Kuramoto model

Kc=2/π π g()0){displaystyle K_{c}=2/pi g(0)}

r=0{displaystyle r=0}

K=Kc()1+μ μ ){displaystyle K=K_{c}(1+mu)}

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">μ μ ■0{displaystylemu }0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67319256f71b2ecddcb2a1f2a58bef0494135e62" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.663ex; height:2.676ex;"/>

r. . 16π π Kc3μ μ − − g. . . . ()0){fnMicroc {fnMicroc}{f} {fnMicroc}{f}}} {f}}} {fnMicroc} {fn}} {fnK}}} {fnK}} {fn}}} {sqrt {fn}} {fn}}}} {fn}}}}}} {fnsqrt {fnK}}}}} {fn}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {m} {m}} {sqsqsqsqsqsqsqmmsqsqsqsqsqsqsqsqsqm} {sqm} {sqmsqmmmmmmmmmmfnmmm {mmmmmmmmmmmmm } {-g^{primeprime}}}}}

Pequeños casos N

Cuando N es pequeño, las soluciones dadas anteriormente se descomponen, ya que no podemos usar la aproximación continua.

El caso N=2 es trivial. En el marco giratorio, tenemos ⋅ ⋅ 1=− − ⋅ ⋅ 2{displaystyle omega _{1}=-omega ¿Qué?, y por lo tanto el sistema se describe exactamente por el ángulo entre los dos osciladores: Δ Δ Silencio Silencio =Silencio Silencio 1− − Silencio Silencio 2{displaystyle Delta theta = 'theta ¿Qué? ¿Qué?. Cuando <math alttext="{displaystyle KKc)Kc=2Silencio⋅ ⋅ 1Silencio{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{1}<img alt="{displaystyle K, los ciclos de ángulo alrededor del círculo (es decir, el oscilador rápido sigue latiendo alrededor del oscilador lento). Cuando K_{c}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">K■Kc{displaystyle ¿Qué?K_{c}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9501841075f52d8cc1816d30bf8e4bac4d5b920f" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.082ex; height:2.509ex;"/>, el ángulo cae en un atraccióndor estable (es decir, los dos osciladores se bloquean en fase). Del mismo modo, el espacio estatal del caso N=3 es un toro 2dimensional, por lo que el sistema evoluciona como un flujo en el 2-torus, que no puede ser caótico.

El caos ocurre primero cuando N=4. Para algunos ajustes de ⋅ ⋅ 1,⋅ ⋅ 2,⋅ ⋅ 3,K{displaystyle omega _{1},omega _{2},omega _{3},K}El sistema tiene un extraño atractivo.

Conexión a sistemas hamiltonianos

El modelo disipativo de Kuramoto está contenido en ciertos sistemas hamiltonianos conservadores con hamiltonianos de la forma

H()q1,... ... ,qN,p1,... ... ,pN)=. . i=1N⋅ ⋅ i2()qi2+pi2)+K4N. . i,j=1N()qipj− − qjpi)()qj2+pj2− − qi2− − pi2){displaystyle {mathcal {H}(q_{1},ldotsq_{N},p_{1},ldotsp_{N})=sum {fnMiega} ¿Qué? {K}{4N}sum _{i,j=1}{N}(q_{i}p_{j}-q_{i})(q_{j}{2}+p_{j}{2} {2}-q_}-q_{i}}-p_{i} {i} {i}{i}}{2} }

Después de una transformación canónica a variables de ángulo de acción con acciones Ii=()qi2+pi2)/2{displaystyle I_{i}=left(q_{i}{2}+p_{i}{2}right)/2} y ángulos (fases) φ φ i=arctan()qi/pi){displaystyle phi _{i}=mathrm {arctan} left(q_{i}/p_{i}right)}, la dinámica exacta de Kuramoto emerge en los múltiples invariantes de constante Ii↑ ↑ I{displaystyle I_{i}equiv I}. Con el Hamiltonian transformado

H.()I1,... ... IN,φ φ 1... ... ,φ φ N)=. . i=1N⋅ ⋅ iIi− − KN. . i=1N. . j=1NIjIi()Ij− − Ii)pecado⁡ ⁡ ()φ φ j− − φ φ i),{fnMicrosoft Sans Serif}(I_{1},ldots I_{N},phi ¿Por qué? ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? {K}{N}sum ##{i=1} {N}sum ¿Qué? {I_{j}I_{i}} {I_{j}-I_{i}sin(phi _{j}-phi _{i}),}

