Kurt Godel

Kurt Friedrich Gödel (GUR-DL, Alemán: [k es necesario] ()escucha); 28 de abril de 1906 – 14 de enero de 1978) fue un lógico, matemático y filósofo. Considerado junto con Aristóteles y Gottlob Frege para ser uno de los lógicas más significativos de la historia, Gödel tuvo un efecto inmenso sobre el pensamiento científico y filosófico en el siglo XX, un momento en que otros como Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, y David Hilbert estaban utilizando la lógica y la teoría de conjuntos para investigar los cimientos de las matemáticas, basándose en el trabajo anterior por parte de Richard Dedekind, Georg Cantor y Frege.

Gödel publicó su primer teorema de incompletitud en 1931 cuando tenía 25 años, un año después de terminar su doctorado en la Universidad de Viena. El primer teorema de incompletitud establece que para cualquier sistema axiomático recursivo consistente en ω lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo, la aritmética de Peano), hay proposiciones verdaderas sobre los números naturales que no se pueden probar ni refutar a partir de los axiomas. Para probar esto, Gödel desarrolló una técnica ahora conocida como numeración de Gödel, que codifica expresiones formales como números naturales. El segundo teorema de incompletitud, que se deriva del primero, establece que el sistema no puede probar su propia consistencia.

Gödel también demostró que ni el axioma de elección ni la hipótesis del continuo se pueden refutar de la teoría de conjuntos aceptada de Zermelo-Fraenkel, asumiendo que sus axiomas son consistentes. El primer resultado abrió la puerta para que los matemáticos asuman el axioma de elección en sus demostraciones. También hizo importantes contribuciones a la teoría de la prueba al aclarar las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.

Vida temprana y educación

Infancia

Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Brünn, Austria-Hungría (ahora Brno, República Checa) en la familia de habla alemana de Rudolf Gödel (1874–1929), director gerente y copropietario de una importante empresa textil y Marianne Gödel (de soltera Handschuh, 1879–1966). En el momento de su nacimiento, la ciudad tenía una mayoría de habla alemana que incluía a sus padres. Su padre era católico y su madre era protestante y los niños se criaron como protestantes. Los antepasados de Kurt Gödel estuvieron a menudo activos en la vida cultural de Brünn. Por ejemplo, su abuelo Joseph Gödel fue un cantante famoso en su época y durante algunos años miembro del Brünner Männergesangverein (Unión Coral Masculina de Brünn).

Gödel se convirtió automáticamente en ciudadano de Checoslovaquia a los 12 años cuando el Imperio austrohúngaro se derrumbó tras su derrota en la Primera Guerra Mundial. Según su compañero de clase Klepetař, al igual que muchos residentes del predominantemente alemán Sudetenländer, "Gödel siempre se consideró a sí mismo austriaco y exiliado en Checoslovaquia". En febrero de 1929, se le concedió la liberación de su ciudadanía checoslovaca y luego, en abril, se le concedió la ciudadanía austriaca. Cuando Alemania anexó Austria en 1938, Gödel se convirtió automáticamente en ciudadano alemán a los 32 años. En 1948, después de la Segunda Guerra Mundial, a los 42 años, se convirtió en ciudadano estadounidense.

En su familia, el joven Gödel fue apodado Herr Warum ("Sr. Por qué&# 34;) por su insaciable curiosidad. Según su hermano Rudolf, a la edad de seis o siete años, Kurt sufrió de fiebre reumática; se recuperó por completo, pero por el resto de su vida permaneció convencido de que su corazón había sufrido un daño permanente. A partir de los cuatro años, Gödel sufrió "frecuentes episodios de mala salud", que continuarían durante toda su vida.

Gödel asistió a la Evangelische Volksschule, una escuela luterana en Brünn de 1912 a 1916, y se inscribió en el Deutsches Staats-Realgymnasium de 1916 a 1924, sobresaliendo con honores en todas sus materias, particularmente en matemáticas, idiomas y religión Aunque Gödel primero se destacó en idiomas, luego se interesó más en la historia y las matemáticas. Su interés por las matemáticas aumentó cuando en 1920 su hermano mayor Rudolf (nacido en 1902) se fue a Viena, donde asistió a la facultad de medicina de la Universidad de Viena. Durante su adolescencia, Gödel estudió taquigrafía de Gabelsberger, la Teoría de los colores de Goethe y las críticas a Isaac Newton, y los escritos de Immanuel Kant.

