La cuna de Newton

La cuna de Newton es un dispositivo, generalmente hecho de metal, que demuestra los principios de conservación del momento y conservación de la energía en física con esferas oscilantes. Cuando una esfera en el extremo se levanta y se suelta, golpea las esferas estacionarias, transmitiendo una presión u onda sónica a través de las esferas estacionarias, creando así una fuerza que empuja la última esfera hacia arriba. La última esfera retrocede y golpea las esferas casi estacionarias, repitiendo el efecto en la dirección opuesta. El dispositivo lleva el nombre del científico inglés del siglo XVII Sir Isaac Newton y fue diseñado por el científico francés Edme Mariotte. También se le conoce como péndulo de Newton, bolas de Newton, mecedor de Newton o clicker ejecutivo de bolas (ya que el dispositivo realiza un clic cada vez que las bolas chocan, lo cual lo hacen repetidamente y a un ritmo constante).

Operación

Cuando una de las bolas del extremo ("la primera") se tira hacia un lado, la cuerda unida la hace seguir un arco hacia arriba. Cuando se suelta la pelota, golpea la segunda pelota y casi se detiene. La pelota del lado opuesto adquiere la mayor parte de la velocidad de la primera pelota y se balancea formando un arco casi tan alto como la altura de lanzamiento de la primera pelota. Esto muestra que la última bola recibe la mayor parte de la energía y el impulso de la primera. El impacto produce una onda sónica que se propaga a través de las bolas intermedias. Cualquier material eficientemente elástico como el acero hace esto, siempre que la energía cinética se almacene temporalmente como energía potencial en la compresión del material en lugar de perderse en forma de calor. Esto es similar a hacer rebotar una moneda de una línea de monedas en contacto golpeándola con otra moneda, y esto sucede incluso si la primera moneda golpeada está limitada presionando su centro de manera que no pueda moverse.

Hay ligeros movimientos en todas las bolas después del golpe inicial, pero la última bola recibe la mayor parte de la energía inicial del impacto de la primera bola. Cuando se dejan caer dos (o tres) bolas, las dos (o tres) bolas del lado opuesto se balancean hacia afuera. Algunos dicen que este comportamiento demuestra la conservación del momento y la energía cinética en colisiones elásticas. Sin embargo, si las bolas que chocan se comportan como se describió anteriormente con la misma masa y la misma velocidad antes y después de las colisiones, entonces cualquier función de masa y velocidad se conserva en tal evento. Por lo tanto, esta explicación de primer nivel es una descripción verdadera, pero no completa, del movimiento.

Explicación de física

La cuna de Newton se puede modelar con bastante precisión con ecuaciones matemáticas simples, asumiendo que las bolas siempre chocan en pares. Si una bola golpea cuatro bolas estacionarias que ya se están tocando, estas simples ecuaciones no pueden explicar los movimientos resultantes en las cinco bolas, que no se deben a pérdidas por fricción. Por ejemplo, en una cuna de Newton real la cuarta bola tiene cierto movimiento y la primera bola tiene un ligero movimiento inverso. Todas las animaciones de este artículo muestran una acción idealizada (solución simple) que solo ocurre si las bolas no se tocan inicialmente y solo chocan en pares.

Solución sencilla

La conservación del impulso (masa × velocidad) y la energía cinética (¹/_{2< /sub> × masa × velocidad²)} se puede utilizar para encontrar las velocidades resultantes de dos objetos perfectamente elásticos en colisión. Estas dos ecuaciones se utilizan para determinar las velocidades resultantes de los dos objetos. Para el caso de dos bolas restringidas a una trayectoria recta por las cuerdas en la cuna, las velocidades son un número único en lugar de un vector 3D para el espacio 3D, por lo que las matemáticas solo requieren dos ecuaciones para resolver dos incógnitas. Cuando los dos objetos tienen la misma masa, la solución es simple: el objeto en movimiento se detiene con respecto al que está estacionario y el que está estacionario toma toda la velocidad inicial del otro. Esto supone objetos perfectamente elásticos, por lo que no es necesario tener en cuenta las pérdidas de energía térmica y sonora.