La ecuación de movimiento de Hamilton se convierte en

dIidt=− − ∂ ∂ H.∂ ∂ φ φ i=− − 2KN. . k=1NIkIi()Ik− − Ii)#⁡ ⁡ ()φ φ k− − φ φ i){displaystyle {frac {}{dt}=-{frac} {fnMitcal} {H}}{partial phi ¿Qué? {2K}{N}sum} ¿Qué? {I_{k}I_{i}} {I_{i})cos(phi _{k}-phi _{i}})}

y

dφ φ idt=∂ ∂ H.∂ ∂ Ii=⋅ ⋅ i+KN. . k=1N[2IiIkpecado⁡ ⁡ ()φ φ k− − φ φ i)+Ik/Ii()Ik− − Ii)pecado⁡ ⁡ ()φ φ k− − φ φ i)].{displaystyle {frac {fnMicroc}dphi ¿Qué? {fnMitcal} {H} {fn} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {f}} {fnMicrosoft}}}} {fn}}}} {fnMicrosoft}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}} { I_{i}=omega ¿Por qué? {K}{N}sum ¿Qué? {I_{i}I_{k}}sin(phi _{k}-phi Bien. {I_{k}/I_{i}} {I_{k}-I_{i}sin(phi _{k}-phi _{i})right].}

Así que el doble con Ij=I{displaystyle I_{j}=I} es invariable porque dIidt=0{displaystyle {frac {} {} {}}=0} y la dinámica de fases dφ φ idt{displaystyle {frac {fnMicroc}dphi ¿Qué? se convierte en la dinámica del modelo Kuramoto (con las mismas constantes de acoplamiento para I=1/2{displaystyle I=1/2). La clase de sistemas Hamiltonianos caracteriza ciertos sistemas cuánticos, incluyendo condensados Bose-Einstein.

Variaciones de los modelos

Hay varios tipos de variaciones que se pueden aplicar al modelo original presentado anteriormente. Algunos modelos cambian a la estructura topológica, otros permiten pesas heterogéneas, y otros cambios están más relacionados con modelos inspirados en el modelo Kuramoto pero no tienen la misma forma funcional.

Variaciones de la topología de la red

Además del modelo original, que tiene una topología de todo-todos, una topología similar a una red suficientemente densa y compleja se presta al tratamiento de campo medio utilizado en la solución del modelo original (consulte Transformación y límite de N grande arriba). para más información). Las topologías de red, como anillos y poblaciones acopladas, admiten estados de quimera. También se puede preguntar por el comportamiento de modelos en los que existen topologías intrínsecamente locales, como unidimensionales, de las que la cadena y el anillo son ejemplos prototípicos. En tales topologías, en las que el acoplamiento no es escalable según 1/N, no es posible aplicar el enfoque canónico de campo medio, por lo que se debe confiar en el análisis caso por caso, haciendo uso de simetrías siempre que sea posible, lo que puede dar base para la abstracción de principios generales de soluciones.

Sincronía uniforme, olas y espirales se pueden observar fácilmente en redes bidimensionales de Kuramoto con acoplamiento local difusivo. La estabilidad de las ondas en estos modelos se puede determinar analíticamente utilizando los métodos de análisis de estabilidad de Turing. La sincronización uniforme tiende a ser estable cuando el acoplamiento local es en todas partes positivo, mientras que las ondas surgen cuando las conexiones de largo alcance son negativas (acoplamiento inhibitorio envolvente). Las olas y la sincronización están conectadas por una rama topológicamente distinta de soluciones conocidas como onduladas. Estas son desviaciones espacialmente experimentales de baja amplitud que emergen del estado uniforme (o del estado de onda) a través de una bifurcación Hopf. La existencia de soluciones onduladas fue predicha (pero no observada) por Wiley, Strogatz y Girvan, quienes los llamaban estados q multi-twisted.

La topología en la que se estudia el modelo de Kuramoto puede hacerse adaptativa mediante el uso de un modelo de aptitud que muestre una mejora de la sincronización y la percolación de una manera autoorganizada.

