Juan Milnor

John Willard Milnor (nacido el 20 de febrero de 1931) es un matemático estadounidense conocido por su trabajo en topología diferencial, teoría K algebraica y sistemas dinámicos holomorfos de baja dimensión. Milnor es un profesor distinguido en la Universidad de Stony Brook y uno de los cinco matemáticos que han ganado la Medalla Fields, el Premio Wolf y el Premio Abel (los otros son Serre, Thompson, Deligne y Margulis).

Primeros años y carrera

Milnor nació el 20 de febrero de 1931 en Orange, Nueva Jersey. Su padre era J. Willard Milnor y su madre era Emily Cox Milnor. Como estudiante universitario en la Universidad de Princeton, fue nombrado Putnam Fellow en 1949 y 1950 y también demostró el teorema de Fáry-Milnor cuando tenía solo 19 años. Milnor se graduó con un A.B. en matemáticas en 1951 después de completar una tesis superior, titulada "Grupos de enlace", bajo la supervisión de Robert H. Fox. Permaneció en Princeton para realizar estudios de posgrado y recibió su Ph.D. en matemáticas en 1954 después de completar una tesis doctoral, titulada 'Isotopía de enlaces', también bajo la supervisión de Fox. Su disertación se centró en los grupos de enlaces (una generalización del grupo de nudos clásico) y su estructura de enlace asociada, clasificó los enlaces de Brunnian hasta la homotopía de enlaces e introdujo nuevas invariantes, llamadas invariantes de Milnor. Al completar su doctorado, pasó a trabajar en Princeton. Fue profesor en el Instituto de Estudios Avanzados de 1970 a 1990.

Fue editor de Annals of Mathematics durante varios años después de 1962. Ha escrito varios libros que son famosos por su claridad, presentación e inspiración para la investigación de muchos matemáticos en sus áreas incluso después de muchas décadas desde su publicación. Se desempeñó como vicepresidente de la AMS en el período 1976–77.

Entre sus alumnos se encuentran Tadatoshi Akiba, Jon Folkman, John Mather, Laurent C. Siebenmann, Michael Spivak y Jonathan Sondow. Su esposa, Dusa McDuff, es profesora de matemáticas en Barnard College y es conocida por su trabajo en topología simpléctica.

Investigación

Uno de los trabajos más conocidos de Milnor es su prueba en 1956 de la existencia de esferas de 7 dimensiones con estructura diferenciable no estándar, que marcó el comienzo de un nuevo campo: la topología diferencial. Él acuñó el término esfera exótica, refiriéndose a cualquier esfera n con una estructura diferencial no estándar. Kervaire y Milnor iniciaron el estudio sistemático de las esferas exóticas, mostrando en particular que la 7-esfera tiene 15 estructuras diferenciables distintas (28 si se considera la orientación).

Egbert Brieskorn encontró ecuaciones algebraicas simples para 28 hipersuperficies complejas en un espacio complejo de 5, de modo que su intersección con una pequeña esfera de dimensión 9 alrededor de un punto singular es diferente a estas esferas exóticas. Posteriormente, Milnor trabajó en la topología de puntos singulares aislados de hipersuperficies complejas en general, desarrollando la teoría de la fibración de Milnor cuya fibra tiene el tipo de homotopía de un ramo de μ esferas donde μ se conoce como número de Milnor. El libro de Milnor de 1968 sobre su teoría, Puntos singulares de hipersuperficies complejas, inspiró el crecimiento de un área de investigación enorme y rica que continúa madurando hasta el día de hoy.

En 1961, Milnor refutó la Hauptvermutung al ilustrar dos complejos simpliciales que son homeomorfos pero combinatoriamente distintos, utilizando el concepto de torsión de Reidemeister. Esto condujo a una ola de avances en topología por parte de Milnor y muchos otros matemáticos que cambiaron la percepción del campo para siempre.

En 1984, Milnor introdujo una definición de atractor. Los objetos generalizan atractores estándar, incluyen los llamados atractores inestables y ahora se conocen como atractores de Milnor.

El interés actual de Milnor es la dinámica, especialmente la dinámica holomorfa. Peter Makienko resume su trabajo en dinámica en su revisión de Métodos topológicos en las matemáticas modernas:

Es evidente ahora que la dinámica de baja dimensión, en gran medida iniciada por el trabajo de Milnor, es una parte fundamental de la teoría general de sistemas dinámicos. Milnor puso su ojo en la teoría de sistemas dinámicos a mediados de los 70. Para entonces se había completado el programa Smale en dinámicas. El enfoque de Milnor era empezar de nuevo desde el principio, mirando a las familias más simples de mapas no triviales. La primera elección, dinámica unidimensional, se convirtió en el tema de su trabajo conjunto con Thurston. Incluso el caso de un mapa unimodal, es decir, uno con un solo punto crítico, resulta ser extremadamente rico. Este trabajo puede compararse con el trabajo de Poincaré sobre los diffeomorfismos del círculo, que 100 años antes había inaugurado la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos. El trabajo de Milnor ha abierto varias direcciones nuevas en este campo, y nos ha dado muchos conceptos básicos, problemas desafiantes y teoremas agradables.