Estudiar en Viena

A la edad de 18 años, Gödel se unió a su hermano en la Universidad de Viena. En ese momento, ya dominaba las matemáticas a nivel universitario. Aunque inicialmente tenía la intención de estudiar física teórica, también asistió a cursos de matemáticas y filosofía. Durante este tiempo, adoptó ideas de realismo matemático. Leyó la Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft de Kant y participó en el Círculo de Viena con Moritz Schlick, Hans Hahn y Rudolf Carnap. Gödel luego estudió teoría de números, pero cuando participó en un seminario dirigido por Moritz Schlick que estudió el libro Introducción a la filosofía matemática de Bertrand Russell, se interesó en la lógica matemática. Según Gödel, la lógica matemática era "una ciencia anterior a todas las demás, que contiene las ideas y los principios que subyacen a todas las ciencias".

Asistir a una conferencia de David Hilbert en Bolonia sobre la integridad y la consistencia en los sistemas matemáticos puede haber marcado el curso de la vida de Gödel. En 1928, Hilbert y Wilhelm Ackermann publicaron Grundzüge der theoretischen Logik (Principios de lógica matemática), una introducción a la lógica de primer orden en la que se planteó el problema de la completitud: "¿Son suficientes los axiomas de un sistema formal para derivar todos los enunciados que son verdaderos en todos los modelos del sistema?"

Este problema se convirtió en el tema que Gödel eligió para su trabajo doctoral. En 1929, a la edad de 23 años, completó su tesis doctoral bajo la supervisión de Hans Hahn. En él, estableció su teorema de completitud homónimo con respecto al cálculo de predicados de primer orden. Obtuvo su doctorado en 1930 y su tesis (acompañada de algunos trabajos adicionales) fue publicada por la Academia de Ciencias de Viena.

Carrera

Teoremas de incompletitud

El logro de Kurt Gödel en la lógica moderna es singular y monumental, ya que es más que un monumento, es un hito que seguirá siendo visible lejos en el espacio y el tiempo.... El tema de la lógica ciertamente ha cambiado completamente su naturaleza y posibilidades con el logro de Gödel.

—John von Neumann

En 1930, Gödel asistió a la Segunda Conferencia sobre Epistemología de las Ciencias Exactas, celebrada en Königsberg, del 5 al 7 de septiembre. Aquí entregó sus teoremas de incompletitud.

Gödel publicó sus teoremas de incompletitud en Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (llamado en inglés "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados"). En ese artículo, demostró para cualquier sistema axiomático computable que sea lo suficientemente potente como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo, los axiomas de Peano o la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección), que:

1. Si un sistema (lógico o axiomático formal) es consistente con omega, no puede ser sintácticamente completo.
2. La consistencia de los axiomas no puede probarse dentro de su propio sistema.

Estos teoremas terminaron con medio siglo de intentos, comenzando con el trabajo de Gottlob Frege y culminando en Principia Mathematica y el Programa de Hilbert, para encontrar una axiomatización no relativamente consistente suficiente para la teoría de números (que serviría como base para otros campos de las matemáticas).

En retrospectiva, la idea básica en el corazón del teorema de incompletitud es bastante simple. Gödel esencialmente construyó una fórmula que afirma que no es demostrable en un sistema formal dado. Si fuera demostrable, sería falso. Por lo tanto, siempre habrá al menos una declaración verdadera pero no demostrable. Es decir, para cualquier conjunto computablemente enumerable de axiomas para la aritmética (es decir, un conjunto que en principio puede ser impreso por una computadora idealizada con recursos ilimitados), hay una fórmula que es verdadera para la aritmética, pero que no es demostrable en ese sistema Sin embargo, para hacer esto preciso, Gödel necesitaba producir un método para codificar (como números naturales) declaraciones, pruebas y el concepto de demostrabilidad; lo hizo usando un proceso conocido como numeración de Gödel.