Un gráfico con mínimo grado al menos dmin≥ ≥ 0.5 n{displaystyle D_{min}geq 0,5. se conectará sin embargo para un gráfico para sincronizar un poco más se requiere para tal caso se sabe que hay umbral de conectividad crítica μ μ c{displaystyle mu _{c} tal que cualquier gráfico en n{displaystyle n} nodos con grado mínimo dmin≥ ≥ μ μ c()n− − 1){displaystyle d_{min}geq mu _{c}(n-1)} debe sincronizarse globalmente. para n{displaystyle n} lo suficientemente grande. Se sabe que el máximo mínimo está entre 0.6875≤ ≤ μ μ c≤ ≤ 0,75{displaystyle 0.6875leq mu _{c}leq 0.75}.

Del mismo modo se sabe que los gráficos Erdős-Rényi con probabilidad de borde precisamente p=()1+ε ε )In⁡ ⁡ ()n)/n{displaystyle p=(1+epsilon)ln(n)/n} como n{displaystyle n} va a la infinidad se conectará y se ha conjeturado que este valor es demasiado el número en el que estos gráficos aleatorios experimentan la sincronización que un 2022 preimpresión afirma haber demostrado.

Variaciones de topología de red y pesos de red: desde la coordinación del vehículo hasta la sincronización del cerebro

Algunos trabajos en la comunidad de control se han centrado en el modelo de Kuramoto en redes y con pesos heterogéneos (es decir, la fuerza de interconexión entre dos osciladores cualesquiera puede ser arbitraria). La dinámica de este modelo es la siguiente:

dSilencio Silencio idt=⋅ ⋅ i+. . j=1Naijpecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio j− − Silencio Silencio i),i=1... ... N{displaystyle {frac {dtheta #### {}{i} {dt}=omega _{i}+sum _{j=1} {N}a_{ij}sin(theta) ## {j}-theta _{i}),qquad i=1ldots N.

Donde aij{displaystyle a_{ij} es un número real no cero positivo si oscilador j{displaystyle j} está conectado al oscilador i{displaystyle i}. Este modelo permite un estudio más realista de, por ejemplo, el rebaño, la escolarización y la coordinación del vehículo. En el trabajo de Dörfler y colegas, varios teoremas proporcionan condiciones rigurosas para la sincronización de fase y frecuencia de este modelo. Otros estudios, motivados por observaciones experimentales en neurociencia, se centran en la obtención de condiciones analíticas para la sincronización de grupos de osciladores heterogéneos de Kuramoto en topologías de red arbitrarias. Dado que el modelo Kuramoto parece desempeñar un papel clave en la evaluación de los fenómenos de sincronización en el cerebro, las condiciones teóricas que apoyan los hallazgos empíricos pueden allanar el camino para una comprensión más profunda de los fenómenos de sincronización neuronal.

Variaciones de la función de interacción de fases

Kuramoto aproximó la interacción de fase entre dos osciladores por su primer componente Fourier, a saber: . . ()φ φ )=pecado⁡ ⁡ ()φ φ ){displaystyle Gamma (phi)=sin(phi)}, donde φ φ =Silencio Silencio j− − Silencio Silencio i{displaystyle phi =theta _{j}-theta ¿Qué?. Mejores aproximaciones se pueden obtener incluyendo componentes más altos de Fourier,

. . ()φ φ )=pecado⁡ ⁡ ()φ φ )+a1pecado⁡ ⁡ ()2φ φ +b1)+...+anpecado⁡ ⁡ ()2nφ φ +bn){displaystyle Gamma (phi)=sin(phi)+a_{1}sin(2phi) +b_{1}+a_{n}sin(2nphi +b_{n}},

dónde parámetros ai{displaystyle A_{i} y bi{displaystyle B_{i} debe ser estimado. Por ejemplo, se puede reproducir la sincronización entre una red de neuronas Hodgkin-Huxley débiles que conservan los primeros cuatro componentes Fourier de la función de interacción. La introducción de términos de interacción de fases de orden superior también puede inducir fenómenos dinámicos interesantes, como estados parcialmente sincronizados, ciclos heteroclinicos y dinámicas caóticas.

Disponibilidad

• La biblioteca incluye una aplicación Python y C++ del modelo Kuramoto y sus modificaciones. También la biblioteca consta de redes oscilatorias (para el análisis de racimo, reconocimiento de patrones, coloración de gráficos, segmentación de imágenes) que se basan en el modelo Kuramoto y oscilador de fase.