El acero no se comprime mucho, pero su elasticidad es muy eficiente, por lo que no genera mucho calor residual. El simple efecto de dos objetos de la misma masa, eficientemente elásticos, que colisionan y se limitan a seguir una trayectoria recta, es la base del efecto observado en la cuna y proporciona una solución aproximada a todas sus actividades.

Para una secuencia de objetos elásticos de la misma masa restringidos a una trayectoria recta, el efecto continúa en cada objeto sucesivo. Por ejemplo, cuando se dejan caer dos pelotas para golpear tres pelotas estacionarias en una cuna, hay una pequeña distancia inadvertida pero crucial entre las dos pelotas que se dejan caer, y la acción es la siguiente: la primera pelota en movimiento que golpea la primera pelota estacionaria (la segunda bola golpea a la tercera bola) transfiere todo su impulso a la tercera bola y se detiene. La tercera bola luego transfiere el impulso a la cuarta bola y se detiene, y luego la cuarta a la quinta bola.

Justo detrás de esta secuencia, la segunda bola en movimiento está transfiriendo su impulso a la primera bola en movimiento que acaba de detenerse, y la secuencia se repite inmediatamente e imperceptiblemente detrás de la primera secuencia, expulsando la cuarta bola justo detrás de la quinta bola con la misma pequeña bola. separación que había entre las dos bolas de golpe inicial. Si simplemente se tocan cuando golpean la tercera bola, la precisión requiere la solución más completa que se muestra a continuación.

Otros ejemplos de este efecto

El efecto de la última bola expulsada con una velocidad casi igual a la primera bola se puede ver al deslizar una moneda sobre una mesa en una línea de monedas idénticas, siempre que la moneda que golpea y sus objetivos gemelos estén en línea recta. línea. El efecto se puede observar de manera similar en las bolas de billar. El efecto también se puede observar cuando una onda de presión fuerte y aguda golpea un material denso y homogéneo sumergido en un medio menos denso. Si los átomos, moléculas o subvolúmenes de mayor escala del material denso y homogéneo están unidos al menos parcialmente elásticamente entre sí mediante fuerzas electrostáticas, pueden actuar como una secuencia de bolas elásticas idénticas en colisión.

Los átomos, moléculas o subvolúmenes circundantes que experimentan la onda de presión actúan para restringirse entre sí de manera similar a cómo la cuerda constriñe las bolas de la cuna a una línea recta. Como ejemplo médico, las ondas de choque de la litotricia se pueden enviar a través de la piel y el tejido sin dañar los cálculos renales. El lado de las piedras opuesto a la onda de presión entrante estalla, no el lado que recibe el golpe inicial. En el juego indio carrom, un delantero se detiene después de golpear una pieza estacionaria, transfiriendo todo su impulso a la pieza golpeada.

Cuando se aplica la solución simple

Para una solución simple para predecir con precisión la acción, ninguna pareja en medio de una colisión puede tocar la tercera bola, porque la presencia de la tercera bola efectivamente hace que la bola golpeada parezca más masiva. La aplicación de las dos ecuaciones de conservación para resolver las velocidades finales de tres o más bolas en una sola colisión da como resultado muchas soluciones posibles, por lo que estos dos principios no son suficientes para determinar la acción resultante.

Incluso cuando hay una pequeña separación inicial, una tercera bola puede verse involucrada en la colisión si la separación inicial no es lo suficientemente grande. Cuando esto ocurre, se debe utilizar el método de solución completa que se describe a continuación.

Las pequeñas bolas de acero funcionan bien porque permanecen eficientemente elásticas con poca pérdida de calor bajo golpes fuertes y no se comprimen mucho (hasta aproximadamente 30 μm en una pequeña cuna de Newton). Las compresiones pequeñas y rígidas significan que ocurren rápidamente, en menos de 200 microsegundos, por lo que es más probable que las bolas de acero completen una colisión antes de tocar una tercera bola cercana. Las bolas elásticas más blandas requieren una separación mayor para maximizar el efecto de las colisiones entre pares.

