecho de la identidad es claramente no negativo, implica la desigualdad de Cauchy en el espacio de coordenadas reales de dimensión finita Rⁿ y su contraparte compleja Cⁿ.

Geométricamente, la identidad afirma que el cuadrado del volumen del paralelepípedo abarcado por un conjunto de vectores es el determinante de Gram de los vectores.

Identidad de Lagrange y álgebra exterior

En términos del producto cuña, la identidad de Lagrange se puede escribir

$${\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).$$

Por lo tanto, puede verse como una fórmula que da la longitud del producto de cuña de dos vectores, que es el área del paralelogramo que definen, en términos de los productos escalares de los dos vectores, como

$${\cdot a)(b\cdot b)}={2}={\sqrt {\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}}}={\sqrt {\ sobrevivira\ WordPress^{2}\b\h\h00}-(a\cdot b)}}}}$$

Identidad de Lagrange y cálculo vectorial

En tres dimensiones, la identidad de Lagrange afirma que si a y b son vectores en R^{3 con longitudes |a| y |b|, entonces la identidad de Lagrange se puede escribir en términos del producto cruzado y del producto escalar:}

$${\displaystyle Silencio\mathbf {a} Silencio}\mathbf {b} \times \mathbf {b}$$

Usando la definición de ángulo basada en el producto escalar (ver también desigualdad de Cauchy-Schwarz), el lado izquierdo es

$${\displaystyle \left WordPress\mathbf {a}\right Tortura^{2}\left upon\mathbf {b}\right WordPress^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)=\left perpetua\mathbf {a}\right ^{2}\left}\mathbf {b}{2}right}right}right}right {}right}{2}right}right}just}{2}{2}right}just}{2}right}just}just}{y}just}{}{}{y}{}{}just}{2}just}just}{}{}{}{}{}{2}just}{}{}just}just}}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}}{}{}{}{}{}}}}{}}}}}}}{}{}{}{}}{}}}}{}{}}}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \left WordPress\mathbf {a} \right sobre la vida\left tolera\mathbf {b} \right sobre la vida\left\sin \theta \right sobre la vida,}$$

$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\mathbf {I} +\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\mathbf {j} +\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\mathbf {k}$$

Siete dimensiones

Para a y b como vectores en R⁷, la identidad de Lagrange adquiere la misma forma que en el caso de R³

$${\fnMicrosoft Sans Serif} Silencio.$$

Sin embargo, el producto cruzado en 7 dimensiones no comparte todas las propiedades del producto cruzado en 3 dimensiones. Por ejemplo, la dirección de a × b en 7 dimensiones puede ser la misma que c × d incluso aunque c y d son linealmente independientes de a y b. Además, el producto cruzado de siete dimensiones no es compatible con la identidad de Jacobi.

Cuaterniones

Un cuaternión p se define como la suma de un escalar t y un vector v:

$${\displaystyle p=t+\mathbf {v} =t+x\\mathbf {i} +y \mathbf {j} +z\mathbf {k}$$

El producto de dos cuaterniones p = t + v y q = s + w está definido por

$${\displaystyle pq=(st-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w})+s\mathbf {v} # # Mathbf {v} \times \mathbf {w}$$

El conjugado cuaterniónico de q se define por

$${\displaystyle {\fnMicrosoft Sans Serif}$$

$${\displaystyle Silencio. {q}=t^{2}\ +\ x^{2}+\ y^{2}\ +\ z^{2}$$

La multiplicatividad de la norma en el álgebra de cuaterniones proporciona, para los cuaterniones p y q:

$${\displaystyle \left sometidapq\right sobre la vida=\left sometidap\right sobre la vida.}$$

Los cuaterniones p y q se llaman imaginarios si su parte escalar es cero; equivalentemente, si

$${\displaystyle p=\mathbf}\quad q=\mathbf {w}$$

La identidad de Lagrange es simplemente la multiplicatividad de la norma de los cuaterniones imaginarios,

$${\fnMicrosoft Sans Serif} Silencio.$$

$${\displaystyle Silencio\mathbf {v}\mathbf {w} {\2}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w})^{2}+ vidas\mathbf {v} \times \mathbf {w} ↑{2}}$$

Demostración de forma algebraica

La forma vectorial se deriva de la identidad de Binet-Cauchy estableciendo c_i = a_i y < i>d_i = b_i. La segunda versión sigue dejando que c_i y d_i denoten los conjugados complejos de a_i y b_i, respectivamente,

Aquí también hay una prueba directa. El desarrollo del primer término del lado izquierdo es:

$${\displaystyle \left(\sum ¿Por qué? ¿Qué? - ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué? ##{i=1} {n-1}\sum ##{2}b_{2}{2}+\sum ##{j=1} {n-1}\sum ¿Qué?$$

()1)

lo que significa que el producto de una columna de as y una fila de bs produce ( una suma de elementos de) un cuadrado de abs, que se puede dividir en una diagonal y un par de triángulos a cada lado de la diagonal.

