Karl Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (alemán: Weierstraß [ˈvaɪɐʃtʁaːs]; 31 de octubre de 1815 - 19 de febrero de 1897) fue un matemático alemán a menudo citado como el "padre del análisis moderno" 34;. A pesar de dejar la universidad sin un título, estudió matemáticas y se formó como maestro de escuela, eventualmente enseñando matemáticas, física, botánica y gimnasia. Más tarde recibió un doctorado honoris causa y se convirtió en profesor de matemáticas en Berlín.

Entre muchas otras contribuciones, Weierstrass formalizó la definición de la continuidad de una función, demostró el teorema del valor intermedio y el teorema de Bolzano-Weierstrass, y usó este último para estudiar las propiedades de funciones continuas en intervalos acotados cerrados.

Biografía

Weierstrass nació en el seno de una familia católica romana en Ostenfelde, un pueblo cerca de Ennigerloh, en la provincia de Westfalia.

Weierstrass era hijo de Wilhelm Weierstrass, un funcionario del gobierno, y de Theodora Vonderforst, ambos católicos renanos. Su interés por las matemáticas comenzó cuando era estudiante de gimnasia en el Theodorianum de Paderborn. Fue enviado a la Universidad de Bonn después de graduarse para prepararse para un puesto en el gobierno. Debido a que sus estudios iban a ser en los campos del derecho, la economía y las finanzas, inmediatamente entró en conflicto con sus esperanzas de estudiar matemáticas. Resolvió el conflicto prestando poca atención a su curso de estudio planificado pero continuando sus estudios privados de matemáticas. El resultado fue que dejó la universidad sin un título. Luego estudió matemáticas en la Academia de Münster (que ya entonces era famosa por las matemáticas) y su padre pudo obtener un lugar para él en una escuela de formación de profesores en Münster. Posteriormente se certificó como maestro en esa ciudad. Durante este período de estudio, Weierstrass asistió a las conferencias de Christoph Gudermann y se interesó por las funciones elípticas.

En 1843 enseñó en Deutsch Krone en Prusia Occidental y desde 1848 enseñó en el Lyceum Hosianum en Braunsberg. Además de matemáticas, también enseñó física, botánica y gimnasia.

Es posible que Weierstrass haya tenido un hijo ilegítimo llamado Franz con la viuda de su amigo Carl Wilhelm Borchardt.

Después de 1850, Weierstrass sufrió un largo período de enfermedad, pero pudo publicar artículos matemáticos que le dieron fama y distinción. La Universidad de Königsberg le otorgó el título de doctor honoris causa el 31 de marzo de 1854. En 1856 ocupó una cátedra en el Gewerbeinstitut de Berlín (un instituto para educar a trabajadores técnicos que luego se fusionaría con la Bauakademie para formar la Universidad Técnica de Berlín). En 1864 se convirtió en profesor en la Friedrich-Wilhelms-Universität Berlin, que más tarde se convertiría en la Humboldt Universität zu Berlin.

En 1870, a la edad de cincuenta y cinco años, Weierstrass conoció a Sofia Kovalevsky, a quien dio clases privadas después de no poder asegurar su admisión a la Universidad. Tuvieron una relación intelectual fructífera, pero personal problemática, que "trascendió con creces la relación habitual entre maestro y alumno". Se dijo que la mala interpretación de esta relación y la temprana muerte de Kovalevsky en 1891 contribuyeron a que Weierstrass' posterior mala salud. Estuvo inmóvil durante los últimos tres años de su vida y murió en Berlín de neumonía.

Contribuciones matemáticas

Solidez del cálculo

Weierstrass estaba interesado en la solidez del cálculo y, en ese momento, había definiciones un tanto ambiguas de los fundamentos del cálculo, de modo que los teoremas importantes no podían probarse con suficiente rigor. Aunque Bolzano había desarrollado una definición razonablemente rigurosa de un límite ya en 1817 (y posiblemente incluso antes), su trabajo permaneció desconocido para la mayoría de la comunidad matemática hasta años después. y muchos matemáticos sólo tenían definiciones vagas de límites y continuidad de funciones.

