Klein de cuatro grupos

En matemáticas, el grupo de cuatro de Klein es un grupo de cuatro elementos, en el que cada elemento es autoinverso (componerlo consigo mismo produce la identidad) y en el que la composición de dos cualesquiera de los tres elementos no identitarios produce el tercero. Se puede describir como el grupo de simetría de un rectángulo no cuadrado (los tres elementos que no son de identidad son la reflexión horizontal y vertical y la rotación de 180 grados), como el grupo de operaciones bit a bit exclusivas o en valores binarios de dos bits, o de manera más abstracta como Z₂ × Z₂, el producto directo de dos copias del grupo cíclico de orden 2. Fue nombrado Vierergruppe (que significa cuatro grupos) por Felix Klein en 1884. También se le llama el grupo de Klein y, a menudo, se simboliza con la letra V o como K₄.

El grupo de cuatro de Klein, con cuatro elementos, es el grupo más pequeño que no es un grupo cíclico. Sólo existe otro grupo de orden cuatro, salvo isomorfismo, el grupo cíclico de orden 4. Ambos son grupos abelianos. El grupo no abeliano más pequeño es el grupo simétrico de grado 3, que tiene orden 6.

Presentaciones

La tabla Cayley del grupo Klein viene dada por:

El grupo de cuatro de Klein también se define por la presentación del grupo

${displaystyle mathrm {V} =leftlangle a,bmid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=erightrangle.}$

Todos los elementos que no son de identidad del grupo de Klein tienen orden 2, por lo que dos elementos que no son de identidad pueden servir como generadores en la presentación anterior. El grupo de cuatro de Klein es el grupo no cíclico más pequeño. Sin embargo, es un grupo abeliano e isomorfo al grupo diédrico de orden (cardinalidad) 4, es decir, D₄ (o D₂, usando la convención geométrica); aparte del grupo de orden 2, es el único grupo diédrico que es abeliano.

El grupo Klein es también isomorfo a la suma directa Z₂ ⊕ Z₂, para que pueda ser representado como los pares {0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} en el modulo de adición de componentes 2 (o equivalentemente las cadenas de bits {00, 01, 10, 11} bajo bitwise XOR); con (0,0) siendo el elemento de identidad del grupo. El cuatro grupos Klein es, por tanto, un ejemplo de un 2-grupo abeliano elemental, que también se llama grupo booleano. El grupo Klein es así también el grupo generado por la diferencia simétrica como la operación binaria en los subconjuntos de un conjunto con dos elementos, es decir, sobre un campo de conjuntos con cuatro elementos, por ejemplo. ${displaystyle {emptyset{alpha},{beta},{alphabeta {}}$; el conjunto vacío es el elemento de identidad del grupo en este caso.

Otra construcción numérica del grupo de cuatro de Klein es el conjunto { 1, 3, 5, 7 }, siendo la operación la multiplicación módulo 8. Aquí a es 3, b es 5 y c = ab es < span class="nowrap">3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8).

El grupo de cuatro de Klein tiene una representación como matrices reales de 2×2 con la operación de multiplicación de matrices:

${displaystyle e={begin{pmatrix}1 tendría0$