Solución más completa

Una cuna que sigue mejor la solución simple necesita tener una separación inicial entre las bolas que mida al menos el doble de la cantidad que comprime cualquier bola, pero la mayoría no. En este apartado se describe la acción cuando la separación inicial no es suficiente y en colisiones posteriores que involucran a más de dos bolas incluso cuando existe una separación inicial. Esta solución se simplifica a la solución simple cuando solo dos bolas se tocan durante una colisión. Se aplica a todas las bolas idénticas perfectamente elásticas que no tienen pérdidas de energía debido a la fricción y pueden aproximarse mediante materiales como acero, vidrio, plástico y caucho.

Para dos bolas que chocan, solo se necesitan las dos ecuaciones de conservación del momento y la energía para resolver las dos velocidades resultantes desconocidas. Para tres o más bolas elásticas que chocan simultáneamente, las compresibilidades relativas de las superficies en colisión son las variables adicionales que determinan el resultado. Por ejemplo, cinco bolas tienen cuatro puntos de colisión y al escalar (dividir) tres de ellas por la cuarta se obtienen las tres variables adicionales necesarias para resolver las cinco velocidades posteriores a la colisión.

La acción newtoniana, lagrangiana, hamiltoniana y estacionaria son las diferentes formas de expresar matemáticamente la mecánica clásica. Describen la misma física pero deben resolverse mediante métodos diferentes. Todos imponen la conservación de la energía y el impulso. La ley de Newton se ha utilizado en artículos de investigación. Se aplica a cada bola y la suma de fuerzas se iguala a cero. Entonces hay cinco ecuaciones, una para cada bola, y cinco incógnitas, una para cada velocidad. Si las bolas son idénticas, la compresibilidad absoluta de las superficies se vuelve irrelevante, porque se puede dividir en ambos lados de las cinco ecuaciones, lo que produce cero.

Determinar las velocidades para el caso de una bola golpeando cuatro bolas inicialmente conmovedoras se encuentra modelando las bolas como pesos con resortes no tradicionales en sus superficies de colisión. La mayoría de los materiales, como el acero, que son eficientemente elásticos, siguen aproximadamente la ley de fuerza de Hooke para primaveras, ${displaystyle F=kcdot x}$, pero debido a que el área de contacto para una esfera aumenta a medida que la fuerza aumenta, las bolas elásticas colliding siguen el ajuste de Hertz a la ley de Hooke, ${displaystyle F=kcdot x^{1.5}$. Esta y la ley de Newton para el movimiento (${displaystyle F=mcdot a}$) se aplican a cada bola, dando cinco ecuaciones diferenciales simples pero interdependientes que se pueden resolver numéricamente.

Cuando la quinta bola comienza a acelerar, recibe impulso y energía de la tercera y cuarta bolas a través de la acción elástica de sus superficies comprimidas. Para bolas elásticas idénticas de cualquier tipo con bolas que tocan inicialmente, la acción es la misma para el primer golpe, excepto que el tiempo para completar una colisión aumenta en materiales más blandos. Entre el cuarenta y el cincuenta por ciento de la energía cinética de la bola inicial tras un golpe de una sola bola se almacena en las superficies de la bola como energía potencial durante la mayor parte del proceso de colisión. De la velocidad inicial, el 13% se imparte a la cuarta bola (que puede verse como un movimiento de 3,3 grados si la quinta bola se mueve 25 grados) y hay una ligera velocidad inversa en las tres primeras bolas, teniendo la primera bola el más grande al −7% de la velocidad inicial. Esto separa las bolas, pero se vuelven a juntar justo antes de que regrese la quinta bola. Esto se debe al fenómeno pendular de diferentes perturbaciones de ángulos pequeños que tienen aproximadamente el mismo tiempo para regresar al centro.

Las ecuaciones diferenciales hertzianas predicen que si dos bolas golpean a tres, la quinta y la cuarta saldrán con velocidades de 1,14 y 0,80 veces la velocidad inicial. Esto es 2,03 veces más energía cinética en la quinta bola que en la cuarta, lo que significa que la quinta bola se balancearía dos veces más alto en dirección vertical que la cuarta bola. Pero en una verdadera cuna de Newton, la cuarta bola se balancea hasta la quinta bola. Para explicar la diferencia entre teoría y experimento, las dos bolas que golpean deben tener al menos ≈ 10 μm de separación (dado el acero, 100 g y 1 m/s). Esto muestra que en el caso común de las bolas de acero, las separaciones inadvertidas pueden ser importantes y deben incluirse en las ecuaciones diferenciales hertzianas, o la solución simple dará un resultado más preciso.

