Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (nacido como Giuseppe Luigi Lagrangia o Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier; 25 de enero de 1736 - 10 de abril de 1813), también conocido como Giuseppe Luigi Lagrange o Lagrangia, fue un matemático y astrónomo italiano, más tarde naturalizado francés. Hizo contribuciones significativas a los campos del análisis, la teoría de números y la mecánica clásica y celeste.

En 1766, por recomendación del suizo Leonhard Euler y el francés d'Alembert, Lagrange sucedió a Euler como director de matemáticas en la Academia de Ciencias de Prusia en Berlín, Prusia, donde permaneció durante más de veinte años, produciendo volúmenes de trabajo y ganando varios premios. premios de la Academia Francesa de Ciencias. El tratado de Lagrange sobre mecánica analítica (Mécanique analytique, 4. ed., 2 vols. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1788–89), escrito en Berlín y publicado por primera vez en 1788, ofreció el tratamiento más completo de la mecánica clásica desde Newton y formó una base para el desarrollo de la física matemática en el siglo XIX.

En 1787, a los 51 años, se mudó de Berlín a París y se convirtió en miembro de la Academia de Ciencias de Francia. Permaneció en Francia hasta el final de su vida. Jugó un papel decisivo en la decimalización en la Francia revolucionaria, se convirtió en el primer profesor de análisis en la École Polytechnique en su apertura en 1794, fue miembro fundador del Bureau des Longitudes y se convirtió en senador en 1799.

Contribución científica

Lagrange fue uno de los creadores del cálculo de variaciones, derivando las ecuaciones de Euler-Lagrange para extremos de funcionales. Extendió el método para incluir posibles restricciones, llegando al método de los multiplicadores de Lagrange. Lagrange inventó el método de resolución de ecuaciones diferenciales conocido como variación de parámetros, aplicó el cálculo diferencial a la teoría de probabilidades y trabajó en soluciones para ecuaciones algebraicas. Demostró que todo número natural es suma de cuatro cuadrados. Su tratado Theorie des fonctions analytiquessentó algunas de las bases de la teoría de grupos, anticipándose a Galois. En cálculo, Lagrange desarrolló un enfoque novedoso para la interpolación y el teorema de Taylor. Estudió el problema de los tres cuerpos para la Tierra, el Sol y la Luna (1764) y el movimiento de los satélites de Júpiter (1766), y en 1772 encontró las soluciones de casos especiales para este problema que producen lo que ahora se conoce como puntos Lagrangianos. Lagrange es mejor conocido por transformar la mecánica newtoniana en una rama del análisis, la mecánica lagrangiana, y presentó los "principios" mecánicos como simples resultados del cálculo variacional.

Biografía

Aparentemente era de mediana estatura y de contextura delgada, con ojos azul claro y tez incolora. Tenía un carácter nervioso y tímido, detestaba la controversia y, para evitarla, permitía de buen grado que los demás se atribuyeran el mérito de lo que él mismo había hecho.

Siempre pensaba en el tema de sus artículos antes de comenzar a redactarlos y, por lo general, los escribía directamente sin borrarlos ni corregirlos.

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Primeros años

Primogénito de once hijos como Giuseppe Lodovico Lagrangia, Lagrange era de ascendencia italiana y francesa. Su bisabuelo paterno fue un capitán de caballería francés, cuya familia se originó en la región francesa de Tours. Después de servir bajo Luis XIV, entró al servicio de Carlos Emmanuel II, duque de Saboya, y se casó con una Conti de la noble familia romana. El padre de Lagrange, Giuseppe Francesco Lodovico, era doctor en Derecho en la Universidad de Torino, mientras que su madre era hija única de un rico médico de Cambiano, en la campiña de Turín. Fue criado como católico romano (pero más tarde se convirtió en agnóstico).

Su padre, que estaba a cargo del cofre militar del rey y era tesorero de la Oficina de Obras Públicas y Fortificaciones de Turín, debería haber mantenido una buena posición social y riqueza, pero antes de que su hijo creciera había perdido la mayor parte de sus bienes en especulaciones.. Su padre planeó una carrera como abogado para Lagrange, y ciertamente Lagrange parece haber aceptado esto de buena gana. Estudió en la Universidad de Turín y su materia favorita era el latín clásico. Al principio no tenía gran entusiasmo por las matemáticas y encontraba la geometría griega bastante aburrida.

