La identidad de Bézout

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Relativo a dos números y su mayor divisor común

En matemáticas, la identidad de Bézout (también llamada lema de Bézout), llamada así por Étienne Bézout, es el siguiente teorema:

Identidad de Bézout—Vamos $a$ y $b$ ser enteros con mayor divisor común $d$ . Entonces existen enteros $x$ y $Sí.$ tales que $ax + por = d$ . Además, los enteros de la forma $az + bt$ son exactamente los múltiples $d$ .

Aquí el mayor divisor común $0$ y $0$ se ha tomado $0$ . Los enteros $x$ y $Sí.$ se llaman Coeficientes de Bézout para $() a, b)$ ; no son únicos. Un par de coeficientes de Bézout puede ser calculado por el algoritmo de Euclidean extendido, y este par es, en el caso de enteros uno de los dos pares tal que ${displaystyle |x|leq |b/d|}$ y ${displaystyle |y|leq |a/d|;}$ la igualdad sólo ocurre si $a$ y $b$ es un múltiple del otro.

Como ejemplo, el máximo común divisor de 15 y 69 es 3, y 3 se puede escribir como una combinación de 15 y 69 como $3 = 15 \times (-9) + 69 \times 2,$ con coeficientes de Bézout −9 y 2.

Muchos otros teoremas de la teoría elemental de números, como el lema de Euclides o el teorema chino del resto, resultan de la identidad de Bézout.

Un dominio de Bézout es un dominio integral en el que se mantiene la identidad de Bézout. En particular, la identidad de Bézout se mantiene en los principales dominios ideales. Cada teorema que resulta de la identidad de Bézout es así cierto en todos los dominios ideales principales.

Estructura de soluciones

Si $a$ y $b$ no son cero y se ha calculado un par de coeficientes de Bézout $(x, y)$ (por ejemplo, usando el algoritmo euclidiano extendido), todos los pares se pueden representar en la forma

{displaystyle left(x-k{frac {b}{d}}, y+k{frac {a}{d}}right),}

k

d

a

b

Si $a$ y $b$ son ambos distintos de cero, entonces exactamente dos de estos pares de coeficientes de Bézout satisfacen

{displaystyle |x|leq left|{frac {b}{d}}right|quad {text{and}}quad |y|leq left|{frac {a}{d}}right|,}

a

b

Esto se basa en una propiedad de la división euclidiana: dadas dos enteros no cero $c$ y $d$ , si $d$ no divide $c$ , hay exactamente un par $() q, r)$ tales que ${displaystyle c=dq+r}$ y $<math alttext="{displaystyle 0<r0.r.SilenciodSilencio,{displaystyle 0 Seguido] <img alt="{displaystyle 0<r$ y otro tal que ${displaystyle c=dq+r}$ y $<math alttext="{displaystyle -|d|<r- - SilenciodSilencio.r.0.{displaystyle - perpetuad ocultación 0} <img alt="{displaystyle -|d|<r$

Los dos pares de pequeños coeficientes de Bézout se obtienen del uno dado $() x, Sí.)$ por elegir para $k$ en la fórmula anterior cualquiera de los dos enteros al lado ${displaystyle {frac {x}{b/d}}}$ .

El algoritmo euclidiano extendido siempre produce uno de estos dos pares mínimos.

Ejemplo

Sean $a = 12$ y $b = 42$ , entonces $mcd (12, 42) = 6$ . Entonces se tienen las siguientes identidades de Bézout, con los coeficientes de Bézout escritos en rojo para los pares mínimos y en azul para los demás.

{displaystyle {begin{aligned}vdots \12&times ({color {blue}{-10}})&+;;42&times color {blue}{3}&=6\12&times ({color {red}{-3}})&+;;42&times color {red}{1}&=6\12&times color {red}{4}&+;;42&times ({color {red}{-1}})&=6\12&times color {blue}{11}&+;;42&times ({color {blue}{-3}})&=6\12&times color {blue}{18}&+;;42&times ({color {blue}{-5}})&=6\vdots end{aligned}}}

Si ${displaystyle (x,y)=(18,-5)}$ es el par original de coeficientes Bézout, entonces ${displaystyle {frac {18}{42/6}}in [2,3]}$ cede los pares mínimos a través de $k = 2$ , respectivamente $k = 3$ ; es decir, $(18 - 2 \cdot 7, -5 + 2 \cdot 2) = (4, -1)$ , y $(18 - 3 \cdot 7, -5 + 3 \cdot 2) = (-3, 1)$ .

