En geometría, la fórmula de Bretschneider es una expresión matemática para el área de un cuadrilátero general.
Funciona tanto en cuadriláteros convexos como cóncavos (pero no en los cruzados), ya sean cíclicos o no.
Historia
El matemático alemán Carl Anton Bretschneider descubrió la fórmula en 1842. La fórmula también fue derivada ese mismo año por el matemático alemán Karl Georg Christian von Staudt.
Formulación
La fórmula de Bretschneider se expresa como:
Aquí, a, b, c, d son los lados del cuadrilátero, s es el semiperímetro, y α y γ son dos ángulos opuestos, ya que mientras
Prueba
Representamos el área del cuadrilátero con K. Entonces tenemos
Por lo tanto
La ley de los cosenos implica que
porque ambos lados son iguales al cuadrado de la longitud de la diagonal BD. Esto se puede reescribir como
Si sumamos esto a la fórmula anterior para 4K2 obtenemos:
Note that: (una identidad trigonométrica verdadera para todos) )
Siguiendo los mismos pasos que en la fórmula de Brahmagupta, esto se puede escribir como
Introducción al semiperímetro
lo anterior se convierte en
y la fórmula de Bretschneider se deduce después de sacar la raíz cuadrada de ambos lados:
La segunda forma se obtiene utilizando la identidad del semiángulo del coseno
ceder
Emmanuel García ha utilizado las fórmulas generalizadas de los semiángulos para dar una prueba alternativa.
fórmulas relacionadas
La fórmula de Bretschneider generalizó la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico, que a su vez generalizó la fórmula de Heron para el área de un triángulo.
El ajuste trigonométrico en la fórmula de Bretschneider para la no ciclicidad del cuadrilátero se puede reescribir de manera no trigonométrica en términos de los lados y las diagonales e y f para dar
Notas
^E. A. José García, Two Identities and their Consequences, MATINF, 6 (2020) 5-11. [1]
^Coolidge, J. L. (1939). "Una fórmula históricamente interesante para el área de un cuadrilátero". American Mathematical Monthly. 46 (6): 345–347. doi:10.2307/2302891. JSTOR 2302891.
^Hobson, E. W. (1918). Un placer sobre la trigonometría del avión. Cambridge University Press. pp. 204–205.
Referencias " lectura ulterior
Ayoub, Ayoub B. (2007). "Generalizaciones de Ptolemy y Brahmagupta Theorems". Matemáticas y Educación Informática. 41 1). ISSN 0730-8639.
C. A. Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (online copy, German)
F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (online copy, German)
Enlaces externos
Weisstein, Eric W. "La fórmula de Bretschneider". MathWorld.
![{\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma)]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274a2fdb98ed6e71c98f8dee380c3e1318d9e4a7)
![{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma)]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd67344e861ae283f212781cbefdb9355576d99a)