En su artículo de dos páginas Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932), Gödel refutó el valor finito de la teoría intuicionista. lógica. En la prueba, utilizó implícitamente lo que más tarde se conoció como lógica intermedia de Gödel-Dummett (o lógica difusa de Gödel).

Mediados de la década de 1930: trabajo adicional y visitas a EE. UU.

Gödel obtuvo su habilitación en Viena en 1932 y en 1933 se convirtió en Privatdozent (profesor no remunerado) allí. En 1933, Adolf Hitler llegó al poder en Alemania y, durante los años siguientes, los nazis aumentaron su influencia en Austria y entre los matemáticos de Viena. En junio de 1936, Moritz Schlick, cuyo seminario había despertado el interés de Gödel por la lógica, fue asesinado por uno de sus antiguos alumnos, Johann Nelböck. Esto desencadenó "una severa crisis nerviosa" en Godel. Desarrolló síntomas paranoides, incluido el miedo a ser envenenado, y pasó varios meses en un sanatorio para enfermedades nerviosas.

En 1933, Gödel viajó por primera vez a los EE. UU., donde conoció a Albert Einstein, de quien se convirtió en un buen amigo. Pronunció un discurso en la reunión anual de la American Mathematical Society. Durante este año, Gödel también desarrolló las ideas de computabilidad y funciones recursivas hasta el punto en que pudo presentar una conferencia sobre funciones recursivas generales y el concepto de verdad. Este trabajo se desarrolló en teoría de números, utilizando la numeración de Gödel.

En 1934, Gödel dio una serie de conferencias en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS) en Princeton, Nueva Jersey, tituladas Sobre proposiciones indecidibles de sistemas matemáticos formales. Stephen Kleene, que acababa de completar su doctorado en Princeton, tomó notas de estas conferencias que se publicaron posteriormente.

Gödel volvió a visitar el IAS en el otoño de 1935. Los viajes y el trabajo duro lo habían agotado y al año siguiente se tomó un descanso para recuperarse de un episodio depresivo. Regresó a la docencia en 1937. Durante este tiempo, trabajó en la prueba de consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo; pasó a mostrar que estas hipótesis no se pueden refutar del sistema común de axiomas de la teoría de conjuntos.

Se casó con Adele Nimbursky [es; ast] (de soltera Porkert, 1899–1981), a quien conocía desde hacía más de 10 años, el 20 de septiembre de 1938. Los padres de Gödel se habían opuesto a su relación porque ella era una bailarina divorciada, seis años mayor. de lo que era.

Posteriormente, se fue para otra visita a los Estados Unidos, pasando el otoño de 1938 en la IAS y publicando Consistencia del axioma de elección y de la hipótesis continua generalizada con los axiomas de la teoría de conjuntos, un clásico de las matemáticas modernas. En ese trabajo introdujo el universo construible, un modelo de teoría de conjuntos en el que los únicos conjuntos que existen son aquellos que pueden construirse a partir de conjuntos más simples. Gödel demostró que tanto el axioma de elección (AC) como la hipótesis generalizada del continuo (GCH) son verdaderas en el universo construible y, por lo tanto, deben ser consistentes con los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (ZF). Este resultado ha tenido consecuencias considerables para los matemáticos en activo, ya que significa que pueden asumir el axioma de elección al demostrar el teorema de Hahn-Banach. Paul Cohen luego construyó un modelo de ZF en el que AC y GCH son falsos; juntas, estas pruebas significan que AC y GCH son independientes de los axiomas ZF para la teoría de conjuntos.

Gödel pasó la primavera de 1939 en la Universidad de Notre Dame.

Princeton, Einstein, ciudadanía estadounidense

Después del Anschluss del 12 de marzo de 1938, Austria pasó a formar parte de la Alemania nazi. Alemania abolió el título Privatdozent, por lo que Gödel tuvo que solicitar un puesto diferente bajo el nuevo orden. Su antigua asociación con miembros judíos del Círculo de Viena, especialmente con Hahn, pesó en su contra. La Universidad de Viena rechazó su solicitud.