Efecto de las ondas de presión

Se supuso que las fuerzas en la solución hertziana anterior se propagaban en las bolas inmediatamente, lo cual no es el caso. Los cambios repentinos en la fuerza entre los átomos del material se acumulan para formar una onda de presión. Las ondas de presión (sonido) en el acero viajan unos 5 cm en 10 microsegundos, lo que es unas 10 veces más rápido que el tiempo entre el golpe de la primera bola y la expulsión de la última. Las ondas de presión se reflejan hacia adelante y hacia atrás a través de las cinco bolas unas diez veces, aunque se dispersan en un frente de onda menor con más reflejos. Esto es lo suficientemente rápido como para que la solución hertziana no requiera una modificación sustancial para ajustar el retraso en la propagación de la fuerza a través de las bolas. En bolas menos rígidas pero aún muy elásticas, como las de goma, la velocidad de propagación es más lenta, pero la duración de las colisiones es mayor, por lo que la solución hertziana sigue siendo válida. El error introducido por la velocidad limitada de propagación de la fuerza sesga la solución hertziana hacia la solución simple porque las colisiones no se ven tan afectadas por la inercia de las bolas que están más alejadas.

Las bolas con formas idénticas ayudan a que las ondas de presión converjan en el punto de contacto de la última bola: en el punto de golpe inicial, una onda de presión avanza hacia las otras bolas mientras que otra retrocede para reflejarse en el lado opuesto de la primera bola, y luego sigue la primera onda, estando exactamente a una bola del diámetro detrás. Las dos ondas se encuentran en el último punto de contacto porque la primera onda se refleja en el lado opuesto de la última bola y se encuentra en el último punto de contacto con la segunda onda. Luego reverberan de un lado a otro así unas 10 veces hasta que la primera bola deja de conectarse con la segunda. Luego, las reverberaciones se reflejan en el punto de contacto entre la segunda y tercera bolas, pero aún convergen en el último punto de contacto, hasta que se expulsa la última bola, pero con cada reflexión es menos un frente de onda.

Efecto de diferentes tipos de bolas

El uso de diferentes tipos de material no cambia la acción siempre que el material sea eficientemente elástico. El tamaño de las esferas no cambia los resultados a menos que el aumento de peso exceda el límite elástico del material. Si las bolas sólidas son demasiado grandes, se pierde energía en forma de calor, porque el límite elástico aumenta con el radio elevado a la potencia 1,5, pero la energía que tuvo que ser absorbida y liberada aumenta con el cubo del radio. Hacer las superficies de contacto más planas puede superar esto hasta cierto punto distribuyendo la compresión a una mayor cantidad de material, pero puede introducir un problema de alineación. El acero es mejor que la mayoría de los materiales porque permite que la solución simple se aplique con más frecuencia en colisiones después del primer golpe, su rango elástico para almacenar energía sigue siendo bueno a pesar de la mayor energía causada por su peso, y el mayor peso disminuye el efecto de la resistencia del aire..

Usos

La aplicación más común es la de un juguete ejecutivo de escritorio. Otro uso es como demostración educativa de física, como ejemplo de conservación del impulso y conservación de la energía.

Historia

El principio demostrado por el dispositivo, la ley de impactos entre cuerpos, fue demostrado por primera vez por el físico francés Abbé Mariotte en el siglo XVII. Su trabajo sobre el tema se presentó por primera vez a la Academia Francesa de Ciencias en 1671; fue publicado en 1673 como Traité de la percussion ou choc des corps ("Tratado sobre la percusión o choque de los cuerpos").

Newton reconoció el trabajo de Mariotte, junto con Wren, Wallis y Huygens, como los pioneros de los experimentos sobre las colisiones de bolas de péndulo, en su Principia.