No fue hasta los diecisiete años que mostró algún gusto por las matemáticas; su interés en el tema fue despertado por primera vez por un artículo de Edmond Halley de 1693. que se encontró por casualidad. Solo y sin ayuda se lanzó a los estudios matemáticos; al cabo de un año de trabajo incesante, ya era un consumado matemático. Charles Emmanuel III nombró a Lagrange para que se desempeñara como "Sostituto del Maestro di Matematica" (profesor asistente de matemáticas) en la Real Academia Militar de Teoría y Práctica de Artillería en 1755, donde impartió cursos de cálculo y mecánica para apoyar los primeros años del ejército piamontés. adopción de las teorías balísticas de Benjamin Robins y Leonhard Euler. En esa capacidad, Lagrange fue el primero en enseñar cálculo en una escuela de ingeniería. Según Alessandro Papacino D'Antoni, comandante militar de la academia y famoso teórico de la artillería,En esta academia uno de sus alumnos fue François Daviet.

Cálculo variacional

Lagrange es uno de los fundadores del cálculo de variaciones. A partir de 1754, trabajó en el problema de la tautocronía, descubriendo un método para maximizar y minimizar funcionales de forma similar a encontrar los extremos de las funciones. Lagrange escribió varias cartas a Leonhard Euler entre 1754 y 1756 describiendo sus resultados. Esbozó su "algoritmo δ", lo que condujo a las ecuaciones de Euler-Lagrange del cálculo variacional y simplificó considerablemente el análisis anterior de Euler. Lagrange también aplicó sus ideas a problemas de mecánica clásica, generalizando los resultados de Euler y Maupertuis.

Euler quedó muy impresionado con los resultados de Lagrange. Se ha dicho que "con cortesía característica retuvo un artículo que había escrito previamente, que cubría algo del mismo tema, para que el joven italiano tuviera tiempo de completar su trabajo y reclamar la invención indiscutible del nuevo cálculo ".; sin embargo, esta visión caballeresca ha sido cuestionada. Lagrange publicó su método en dos memorias de la Sociedad de Turín en 1762 y 1773.

Miscelánea Taurinensia

En 1758, con la ayuda de sus alumnos (principalmente con Daviet), Lagrange estableció una sociedad, que posteriormente se incorporó como la Academia de Ciencias de Turín, y la mayoría de sus primeros escritos se encuentran en los cinco volúmenes de sus transacciones, generalmente conocida como Miscellanea Taurinensia. Muchos de estos son documentos elaborados. El primer volumen contiene un artículo sobre la teoría de la propagación del sonido; en esto indica un error cometido por Newton, obtiene la ecuación diferencial general para el movimiento y la integra para el movimiento en línea recta. Este volumen también contiene la solución completa del problema de una cuerda que vibra transversalmente; en este artículo señala una falta de generalidad en las soluciones dadas previamente por Brook Taylor, D'Alembert y Euler, y llega a la conclusión de que la forma de la curva en cualquier momento t está dada por la ecuación . El artículo concluye con una discusión magistral de ecos, pulsaciones y sonidos compuestos. Otros artículos en este volumen son sobre series recurrentes, probabilidades y cálculo de variaciones.

El segundo volumen contiene un artículo extenso que incorpora los resultados de varios artículos del primer volumen sobre la teoría y notación del cálculo de variaciones; e ilustra su uso deduciendo el principio de acción mínima y mediante soluciones de varios problemas en dinámica.

El tercer volumen incluye la solución de varios problemas dinámicos mediante el cálculo de variaciones; algunos trabajos sobre el cálculo integral; una solución de un problema de Fermat: dado un número entero n que no es un cuadrado perfecto, encontrar un número x tal que nx + 1 sea un cuadrado perfecto; y las ecuaciones diferenciales generales de movimiento para tres cuerpos que se mueven bajo sus atracciones mutuas.

El siguiente trabajo que produjo fue en 1764 sobre la libración de la Luna y una explicación de por qué la misma cara estaba siempre vuelta hacia la tierra, problema que trató con la ayuda del trabajo virtual. Su solución es especialmente interesante porque contiene el germen de la idea de ecuaciones de movimiento generalizadas, ecuaciones que probó formalmente por primera vez en 1780.

Berlina

Ya en 1756, Euler y Maupertuis, viendo el talento matemático de Lagrange, intentaron persuadir a Lagrange para que fuera a Berlín, pero él rechazó tímidamente la oferta. En 1765, d'Alembert intercedió en nombre de Lagrange ante Federico de Prusia y, por carta, le pidió que dejara Turín para ocupar un puesto considerablemente más prestigioso en Berlín. Volvió a rechazar la oferta, respondiendo queMe parece que Berlín no me conviene para nada mientras M.Euler esté allí.