Su situación se intensificó cuando el ejército alemán lo consideró apto para el servicio militar obligatorio. La Segunda Guerra Mundial comenzó en septiembre de 1939. Antes de que terminara el año, Gödel y su esposa se fueron de Viena a Princeton. Para evitar la dificultad de cruzar el Atlántico, los Gödel tomaron el Ferrocarril Transiberiano hacia el Pacífico, navegaron desde Japón hasta San Francisco (al que llegaron el 4 de marzo de 1940) y luego cruzaron los EE. UU. en tren hasta Princeton. Allí, Gödel aceptó un puesto en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS), que había visitado previamente durante 1933-1934.

Albert Einstein también vivía en Princeton durante este tiempo. Gödel y Einstein desarrollaron una fuerte amistad y eran conocidos por dar largos paseos juntos hacia y desde el Instituto de Estudios Avanzados. La naturaleza de sus conversaciones era un misterio para los otros miembros del Instituto. El economista Oskar Morgenstern cuenta que hacia el final de su vida, Einstein confió que su "propio trabajo ya no significaba mucho, que vino al Instituto simplemente... para tener el privilegio de caminar a casa con Gödel".

Gödel y su esposa, Adele, pasaron el verano de 1942 en Blue Hill, Maine, en el Blue Hill Inn en lo alto de la bahía. Gödel no solo estaba de vacaciones, sino que tuvo un verano de trabajo muy productivo. Usando Heft 15 [volumen 15] de los Arbeitshefte [cuadernos de trabajo], John W. Dawson Jr. conjetura que Gödel descubrió una prueba para la independencia del axioma de elección de la teoría de tipos finitos, una forma debilitada de la teoría de conjuntos, mientras que en Blue Hill en 1942. El amigo cercano de Gödel, Hao Wang, apoya esta conjetura, señalando que los cuadernos de Gödel en Blue Hill contienen su tratamiento más extenso del problema.

El 5 de diciembre de 1947, Einstein y Morgenstern acompañaron a Gödel a su examen de ciudadanía estadounidense, donde actuaron como testigos. Gödel les había confiado que había descubierto una inconsistencia en la Constitución de los Estados Unidos que podría permitir que los Estados Unidos se convirtieran en una dictadura; desde entonces, esto se ha denominado la escapatoria de Gödel. A Einstein y Morgenstern les preocupaba que el comportamiento impredecible de su amigo pudiera poner en peligro su aplicación. El juez resultó ser Phillip Forman, que conocía a Einstein y había prestado juramento en la audiencia de ciudadanía de Einstein. Todo transcurrió sin problemas hasta que Forman le preguntó a Gödel si pensaba que una dictadura como el régimen nazi podría ocurrir en los EE. UU. Gödel luego comenzó a explicar su descubrimiento a Forman. Forman entendió lo que estaba pasando, interrumpió a Gödel y pasó la audiencia a otras preguntas y una conclusión de rutina.

Gödel se convirtió en miembro permanente del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1946. Por esta época dejó de publicar, aunque siguió trabajando. Se convirtió en profesor titular del Instituto en 1953 y profesor emérito en 1976.

Durante su tiempo en el instituto, los intereses de Gödel giraron hacia la filosofía y la física. En 1949, demostró la existencia de soluciones que involucran curvas temporales cerradas, a las ecuaciones de campo de Einstein en relatividad general. Se dice que le dio esta elaboración a Einstein como regalo por su 70 cumpleaños. Sus "universos giratorios" permitiría viajar en el tiempo al pasado y provocaría que Einstein tuviera dudas sobre su propia teoría. Sus soluciones se conocen como la métrica de Gödel (una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein).

Estudió y admiró las obras de Gottfried Leibniz, pero llegó a creer que una conspiración hostil había provocado la supresión de algunas de las obras de Leibniz. En menor medida estudió a Immanuel Kant y Edmund Husserl. A principios de la década de 1970, Gödel hizo circular entre sus amigos una elaboración de la versión de Leibniz de la prueba ontológica de la existencia de Dios de Anselmo de Canterbury. Esto ahora se conoce como prueba ontológica de Gödel.

