La fórmula de D'Alembert

En matemáticas, y específicamente en ecuaciones diferenciales parciales (EDP), la fórmula de d´Alembert es la solución general de la ecuación de onda unidimensional:

${\displaystyle U_{tt}-c^{2}u_{xx}=0,\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}$

para ${\displaystyle -\infty > se llevó a cabo\infty\,\,t]$

Su nombre se debe al matemático Jean le Rond d'Alembert, quien lo dedujo en 1747 como solución al problema de una cuerda vibrante.

Las características del PDE son ${\displaystyle x\pm ct=\mathrm {const}$ (donde) ${\displaystyle \pm }$ sign indica las dos soluciones a la ecuación cuadrática, por lo que podemos utilizar el cambio de variables ${\displaystyle \mu =x+ct}$ (para la solución positiva) y ${\displaystyle \eta =x-ct}$ (para la solución negativa) para transformar el PDE ${\displaystyle u_{\mu\eta }=0}$. La solución general de este PDE es ${\displaystyle u(\mu\eta)=F(\mu)+G(\eta)}$ Donde ${\displaystyle F}$ y ${\displaystyle G.$ son ${\displaystyle C^{1}$ funciones. Atrás ${\displaystyle x,t}$ coordenadas,

${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}$

${\displaystyle u}$ es ${\displaystyle C^{2}$ si ${\displaystyle F}$ y ${\displaystyle G.$ son ${\displaystyle C^{2}$.

Esta solución ${\displaystyle u}$ puede ser interpretado como dos ondas con velocidad constante ${\displaystyle c}$ moverse en direcciones opuestas a lo largo del eje x.

Ahora considere esta solución con los datos de Cauchy ${\displaystyle u(x,0)=g(x),u_{t}(x,0)=h(x)}$.

Uso ${\displaystyle u(x,0)=g(x)}$ nosotros ${\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)}$.

Uso ${\displaystyle u_{t}(x,0)=h(x)}$ nosotros ${\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)}$.

Podemos integrar la última ecuación para conseguir $${\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi)\,d\xi +c_{1}$$

Ahora podemos resolver este sistema de ecuaciones para conseguir $${\displaystyle F(x)={-1}{2c}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi)\,d\xi +c_{1}\right)}}}}}}$$$${\displaystyle G(x)={\frac {-1}{2c}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi)d\xi +c_{1}\right)\right).}}}$$

Ahora, usando $${\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)}$$

La fórmula de Alembert se convierte en: $${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}\left [g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}\int _{x-ct}{x+ct}h(\xi)\,d\xi.}$$

La forma general de una ecuación diferencial tipo hiperbólico canónico inhomogénea toma la forma de: $${\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t),\,u(x,0)=g(x),\,u_{t}(x,0)=h(x),}$$para ${\displaystyle -\infty > 0,\,t Conf0,f\in C^{2}(\mathbb {R} },\mathbb {R})}$.

Todas las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes pueden transformarse en sus respectivas formas canónicas. Esta ecuación es uno de estos tres casos: ecuación diferencial parcial elíptica, ecuación diferencial parcial parabólica y ecuación diferencial parcial hiperbólica.

La única diferencia entre una ecuación diferencial homogénea y una ecuación diferencial inhomogénea (partial) es que en la forma homogénea sólo permitimos 0 pararnos en el lado derecho (${\displaystyle f(x,t)=0}$), mientras que el inhomogéneo es mucho más general, como en ${\displaystyle f(x,t)}$ podría ser cualquier función mientras sea continua y puede ser diferenciada continuamente dos veces.

La solución de la ecuación anterior es dada por la fórmula: $${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}{\bigl (}g(x+ct)+g(x-ct){\bigr)}+{\frac {1}{2c}\int ¿Por qué? ¿Por qué?$$

Si ${\displaystyle g(x)=0}$, la primera parte desaparece, si ${\displaystyle h(x)=0}$, la segunda parte desaparece, y si ${\displaystyle f(x)=0}$, la tercera parte desaparece de la solución, ya que integrar el 0-función entre cada dos límites siempre resulta en 0.

• D'Alembert operator
• Onda mecánica
• Ecuación de onda

• Un ejemplo Archivado 2011-01-19 en la máquina Wayback de resolver una ecuación de onda no homogénea de www.exampleproblems.com

https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/ecuaciones%20cambian%20el%20mundo.html