El segundo término en el lado izquierdo de la identidad de Lagrange se puede ampliar como:

$${\displaystyle \left(\sum ¿Por qué? ¿Qué? ##{i=1} {n-1}\sum ¿Qué?$$

()2)

lo que significa que un cuadrado simétrico se puede dividir en su diagonal y un par de triángulos iguales a cada lado de la diagonal.

Para expandir la suma en el lado derecho de la identidad de Lagrange, primero expanda el cuadrado dentro de la suma:

$${\displaystyle \sum ##{i=1} {n-1}\sum ¿Por qué? ##{i=1} {n-1}\sum ¿Por qué?$$

Distribuya la suma en el lado derecho,

$${\displaystyle \sum ##{i=1} {n-1}\sum ¿Por qué? ##{i=1} {n-1}\sum ##{2}b_{2}{2}+\sum ##{i=1} {n-1}\sum ¿Por qué? ##{i=1} {n-1}\sum ¿Por qué?$$

Ahora intercambia los índices i y j del segundo término del lado derecho y permuta los factores b del tercer término, flexible:

$${\displaystyle \sum ##{i=1} {n-1}\sum ¿Por qué? ##{i=1} {n-1}\sum ##{2}b_{2}{2}+\sum ##{j=1} {n-1}\sum ¿Por qué? ##{i=1} {n-1}\sum ¿Por qué?$$

()3)

Volviendo al lado izquierdo de la identidad de Lagrange: tiene dos términos, dados en forma expandida por las ecuaciones (1) y (2). El primer término del lado derecho de la ecuación (2) termina cancelando el primer término del lado derecho de la ecuación (1), lo que produce

$${\displaystyle \sum ##{i=1} {n-1}\sum ##{2}b_{2}{2}+\sum ##{j=1} {n-1}\sum ¿Por qué? ##{i=1} {n-1}\sum ¿Qué?$$

()1) − ()2)

que es lo mismo que la ecuación (3), por lo que la identidad de Lagrange es de hecho una identidad, Q.E.D.

Prueba de la identidad de Lagrange para números complejos

Las álgebras de división normada requieren que la norma del producto sea igual al producto de las normas. La identidad de Lagrange exhibe esta igualdad. La identidad del producto utilizada aquí como punto de partida es una consecuencia de la norma de igualdad del producto con el producto de la norma para álgebras de escator. Esta propuesta, presentada originalmente en el contexto de una métrica de Lorentz deformada, se basa en una transformación que surge de la operación del producto y la definición de magnitud en el álgebra del escator hiperbólico. La identidad de Lagrange se puede demostrar de diversas formas. La mayoría de las derivaciones utilizan la identidad como punto de partida y prueban de una forma u otra que la igualdad es verdadera. En el presente enfoque, la identidad de Lagrange en realidad se deriva sin asumirla a priori.

Vamos. ${\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {C}$ ser números complejos y la barra representa complejo conjugado.

La identidad del producto

$${\displaystyle \prod _{i=1}{n}\left(1-a_{i}{\bar {} {\fn} {\fnK} {\fnK}} {\f}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}}}} {\fn} {\fn\f}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}} {\\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}} {\b} {\b}}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}} {b}_{i}+a_{i}{i} {\b} {\f} {\f}} {\f}} {\b}}} {\f}}} {\f}} {\f}}}}}} {\f}} {\f} {\f}} {\f}} {\f}}}}\f}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}\f}\f}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}}} {\f}} {\f}} {\fn}} {\fn}}} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\b}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}_{i}\right)=\prod ¿Qué? {a}_{i}\right)\prod ¿Qué? {b}_{i}\right)}$$

Para probarlo, expanda el producto en el LHS de la identidad del producto en términos de serie hasta cuarto orden. Para ello, recuerde que los productos de la forma ${\displaystyle \left(1+x_{i}\right)}$ se puede ampliar en términos de sumas como

$${\displaystyle \prod _{i=1}\n}\left(1+x_{i}\right)=1+\sum ##{i=1} {n}x_{i}+\sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {O} {3+}(x),}$$

