La función de Thomas

La función de Thomae es una función de valor real de una variable real que se puede definir como:

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\f} {\f} {\f} {\f}} {\f}} {\f}} {\f} {\f}} {\f}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}} {\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }x={\tfrac {p} {q}\quad (x{\text{ is rational), with }p\in \mathbb {Z} {\text{ and }}q\in \mathbb {N} {\text{ coprime}\0 lis {\if}x{\text{ is irrational}}\end{cases}} {}}}\end{cases}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\\\\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fnMin$$

Lleva el nombre de Carl Johannes Thomae, pero tiene muchos otros nombres: la función de palomitas de maíz, la función de gota de lluvia, la función de nube contable , la función de Dirichlet modificada, la función de regente, la función de Riemann o las Estrellas sobre Babilonia (John Horton nombre de Conway). Thomae lo mencionó como ejemplo de una función integrable con infinitas discontinuidades en uno de los primeros libros de texto sobre la noción de integración de Riemann.

Puesto que cada número racional tiene una representación única con coprime (también denominado relativamente primo) ${\displaystyle p\in \mathbb {Z}$ y ${\displaystyle q\in \mathbb {N}$, la función está bien definida. Note que ${\displaystyle q=+1}$ es el único número en ${\displaystyle \mathbb {N}$ que es coprime ${\displaystyle p=0.}$

Es una modificación de la función de Dirichlet, que es 1 en los números racionales y 0 en el resto.

Propiedades

Distribuciones de probabilidad relacionadas

Las distribuciones de probabilidad empíricas relacionadas con la función de Thomae aparecen en la secuenciación del ADN. El genoma humano es diploide y tiene dos hebras por cromosoma. Cuando se secuencia, se generan pequeñas piezas ("lecturas"): para cada punto del genoma, un número entero de lecturas se superponen con él. Su proporción es un número racional y normalmente se distribuye de manera similar a la función de Thomae.

Si pares de números enteros positivos ${\displaystyle m,n}$ se muestra de una distribución ${\displaystyle f(n,m)}$ y utilizados para generar ratios ${\displaystyle q=n/(n+m)}$, esto da lugar a una distribución ${\displaystyle g(q)}$ sobre los números racionales. Si los enteros son independientes, la distribución puede ser vista como una evolución sobre los números racionales, ${\textstyle g(a/(a+b)=\sum _{t=1}{\infty }f(ta)f(tb)}$. Existen soluciones de forma cerrada para las distribuciones de poder con un corte. Si ${\displaystyle f(k)=k^{-\alpha }e^{-\beta k}/\mathrm {Li} _{\alpha }(e^{-\beta )}$ (donde) ${\displaystyle \mathrm {Li} _{\alpha }$ es la función polilogaritmo) entonces ${\displaystyle g(a/(a+b)=(ab)^{-\alpha }\mathrm {Li} _{2\alpha }(e^{-(a+b)\beta })/\mathrm {Li} _{\alpha } {2}(e^{-\beta }}} {}}} {\cH0}}$. En el caso de distribuciones uniformes en el conjunto ${\displaystyle \{1,2,\ldotsL}}$ ${\displaystyle g(a/(a+b)=(1/L^{2})\lfloor L/\max(a,b)\rfloor }$, que es muy similar a la función de Thomae.

Las distribuciones de probabilidad relacionadas con la función de Thomae también pueden derivarse de procesos recurrentes generados por distribuciones discretas uniformes. Tales distribuciones discretas uniformes pueden ser dígitos de pi, giros de dados justos o giros de casino en vivo. En mayor detalle, el proceso recurrente se caracteriza como sigue: Una variable aleatoria C_i se muestra repetidamente N veces de una distribución uniforme discreta, donde rango de 1 a N. Por ejemplo, considere valores enteros que oscilan entre 1 y 10. Momentos de ocurrencia, T_k, significar cuando eventos C_i repetido, definido como C_i C_i-1 o C_i C_i-2, donde k va de 1 a M, con M siendo menos que N. Posteriormente, definir S_j como intervalo entre T sucesiva_k, representando el tiempo de espera para que ocurra un evento. Finalmente, introducir Z_l como (S)_j..._j-1), donde rango de 1 a U-1. La variable aleatoria Z muestra propiedades fractales, parecidos a la distribución de forma similar a la función de Thomae o Dirichlet.

La función de regla

Para los enteros, el exponente de la potencia más alta de 2 divisiones ${\displaystyle n}$ da 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0,... A007814 en el OEIS). Si se añade 1 o si se eliminan los 0, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1,... (secuencia) A001511 en el OEIS). Los valores se asemejan a marca de garrapatas en un gobernante graduado 1/16, por lo tanto el nombre. Estos valores corresponden a la restricción de la función Thomae a los racionales dyadic: aquellos números racionales cuyos denominadores son poderes de 2.

Funciones relacionadas

Una pregunta de seguimiento natural que uno podría hacer es si hay una función continua en los números racionales y discontinua en los números irracionales. Esto resulta imposible. El conjunto de discontinuidades de cualquier función debe ser un conjunto Fσ. Si tal función existiera, entonces los irracionales serían F_σ Listo. Los irracionales serían entonces la unión contable de conjuntos cerrados ${\textstyle \bigcup ¿Qué? }C_{i}$, pero como los irracionales no contienen un intervalo, ninguno de los ${\displaystyle C_{i}$. Por lo tanto, cada uno de los ${\displaystyle C_{i}$ no sería nada denso, y los irracionales serían un meager set. Seguiría que los números reales, siendo la unión de los irracionales y los racionales (que, como un conjunto contable, es evidentemente más bajo), también sería un conjunto meager. Esto contradice el teorema de la categoría Baire: porque los reales forman un espacio métrico completo, forman un espacio de Baire, que no puede ser más bajo en sí mismo.

Una variante de la función de Thomae se puede utilizar para demostrar que cualquier F_σ subconjunto de los números reales puede ser el conjunto de discontinuidades de una función. Si ${\textstyle A=\bigcup ¿Qué?$ es una unión contable de conjuntos cerrados ${\displaystyle F_{n}$, definir

$${\displaystyle f_{A}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n} {\text{if }x{ es racional y }n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\\\\\fn} {\fn} {\fn}x{\text{ is irracional and }n{\text{ is minimal so that }x\in ################################################################################################################################################################################################################################################################ A\end{cases}}$$

Entonces un argumento similar en cuanto a la función de Thomae muestra que ${\displaystyle F_{A}$ tiene A como su conjunto de discontinuidades.