En 1766, después de que Euler se fuera de Berlín a San Petersburgo, el propio Federico le escribió a Lagrange expresando el deseo del "rey más grande de Europa" de tener al "matemático más grande de Europa" residente en su corte. Lagrange finalmente fue persuadido. Pasó los siguientes veinte años en Prusia, donde produjo una larga serie de artículos publicados en las transacciones de Berlín y Turín, y compuso su obra monumental, Mécanique analytique. En 1767 se casó con su prima Vittoria Conti.

Lagrange era uno de los favoritos del rey, quien con frecuencia le sermoneaba sobre las ventajas de la perfecta regularidad de la vida. La lección fue aceptada y Lagrange estudió su mente y su cuerpo como si fueran máquinas y experimentó para encontrar la cantidad exacta de trabajo que podía hacer antes de agotarse. Cada noche se fijaba una tarea definida para el día siguiente, y al completar cualquier rama de un tema escribía un breve análisis para ver qué puntos de las demostraciones o del tema eran susceptibles de mejora. Planeaba cuidadosamente sus trabajos antes de escribirlos, por lo general sin borrarlos ni corregirlos.

No obstante, durante sus años en Berlín, la salud de Lagrange fue bastante mala y la de su esposa Vittoria fue aún peor. Murió en 1783 después de años de enfermedad y Lagrange estaba muy deprimido. En 1786 murió Federico II y el clima de Berlín se volvió difícil para Lagrange.

París

En 1786, tras la muerte de Federico, Lagrange recibió invitaciones similares de estados como España y Nápoles, y aceptó la oferta de Luis XVI de mudarse a París. En Francia fue recibido con todas las distinciones y se prepararon apartamentos especiales en el Louvre para su recepción, y se convirtió en miembro de la Academia de Ciencias de Francia, que luego pasó a formar parte del Institut de France (1795). Al comienzo de su residencia en París lo asaltó un ataque de melancolía, e incluso la copia impresa de su Mécanique en la que había trabajado durante un cuarto de siglo permaneció sin abrir durante más de dos años sobre su escritorio. La curiosidad por los resultados de la revolución francesa lo sacó primero de su letargo, curiosidad que pronto se convirtió en alarma a medida que se desarrollaba la revolución.

Fue casi al mismo tiempo, 1792, que la inexplicable tristeza de su vida y su timidez conmovieron la compasión de Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier, de 24 años, hija de su amigo, el astrónomo Pierre Charles Le Monnier. Ella insistió en casarse con él y demostró ser una esposa devota a la que él se encariñó cálidamente.

En septiembre de 1793 comenzó el Reino del Terror. Bajo la intervención de Antoine Lavoisier, quien para entonces ya había sido expulsado de la academia junto con muchos otros eruditos, Lagrange quedó específicamente exento por su nombre en el decreto de octubre de 1793 que ordenaba a todos los extranjeros abandonar Francia. El 4 de mayo de 1794, Lavoisier y otros 27 recaudadores de impuestos fueron arrestados y condenados a muerte y guillotinados la tarde posterior al juicio. Lagrange dijo sobre la muerte de Lavoisier:Solo tomó un momento hacer que esta cabeza cayera y cien años no serán suficientes para producir una similar.

Aunque Lagrange se había estado preparando para escapar de Francia mientras aún había tiempo, nunca estuvo en peligro; diferentes gobiernos revolucionarios (y posteriormente Napoleón) le otorgaron honores y distinciones. Esta suerte o seguridad puede deberse en cierta medida a su actitud de vida que expresó muchos años antes: " Creo que, en general, uno de los primeros principios de todo hombre sabio es ajustarse estrictamente a las leyes del país en el que vive ". es vivir, aun cuando sean irrazonables ".Un testimonio sorprendente del respeto que se le tenía se mostró en 1796 cuando se ordenó al comisario francés en Italia que asistiera de pleno derecho al padre de Lagrange y presentara las felicitaciones de la república por los logros de su hijo, quien "había hecho honor a toda la humanidad por su genio, y a quien fue la gloria especial de Piedmont haber producido". Puede agregarse que Napoleón, cuando llegó al poder, fomentó calurosamente los estudios científicos en Francia y fue un liberal benefactor de ellos. Nombrado senador en 1799, fue el primer firmante del Sénatus-Consulto que en 1802 anexó su patria Piamonte a Francia. En consecuencia, adquirió la ciudadanía francesa. Los franceses afirmaron que era un matemático francés, pero los italianos continuaron reclamándolo como italiano.

Unidades de medida

Lagrange participó en el desarrollo del sistema métrico de medición en la década de 1790. Se le ofreció la presidencia de la Comisión para la reforma de pesos y medidas (la Commission des Poids et Mesures) cuando se disponía a escapar. Después de la muerte de Lavoisier en 1794, fue en gran medida Lagrange quien influyó en la elección de las unidades de metro y kilogramo con subdivisión decimal, por parte de la comisión de 1799. Lagrange también fue uno de los miembros fundadores del Bureau des Longitudes en 1795.