${\displaystyle {\mathcal {}} {3+}(x)}$

${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \prod _{i=1}{n}\left(1-a_{i}{\bar {} {\fn} {\fnK} {\fnK}} {\f}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}}}} {\fn} {\fn\f}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}} {\\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}} {\b} {\b}}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}} {b}_{i}+a_{i}{i} {\b} {\f} {\f}} {\f}} {\b}}} {\f}}} {\f}} {\f}}}}}} {\f}} {\f} {\f}} {\f}} {\f}}}}\f}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}\f}\f}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}}} {\f}} {\f}} {\fn}} {\fn}}} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\b}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}_{i}\right)=1-\sum ¿Qué? {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fnK}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}} {\fn\fn\fn}}} {\fn}}}}}}\b} {\b}}}}} {\\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b} {\b} {\b}}}}}}}}} {\b}}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {b}_{i}\right)+\sum ¿Qué? {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}}} {\f}} {\f}} {\fn}} {\fn}}} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\b}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}_{i}+\sum ¿Qué? {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}} {\fn}}} {\\fn}}}}} {\f}} {\f}}} {\f}}}}}}}} {\\\\f}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {\fn} {\fnK}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}}}}} {\fn}}} {\fn\f}}} {\fn}}}}}\b}\b}\b} {\b}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}} {\b}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}} {\b}}}}} {\b} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {B}_{i}b_{j}{\b} {\b} {\fn}} {\f} {\fn}} {\b} {\f}}} {\f}} {\f}} {\fn}}} {\fn}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\b} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}} {\b}} {\b} {\b}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}} {\b}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}_{j}\right)+\sum ¿Qué? {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn} {\fn}}}} {\fn}} {\fn}}} {\\fn}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {B}_{j} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}\fn\fn}} {\fn}}}}}}}}}\\\cHFF} {\fn}}}}}}}}}\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fnK}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\f}}}}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}} {b}_{i}\right)+{\mathcal {O} {5+}}$$

Los dos factores en el RHS también están escritos en términos de series

$${\displaystyle \prod _{i=1}{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}_{i}\right)\prod ¿Qué? {b}_{i}\right)=\left(1-\sum ¿Qué? {}_{i}+\sum _{i0} {n}a_{i}{i}{i} {\b} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}} {\fn}}} {\\fn}}}}} {\f}} {\f}}} {\f}}}}}}}} {\\\\f}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {a}_{j}+{\ mathcal {O}} {5+}\right)\left(1-\sum {\fn} {\fn} {\fn} {\fn\fn\fnMicrosoft Sans Serif} {b}_{i}+\sum ¿Qué? {B}_{i}b_{j}{\b} {\b} {\fn}} {\f} {\fn}} {\b} {\f}}} {\f}} {\f}} {\fn}}} {\fn}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\b} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}} {\b}} {\b} {\b}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}} {\b}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}_{j}+{\ mathcal {O}} {5+}\derecha).}$$

El producto de esta expresión hasta cuarto orden es

$${\displaystyle \prod _{i=1}{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}_{i}\right)\prod ¿Qué? {b}_{i}\right)=1-\sum ¿Qué? {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fnK}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}} {\fn\fn\fn}}} {\fn}}}}}}\b} {\b}}}}} {\\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b} {\b} {\b}}}}}}}}} {\b}}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {b}_{i}\right)+\left(\sum) ¿Qué? {a}_{i}\right)\left(\sum) {\fn} {\fn} {\fn} {\fn\fn\fnMicrosoft Sans Serif} {b}_{i}\right)+\sum ¿Qué? {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}} {\fn}}} {\\fn}}}}} {\f}} {\f}}} {\f}}}}}}}} {\\\\f}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {\fn} {\fnK}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}}}}} {\fn}}} {\fn\f}}} {\fn}}}}}\b}\b}\b} {\b}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}} {\b}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}} {\b}}}}} {\b} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {B}_{i}b_{j}{\b} {\b} {\fn}} {\f} {\fn}} {\b} {\f}}} {\f}} {\f}} {\fn}}} {\fn}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\b} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}} {\b}} {\b} {\b}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}} {\b}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}_{j}\right)+{\mathcal {O} {5+}}$$

$${\displaystyle \sum ¿Qué? {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}}} {\f}} {\f}} {\fn}} {\fn}}} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\b}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}_{i}+\sum ¿Qué? {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn} {\fn}}}} {\fn}} {\fn}}} {\\fn}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}_{j} {j}{j}{} {\b} {\f}} {\f}} {\f}} {\b} {\f} {\f}} {\f}}}} {\fn}}}}}}}}}}} {\b}}} {\cH}}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\c}}}}}} {\c}}}} {\c}}}} {\c}}}}}}} {\c\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\c\c} {\c}}}} {\c\c}}}\c}}}}}}}}\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fnK}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\f}}}}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}} {b}_{i}\right)=\left(\sum) ¿Qué? {a}_{i}\right)\left(\sum) ¿Qué? {b}_{i}\right).}$$