Prueba

Dado cualquier entero no cero $a$ y $b$ , vamos $0}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">S={}ax+bSí.:x,Sí.▪ ▪ Zyax+bSí.■0}.{displaystyle S={ax+by:x,yin mathbb {Z} {text{ and }ax+by título0}}0}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d271f7053dbebbec9a279bb20a600cdad361a476" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.692ex; height:2.843ex;"/>$ El set $S$ no está vacía ya que contiene $a$ o $- a$ (con $x=pm 1$ y $y=0$ ). Desde $S$ es un conjunto no vacío de enteros positivos, tiene un elemento mínimo ${displaystyle d=as+bt}$ , por el principio bien ordenado. Para demostrarlo $d$ es el mayor divisor común $a$ y $b$ , debe probarse que $d$ es un divisor común $a$ y $b$ , y eso para cualquier otro divisor común $c$ , uno tiene ${displaystyle cleq d.}$

La división euclidiana de $a$ por $d$ puede escribirse

<math alttext="{displaystyle a=dq+rquad {text{with}}quad 0leq ra=dq+rcon0\leq \leq r.d.{displaystyle a=dq+rquad {text{with}quad 0leq r maded.} <img alt="{displaystyle a=dq+rquad {text{with}}quad 0leq r

r

{displaystyle Scup {0}}

{displaystyle {begin{aligned}r&=a-qd\&=a-q(as+bt)\&=a(1-qs)-bqt.end{aligned}}}

r

{displaystyle ax+by}

{displaystyle rin Scup {0}.}

<math alttext="{displaystyle 0leq r0\leq \leq r.d,{displaystyle 0leq r made,} <img alt="{displaystyle 0leq r

d

S

r

S

r

d

a

d

b

d

a

b

Ahora, vamos. $c$ ser cualquier divisor común $a$ y $b$ ; es decir, existen $u$ y $v$ tales que ${displaystyle a=cu}$ y ${displaystyle b=cv.}$ Uno tiene así

{displaystyle {begin{aligned}d&=as+bt\&=cus+cvt\&=c(us+vt).end{aligned}}}

c

d

0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d■0,{displaystyle d confiar0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54fead606badeb862e31dce4c8b685bbd24e7334" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.124ex; height:2.509ex;"/>

{displaystyle cleq d.}

Generalizaciones

Para tres o más enteros

La identidad de Bézout se puede extender a más de dos enteros: si

{displaystyle gcd(a_{1},a_{2},ldotsa_{n})=d}

x_{1},x_{2},ldotsx_{n}

{displaystyle d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots +a_{n}x_{n}}

d es el entero positivo más pequeño de esta forma
cada número de esta forma es un d

Para polinomios

La identidad de Bézout no siempre se cumple para los polinomios. Por ejemplo, cuando se trabaja en el anillo polinomial de números enteros: el máximo común divisor de $2 x$ y $x 2$ es x, pero no existe ningún polinomio de coeficiente entero p y q satisfaciendo $2 xp + x 2 q = x$ .

Sin embargo, la identidad de Bézout funciona para polinomios univariados sobre un campo exactamente de la misma manera que para números enteros. En particular, los coeficientes de Bézout y el máximo común divisor se pueden calcular con el algoritmo euclidiano extendido.

Como las raíces comunes de dos polinomios son las raíces de su máximo común divisor, la identidad de Bézout y el teorema fundamental del álgebra implican el siguiente resultado:

Para los polinomios univarios

f

g

con coeficientes en un campo, existen polinomios a y b tales que

af + bg = 1

f

g

no tienen raíz común en ningún campo algebraicamente cerrado (comúnmente el campo de números complejos).

La generalización de este resultado a cualquier número de polinomios e indeterminados es la Nullstellensatz de Hilbert.

Para dominios principales ideales

Como se señala en la introducción, la identidad de Bézout funciona no sólo en el anillo de los enteros, sino también en cualquier otro dominio ideal principal (PID). Eso es, si $R$ es un PID, y $a$ y $b$ son elementos de $R$ , y $d$ es un divisor común más grande $a$ y $b$ , entonces hay elementos $x$ y $Sí.$ dentro $R$ tales que ${displaystyle ax+by=d.}$ La razón es que el ideal ${displaystyle Ra+Rb}$ es principal e igual a ${displaystyle Rd.}$

Un dominio integral en el que se mantiene la identidad de Bézout se denomina dominio de Bézout.

Historia

El matemático francés Étienne Bézout (1730–1783) demostró esta identidad para los polinomios. Esta declaración para números enteros ya se puede encontrar en el trabajo de un matemático francés anterior, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638).

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