Sus otras contribuciones significativas incluyen microbundles, que influyen en el uso de álgebras de Hopf, teoría de formas cuadráticas y el área relacionada de formas bilineales simétricas, teoría K algebraica superior, teoría de juegos y grupos de Lie tridimensionales.

Premios y distinciones

Milnor fue elegido miembro de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias en 1961. En 1962, Milnor recibió la Medalla Fields por su trabajo en topología diferencial. Fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos en 1963 y de la Sociedad Filosófica Estadounidense en 1965. Más tarde ganó la Medalla Nacional de Ciencias (1967), el Premio Lester R. Ford en 1970 y nuevamente en 1984, el Leroy Premio P. Steele por "Contribución fundamental a la investigación" (1982), el Premio Wolf de Matemáticas (1989), el Premio Leroy P. Steele de Exposición Matemática (2004) y el Premio Leroy P. Steele a la Trayectoria (2011). En 1991 se llevó a cabo un simposio en la Universidad de Stony Brook para celebrar su 60 cumpleaños.

Milnor recibió el Premio Abel 2011 por sus "descubrimientos pioneros en topología, geometría y álgebra". En reacción al premio, Milnor le dijo al New Scientist "Se siente muy bien," agregando que "[u]no siempre es sorprendido por una llamada a las 6 en punto de la mañana."

En 2013 se convirtió en miembro de la American Mathematical Society, por "contribuciones a topología diferencial, topología geométrica, topología algebraica, álgebra y sistemas dinámicos".

En 2020 recibió la Medalla de Oro Lomonosov de la Academia Rusa de Ciencias.

Publicaciones

Libros

• Milnor, John W. (1963). Morse theory. Annals of Mathematics Studies, No. 51. Notas de M. Spivak y R. Wells. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9.
• —— (1965). Conferencias sobre el teorema h-cobordismo. Notas de L. Siebenmann y J. Sondow. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-07996-X. OCLC 58324.
• —— (1968). Puntos fijos de hipersuperficies complejas. Annals of Mathematics Studies, No. 61. Princeton, NJ: Princeton University Press; Tokyo: University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08065-8.
• —— (1971). Introducción a la teoría algebraica K. Annals of Mathematics Studies, No. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08101-4.
• Husemoller, Dale; Milnor, John W. (1973). Formas bilineales simétricas. Nueva York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-06009-5.
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974). Clases de carácter. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton, NJ: Princeton University Press; Tokyo: University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08122-0.
• Milnor, John W. (1997) [1965]. Topología desde el punto de vista diferenciable. Princeton Landmarks en Matemáticas. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-04833-9.
• (1999). Dinámica en una variable compleja. Wiesbaden, Alemania: Vieweg. ISBN 3-528-13130-6.2nd edn. 2000.

Artículos de revistas

• Milnor, John W. (1956). "En manifolds homeomorphic a la 7-sphere". Annals of Mathematics. Princeton University Press. 64 (2): 399–405. doi:10.2307/1969983. JSTOR 1969983. MR 0082103. S2CID 18780087.
• —— (1959). "Sommes de variétés différentiables et structures différentiables des sphères". Bulletin de la Société Mathématique de France. Société Mathématique de France. 87: 439-444. doi:10.24033/bsmf.1538MR 0117744.
• —— (1959b). "Las estructuras diferenciables en las esferas". American Journal of Mathematics. Johns Hopkins University Press. 81 (4): 962–972. doi:10.2307/2372998. JSTOR 2372998. MR 0110107.
• —— (1961). "Dos complejos que son homeomorfos pero combinatorialmente distintos". Annals of Mathematics. Princeton University Press. 74 (2): 575-590. doi:10.2307/1970299. JSTOR 1970299. MR 0133127.
• —— (1984). "En el concepto de atracción". Comunicaciones en Física Matemática. Springer Press. 99 (2): 177–195. Bibcode:1985CMaPh..99..177M. doi:10.1007/BF01212280. MR 0790735. S2CID 120688149.
• Kervaire, Michel A.; Milnor, John W. (1963). "Grupos de esferas homotopy: I" (PDF). Annals of Mathematics. Princeton University Press. 77 (3): 504-537. doi:10.2307/1970128. JSTOR 1970128. MR 0148075.
• Milnor, John W. (2011). "La topología diferencial cuarenta y seis años después" (PDF). Avisos de la Sociedad Americana de Matemáticas. 58 (6): 804–809.

Apuntes de clase

• Milnor, John Willard; Munkres, James Raymond (2007). "Lecturas sobre topología diferencial". En Milnor, John Willard (ed.). Documentos recogidos de John Milnor, Volumen 4. American Mathematical Society. pp. 145–176. ISBN 978-0-8218-4230-0.