L. E. J. Brouwer

Brouwer (derecha) en el Congreso Internacional de Matemáticas, Zurich 1932

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (holandés: [ˈlœy̯tsə(n) ɛɣˈbɛrtəs jɑn ˈbrʌu̯ər]; 27 de febrero de 1881 - 2 de diciembre de 1966), generalmente citado como L. E. J. Brouwer pero conocido por sus amigos como Bertus, fue un matemático y filósofo holandés que trabajó en topología, teoría de conjuntos, teoría de la medida y análisis complejo. Considerado como uno de los más grandes matemáticos del siglo XX, es conocido como el fundador de la topología moderna, particularmente por establecer su teorema del punto fijo y la invariancia topológica de la dimensión.

Brouwer también se convirtió en una figura importante en la filosofía del intuicionismo, una escuela constructivista de matemáticas que argumenta que las matemáticas son una construcción cognitiva en lugar de un tipo de verdad objetiva. Esta posición condujo a la controversia Brouwer-Hilbert, en la que Brouwer discutió con su colega formalista David Hilbert. Las ideas de Brouwer fueron retomadas posteriormente por su alumno Arend Heyting y el antiguo alumno de Hilbert, Hermann Weyl. Además de su trabajo matemático, Brouwer también publicó el breve tratado filosófico Vida, arte y misticismo (1905).

Biografía

Brouwer nació de padres protestantes holandeses. Al principio de su carrera, Brouwer demostró una serie de teoremas en el campo emergente de la topología. Los más importantes fueron su teorema del punto fijo, la invariancia topológica de grado y la invariancia topológica de dimensión. Entre los matemáticos en general, el más conocido es el primero, generalmente denominado ahora como el teorema del punto fijo de Brouwer. Es un corolario del segundo, relativo a la invariancia topológica de grado, que es el más conocido entre los topólogos algebraicos. El tercer teorema es quizás el más difícil.

Brouwer también demostró el teorema de aproximación simplicial en los fundamentos de la topología algebraica, que justifica la reducción a términos combinatorios, después de una subdivisión suficiente de los complejos simpliciales, del tratamiento de aplicaciones continuas generales. En 1912, a los 31 años, fue elegido miembro de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos. Fue orador invitado del ICM en 1908 en Roma y en 1912 en Cambridge, Reino Unido. Fue elegido miembro de la Sociedad Filosófica Estadounidense en 1943.

Brouwer fundó el intuicionismo, una filosofía de las matemáticas que desafió el formalismo entonces predominante de David Hilbert y sus colaboradores, entre los que se encontraban Paul Bernays, Wilhelm Ackermann y John von Neumann (cf. Kleene (1952), p. 46–59). Una variedad de matemáticas constructivas, el intuicionismo es una filosofía de los fundamentos de las matemáticas. A veces, y de manera bastante simplista, se caracteriza por decir que sus adherentes se niegan a utilizar la ley del tercero excluido en el razonamiento matemático.

Brouwer era miembro del Grupo Significs. Formó parte de la historia temprana de la semiótica, el estudio de los símbolos, en torno a Victoria, Lady Welby en particular. El significado original de su intuicionismo probablemente no pueda desenredarse completamente del medio intelectual de ese grupo.

En 1905, a la edad de 24 años, Brouwer expresó su filosofía de vida en un breve tratado Vida, arte y misticismo, que ha sido descrito por el matemático Martin Davis como "empapado en el pesimismo romántico" (Davis (2002), pág. 94). Arthur Schopenhauer tuvo una influencia formativa en Brouwer, sobre todo porque insistió en que todos los conceptos se basaran fundamentalmente en intuiciones sensoriales. Brouwer luego "se embarcó en una campaña farisaica para reconstruir la práctica matemática desde cero para satisfacer sus convicciones filosóficas"; de hecho, su director de tesis se negó a aceptar su Capítulo II "tal como está,... todo entrelazado con una especie de pesimismo y actitud mística hacia la vida que no es matemática, ni tiene nada que ver con los fundamentos de la matemática" (Davis, p. 94 citando a van Stigt, p. 41). Sin embargo, en 1908:

"... Brouwer, en un documento titulado 'La falsedad de los principios de la lógica', desafió la creencia de que las reglas de la lógica clásica, que han venido a nosotros esencialmente de Aristóteles (384--322 B.C.) tienen una validez absoluta, independiente del tema al que se aplican" (Kleene (1952), p. 46).

"Después de completar su disertación, Brouwer tomó la decisión consciente de mantener temporalmente en secreto sus ideas polémicas y concentrarse en demostrar su destreza matemática" (Davis (2000), pág. 95); en 1910 había publicado varios artículos importantes, en particular el Teorema del Punto Fijo. Hilbert, el formalista con quien el intuicionista Brouwer finalmente pasaría años en conflicto, admiró al joven y lo ayudó a recibir una cita académica regular (1912) en la Universidad de Amsterdam (Davis, p. 96). Fue entonces cuando "Brouwer se sintió libre para volver a su proyecto revolucionario que ahora llamaba intuicionismo " (ibídem).

De joven era combativo. Según Mark van Atten, esta pugnacidad reflejaba su combinación de independencia, brillante, altos estándares morales y extrema sensibilidad a las cuestiones de justicia. Estuvo involucrado en una controversia muy pública y eventualmente degradante a fines de la década de 1920 con Hilbert sobre la política editorial en Mathematische Annalen, en ese momento una importante revista científica. Según Abraham Fraenkel, Brouwer defendió el arianismo germánico y Hilbert lo destituyó del consejo editorial de Mathematische Annalen después de que Brouwer objetara las contribuciones de Ostjuden. Brouwer fue acusado de ser colaborador de los nazis, de lo que no hay pruebas. Retuvo a su asistente judío Hans Freudenthal en los años 30, rechazó la solicitud de un nazi de eliminar a los matemáticos judíos del directorio de su revista Compositio Mathematica y escondió judíos en su casa durante la guerra. Asimismo, tomó a Daniel Kan, que había sobrevivido a Bergen-Belsen, como su asistente en 1948.

En años posteriores, se aisló relativamente; el desarrollo del intuicionismo en su origen fue retomado por su estudiante Arend Heyting. El matemático e historiador holandés de las matemáticas Bartel Leendert van der Waerden asistió a conferencias impartidas por Brouwer en años posteriores y comentó: "Aunque sus contribuciones de investigación más importantes fueron en topología, Brouwer nunca impartió cursos sobre topología, sino siempre sobre, y sólo sobre los cimientos de su intuicionismo. Parecía que ya no estaba convencido de sus resultados en topología porque no eran correctos desde el punto de vista del intuicionismo, y juzgaba todo lo que había hecho antes, su mayor producción, falso según su filosofía."

Sobre sus últimos años, Davis (2002) comenta:

"...se sintió cada vez más aislado, y pasó sus últimos años bajo el hechizo de 'totalmente infundadas preocupaciones financieras y un temor paranoico a la quiebra, persecución y enfermedad.' Fue asesinado en 1966 a la edad de 85 años, golpeado por un vehículo mientras cruzaba la calle frente a su casa." (Davis, p. 100 citando van Stigt. p. 110.)