El producto de dos series conjugadas se puede expresar como una serie que involucra el producto de términos conjugados. El producto de la serie conjugada es

$${\displaystyle \left(\sum ¿Por qué? {\cHFF} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fnH00}\fn\fn\fn}}\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fnH00\fnH00\fn}\fn}\fn\fnK\fnK\fn}\fnH00\fnK\fnH00\fn}\fn}\fn}\fn}}\fn\fn\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn {x}_{i}\right)=\sum ¿Qué? {x}_{i}+\sum _{iיj} {n}\left(x_{i}{i}{i} {\i} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {x}_{j}+{\bar {x}_{i}x_{j}\right),}$$

$${\displaystyle \left(\sum ¿Por qué? ##{i=1} {n}{n}{\overline Vale. ¿Qué? {a}_{j}{\bar} {b}_{j}+{\b} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\f}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}} {\b} {\b}}}}}}}}}} {\b}}}}}}} {\b}}}} {\b}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b} {\b}} {\b}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}}}}}}} {b}_{i}a_{j}b_{j}\right)+\sum ¿Qué? {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn} {\fn}}}} {\fn}} {\fn}}} {\\fn}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {B}_{j} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}\fn\fn}} {\fn}}}}}}}}}\\\cHFF} {\fn}}}}}}}}}\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fnK}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\f}}}}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}} {b}_{i}\right)=\left(\sum) ¿Qué? {a}_{i}\right)\left(\sum) {\fn} {\fn} {\fn} {\fn\fn\fnMicrosoft Sans Serif} {b}_{i}\right).}$$

Los términos de las dos últimas series del LHS se agrupan como

$${\displaystyle a_{i}{\bar {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn} {\fn}}}} {\fn}} {\fn}}} {\\fn}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {B}_{j} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}\fn\fn}} {\fn}}}}}}}}}\\\cHFF} {\fn}}}}}}}}}\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fnK}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\f}}}}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}} {B}_{i}-a_{i}b_{i}{i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i}} {\i}}} {\f}}} {\f}} {\f}}} {\f} {\f}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}} {\f}}}} {\f}\f}}} {\f} {\f}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f}}} {\f}}}}}} {\f} {\f}\f} {\f} {\f} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {a}_{j}{\bar} {b}_{j}-{\b} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\f}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}} {\b} {\b}}}}}}}}}} {\b}}}}}}} {\b}}}} {\b}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b} {\b}} {\b}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}}}}}}} {B}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}{i} {\i} {\b} {\c} {\c}} {\c}}} {\cH}}} {\cH}}} {\c}} {\cH}}} {\c}}}}} {\c}}}}}} {\c}} {\c}}}}}} {\c}}}}}}} {\c}}}} {\c}} {\c} {\c}} {\c}}}} {\c} {\c}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}} {\c} {\c} {\c} {\c}} {\c}}}} {\c} {\c}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}_{j}-a_{j}{\bar} {b}_{i}\right)\left({\bar {a}_{i}b_{j}-{\bar {a}_{j}b_{i}\right)}$$

$${\displaystyle \left(\sum ¿Por qué? ##{i=1} {n}{n}{\overline {a_{i}b_{i}}\right)+\sum ¿Qué? {b}_{j}-a_{j}{\bar} {b}_{i}\right)\left({\overline) {a_{i}{\i}{\i} {\i} {\i}{\i}{\i} {\i} {\i} {\i}} {\i}} {\i}} {\i}}} {\i}}}} {\b}} {\b}}} {\b}}} {\b}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}} {\b}\b}}}}}}\b}}}}}\b}}}}}}\b}}}} {\b} {\b} {\b} {\b}}}}}}} {\b}}}}}\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}\b}} {\b} {\b}\b}\b}}}}}}}}}\b}}}\b}\b}}}\b}}}}\b}}}}}}\b}}} {b}_{j}-a_{j}{\bar} {b}_{i}}\right)=\left(\sum) ¿Qué? {a}_{i}\right)\left(\sum) {\fn} {\fn} {\fn} {\fn\fn\fnMicrosoft Sans Serif} {b}_{i}\right).}$$

En términos de los módulos,

$${\displaystyle \left durable\sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? {b}_{j}-a_{j}{\bar} {B}_{i}\right sobre la vida {2}=\left(\sum) ¿Por qué? ¿Por qué?$$

La identidad de Lagrange para números complejos se ha obtenido a partir de una sencilla identidad del producto. Obviamente, una derivación para los reales es aún más sucinta. Dado que la desigualdad de Cauchy-Schwarz es un caso particular de la identidad de Lagrange, esta La prueba es otra forma más de obtener la desigualdad CS. Los términos de orden superior en la serie producen identidades novedosas.