Premios y distinciones

Gödel recibió (con Julian Schwinger) el primer premio Albert Einstein en 1951, y también recibió la Medalla Nacional de la Ciencia en 1974. Gödel fue elegido miembro residente de la Sociedad Filosófica Estadounidense en 1961 y miembro extranjero de la Royal Society (ForMemRS) en 1968. Fue orador plenario de la ICM en 1950 en Cambridge, Massachusetts. El Premio Gödel, un premio anual para trabajos destacados en el área de la informática teórica, lleva su nombre.

Piedra de Kurt y Adele Gödel en el Princeton, N.J., cementerio

Vida posterior y muerte

Más adelante en su vida, Gödel sufrió períodos de inestabilidad mental y enfermedad. Tras el asesinato de su amigo cercano Moritz Schlick, Gödel desarrolló un miedo obsesivo a ser envenenado y solo comía alimentos preparados por su esposa Adele. Adele fue hospitalizada a partir de fines de 1977 y, en su ausencia, Gödel se negó a comer; pesaba 29 kilogramos (65 lb) cuando murió de "desnutrición e inanición causadas por trastornos de la personalidad" en el Hospital de Princeton el 14 de enero de 1978. Fue enterrado en el cementerio de Princeton. Adela murió en 1981.

Puntos de vista religiosos

Gödel creía que Dios era personal y llamó a su filosofía "racionalista, idealista, optimista y teológica".

Gödel creía en una vida después de la muerte y decía: "Por supuesto, esto supone que hay muchas relaciones de las que la ciencia actual y la sabiduría recibida no tienen ni idea". Pero estoy convencido de esto [el más allá], independientemente de cualquier teología." Es "hoy posible percibir, por puro razonamiento" que "es totalmente consistente con los hechos conocidos". "Si el mundo se construye racionalmente y tiene significado, entonces debe existir tal cosa [como una vida después de la muerte]"

En una respuesta no enviada por correo a un cuestionario, Gödel describió su religión como "luterano bautizado (pero no miembro de ninguna congregación religiosa). Mi creencia es teísta, no panteísta, siguiendo a Leibniz en lugar de a Spinoza." De la(s) religión(es) en general, dijo: "Las religiones son, en su mayor parte, malas, pero la religión no lo es". Según su esposa Adele, "Gödel, aunque no iba a la iglesia, era religioso y leía la Biblia en la cama todos los domingos por la mañana", mientras que del Islam, dijo: "Me gusta el Islam: es una idea consistente [o consecuente] de la religión y de mente abierta."

Legado

Douglas Hofstadter escribió el libro de 1979 Gödel, Escher, Bach para celebrar el trabajo y las ideas de Gödel, M. C. Escher y Johann Sebastian Bach. Explora en parte las ramificaciones del hecho de que el teorema de incompletitud de Gödel se puede aplicar a cualquier sistema computacional completo de Turing, que puede incluir el cerebro humano.

La Sociedad Kurt Gödel, fundada en 1987, fue nombrada en su honor. Es una organización internacional para la promoción de la investigación en lógica, filosofía e historia de las matemáticas. La Universidad de Viena alberga el Centro de Investigación de Lógica Matemática Kurt Gödel. La Asociación para la Lógica Simbólica ha invitado a un disertante anual de Kurt Gödel cada año desde 1990. Los Cuadernos Filosóficos de Gödel se editan en el Centro de Investigación Kurt Gödel, ubicado en la Academia de Ciencias y Humanidades de Berlín-Brandenburgo en Alemania.

Lou Jacobi interpreta a Gödel en la película de 1994 I.Q.

Se han publicado cinco volúmenes de las obras completas de Gödel. Los dos primeros incluyen sus publicaciones; el tercero incluye manuscritos inéditos de su Nachlass, y los dos últimos incluyen correspondencia.

En 2005, John Dawson publicó una biografía de Gödel, Dilemas lógicos: la vida y obra de Kurt Gödel (A. K. Peters, Wellesley, MA, ISBN 1-56881-256-6). El libro de Stephen Budiansky sobre la vida de Gödel, Journey to the Edge of Reason: The Life of Kurt Gödel (W. W. Norton & Company, New York City, NY, ISBN 978- 0-393-35820-9), fue miembro de The New York Times Critics' Mejor libro de 2021.

Gödel también fue uno de los cuatro matemáticos examinados en el documental Dangerous Knowledge de la BBC de 2008 de David Malone.