Christiaan Huygens utilizó péndulos para estudiar las colisiones. Su obra, De Motu Corporum ex Percussione (Sobre el movimiento de los cuerpos por colisión), publicada póstumamente en 1703, contiene una versión de la primera ley de Newton y analiza la colisión de cuerpos suspendidos, incluidos dos cuerpos. de igual masa con el movimiento del cuerpo en movimiento transferido al que está en reposo.

Existe mucha confusión sobre los orígenes de la cuna de Newton moderna. A Marius J. Morin se le atribuye el mérito de ser el primero en nombrar y fabricar este popular juguete ejecutivo. Sin embargo, a principios de 1967, un actor inglés, Simon Prebble, acuñó el nombre de "la cuna de Newton" (ahora utilizado genéricamente) para la versión de madera fabricada por su empresa, Scientific Demonstrations Ltd. Después de cierta resistencia inicial por parte de los minoristas, Harrods de Londres los vendió por primera vez, creando así el inicio de un mercado duradero para juguetes ejecutivos. Más tarde, el escultor y futuro director de cine Richard Loncraine creó un diseño cromado de gran éxito para la tienda Gear de Carnaby Street.

El dispositivo de cuna más grande del mundo fue diseñado por MythBusters y constaba de cinco boyas de una tonelada rellenas de hormigón y barras de acero suspendidas de una armadura de acero. Las boyas también tenían una placa de acero insertada entre sus dos mitades para actuar como un "punto de contacto" para transferir la energía; Este dispositivo de soporte no funcionó bien porque el concreto no es elástico, por lo que la mayor parte de la energía se perdió debido a la acumulación de calor en el concreto. Una versión a menor escala construida por ellos consta de cinco rodamientos de bolas de acero cromado de 15 centímetros (6 pulgadas), cada uno de los cuales pesa 15 kilogramos (33 libras), y es casi tan eficiente como un modelo de escritorio.

El dispositivo de soporte con las bolas de colisión de mayor diámetro expuesto al público estuvo visible durante más de un año en Milwaukee, Wisconsin, en la tienda minorista American Science and Surplus (ver foto). Cada pelota era una pelota de ejercicio inflable de 66 cm (26 pulgadas) de diámetro (envuelta en anillos de acero) y estaba sostenida desde el techo mediante imanes extremadamente fuertes. Fue desmantelado a principios de agosto de 2010 debido a problemas de mantenimiento.

En la cultura popular

La cuna de Newton aparece en algunas películas, a menudo como un tropo en el escritorio de un villano principal, como el papel de Paul Newman en The Hudsucker Proxy, Magneto en X-Men y los kryptonianos en Superman II. Se usó para representar la posición inflexible de la NFL hacia las lesiones en la cabeza en Conmoción cerebral. También se ha usado como una distracción relajante en el escritorio de personajes principales inteligentes/ansiosos/sensibles como Henry Winkler. el papel de Night Shift, el papel de Dustin Hoffman en Straw Dogs y el papel de Gwyneth Paltrow en Iron Man 2. Apareció de manera más prominente como una serie de vasijas de barro en Rosencrantz y Guildenstern están muertos, y como una fila de sillas burbuja de Eero Aarnio de 1968 con mujeres con poca ropa en Gamer. En Cigüeñas, Hunter, el director general de Cornerstore, tiene uno que no tiene pelotas, sino pajaritos. La cuna de Newton es un elemento de Animal Crossing de Nintendo, donde se lo conoce como "juguete ejecutivo". En 2017, un episodio del podcast Omnibus, en el que participaba el campeón de Jeopardy!, Ken Jennings, y el músico John Roderick, se centró en la historia de Newton's Cradle. La cuna de Newton también aparece en el escritorio del subdirector de comunicaciones de la Casa Blanca, Sam Seaborn, en The West Wing. En el episodio de Futurama "El día que la Tierra se quedó estúpida", se muestra al profesor Hubert Farnsworth con la cabeza en la cuna de Newton y diciendo que es un genio como Philip J. Fry pasa.

La banda de rock progresivo Dream Theater utiliza la cuna como imagen en la carátula del álbum de su lanzamiento de 2005, Octavarium. La banda de rock Jefferson Airplane utilizó la base del álbum de 1968 Crown of Creation como dispositivo rítmico para crear polirritmos en una pista instrumental.

Literatura