La idea básica detrás de las pruebas Delta-épsilon se encuentra, posiblemente, por primera vez en los trabajos de Cauchy en la década de 1820. Cauchy no distinguió claramente entre continuidad y continuidad uniforme en un intervalo. En particular, en su Cours d'analyse de 1821, Cauchy argumentó que el límite (puntual) de las funciones continuas (puntuales) era en sí mismo continuo (puntual), una afirmación que es falsa en general. La afirmación correcta es más bien que el límite uniforme de las funciones continuas es continuo (también, el límite uniforme de las funciones uniformemente continuas es uniformemente continuo). Esto requería el concepto de convergencia uniforme, que fue observado por primera vez por el asesor de Weierstrass, Christoph Gudermann, en un artículo de 1838, donde Gudermann señaló el fenómeno pero no lo definió ni elaboró sobre él. Weierstrass vio la importancia del concepto, lo formalizó y lo aplicó ampliamente en los fundamentos del cálculo.

La definición formal de continuidad de una función, formulada por Weierstrass, es la siguiente:

${displaystyle displaystyle f(x)}$ es continuo ${displaystyle displaystyle x=x_{0}$ si ${displaystyle displaystyle forall varepsilon √0exists delta }$ por cada uno ${displaystyle x}$ en el dominio de ${displaystyle f}$, ${displaystyle displaystyle Silenciox-x_{0} Rightarrow tenciónf(x)-f(x_{0}) correspondía varepsilon.}$ En inglés simple, ${displaystyle displaystyle f(x)}$ es continuo en un punto ${displaystyle displaystyle x=x_{0}$ si para cada ${displaystyle x}$ lo suficientemente cerca ${displaystyle x_{0}$, el valor de la función ${displaystyle f(x)}$ es muy cercano ${displaystyle f(x_{0}}$, donde la restricción "cerrar lo suficiente" normalmente depende de la cercanía deseada ${displaystyle f(x_{0}}$ a ${displaystyle f(x).}$Usando esta definición, demostró el Teorema de Valor Intermedio. También demostró el teorema Bolzano-Weierstrass y lo utilizó para estudiar las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados y atados.

Cálculo de variaciones

Weierstrass también hizo avances en el campo del cálculo de variaciones. Utilizando el aparato de análisis que ayudó a desarrollar, Weierstrass pudo dar una reformulación completa de la teoría que allanó el camino para el estudio moderno del cálculo de variaciones. Entre varios axiomas, Weierstrass estableció una condición necesaria para la existencia de extremos fuertes de problemas variacionales. También ayudó a diseñar la condición de Weierstrass-Erdmann, que da condiciones suficientes para que un extremo tenga una esquina a lo largo de un extremo dado y permite encontrar una curva de minimización para una integral dada.

Otros teoremas analíticos

• Stone-Weierstrass theorem
• Casorati – Teorema Weierstrass
• Función elíptica Weierstrass
• Función Weierstrass
• Weierstrass M-test
• Teorema de preparación de Weierstrass
• Lindemann – Teorema Weierstrass
• Teorema de factorización Weierstrass
• Weierstrass – Parametrización del medio ambiente

Estudiantes

• Edmund Husserl

Honores y premios

El cráter lunar Weierstrass y el asteroide 14100 Weierstrass llevan su nombre. Además, está el Instituto Weierstrass de Análisis Aplicado y Estocástico en Berlín.

Obras seleccionadas

• Zur Theorie der Abelschen Funktionen (1854)
• Theorie der Abelschen Funktionen (1856)
• Abhandlungen-1, Math. Werke. Bd. 1. Berlín, 1894
• Abhandlungen-2, Math. Werke. Bd. 2. Berlín, 1895
• Abhandlungen-3, Math. Werke. Bd. 3. Berlín, 1903
• Vorl. ueber die Theorie der Abelschen Transcendenten, Math. Werke. Bd. 4. Berlín, 1902
• Vorl. ueber Variationsrechnung, Math. Werke. Bd. 7. Leipzig, 1927