École Normale

En 1795, Lagrange fue designado para una cátedra de matemáticas en la École Normale recién establecida, que disfrutó de una corta existencia de cuatro meses. Sus conferencias allí eran elementales; no contienen nada de importancia matemática, aunque brindan una breve visión histórica de su razón para proponer undecimal o Base 11 como el número base para el sistema reformado de pesos y medidas. Las conferencias se publicaron porque los profesores tenían que "comprometerse ante los representantes del pueblo y entre sí a no leer ni repetir de memoria" ["Les professeurs aux Écoles Normales ont pris, avec les Représentans du Peuple, et entr' eux l'engagement de ne point lire ou débiter de mémoire des discours écrits"]. Se ordenó taquigrafiar los discursos para que los diputados pudieran ver cómo se absolvían los profesores. También se pensó que las conferencias publicadas interesarían a una parte significativa de la ciudadanía ["Quoique des feuilles sténographiques soient essentiellement destinées aux élèves de l'École Normale, on doit prévoir quיelles seront lues par une grande partie de la Nation" ].

École Polytechnique

En 1794, Lagrange fue nombrado profesor de la École Polytechnique; y sus conferencias allí, descritas por matemáticos que tuvieron la suerte de poder asistir a ellas, fueron casi perfectas tanto en forma como en materia. Comenzando con los elementos más simples, llevó a sus oyentes hasta que, casi sin saberlo ellos mismos, fueron extendiendo los límites del tema: sobre todo inculcó en sus alumnos la ventaja de usar siempre métodos generales expresados ​​en una notación simétrica.

Pero Lagrange no parece haber sido un maestro exitoso. Fourier, que asistió a sus conferencias en 1795, escribió:su voz es muy débil, al menos en que no se calienta; tiene un acento italiano muy marcado y pronuncia la s como la z [...] Los alumnos, que en su mayoría son incapaces de apreciarlo, le dan poca acogida, pero los profesores se lo enmiendan.

últimos años

En 1810, Lagrange comenzó una revisión exhaustiva de la Mécanique analytique, pero solo pudo completar dos tercios antes de su muerte en París en 1813, en 128 rue du Faubourg Saint-Honoré. Napoleón lo honró con la Gran Cruz de la Ordre Impérial de la Réunion solo dos días antes de su muerte. Fue enterrado ese mismo año en el Panteón de París. La inscripción en su tumba dice traducida:

JOSÉ LOUIS LAGRANGE. Senador. Conde del Imperio. Gran Oficial de la Legión de Honor. Gran Cruz de la Orden Imperial de la Reunión. Miembro del Instituto y de la Oficina de Longitud. Nacido en Turín el 25 de enero de 1736. Fallecido en París el 10 de abril de 1813.

Trabaja en Berlín

Lagrange fue extremadamente activo científicamente durante los veinte años que pasó en Berlín. No solo produjo su Mécanique analytique, sino que contribuyó con entre cien y doscientos artículos a la Academia de Turín, la Academia de Berlín y la Academia Francesa. Algunos de estos son realmente tratados, y todos sin excepción son de un alto nivel de excelencia. Excepto por un corto tiempo cuando estuvo enfermo, produjo en promedio alrededor de un periódico al mes. De estos, tenga en cuenta lo siguiente como uno de los más importantes.

Primero, sus contribuciones a los volúmenes cuarto y quinto, 1766-1773, de Miscellanea Taurinensia; de los cuales el más importante fue el de 1771, en el que discutió cómo se deben combinar numerosas observaciones astronómicas para dar el resultado más probable. Y más tarde, sus contribuciones a los dos primeros volúmenes, 1784-1785, de las transacciones de la Academia de Turín; al primero de los cuales contribuyó con un artículo sobre la presión ejercida por fluidos en movimiento, y al segundo con un artículo sobre integración por series infinitas y el tipo de problemas para los que es adecuado.

La mayoría de los artículos enviados a París trataban sobre cuestiones astronómicas, y entre ellos se incluyen su artículo sobre el sistema joviano en 1766, su ensayo sobre el problema de los tres cuerpos en 1772, su trabajo sobre la ecuación secular de la Luna en 1773 y su tratado sobre perturbaciones cometarias en 1778. Todos estos fueron escritos sobre temas propuestos por la Académie française, y en cada caso se le otorgó el premio.

Mecánica lagrangiana

Entre 1772 y 1788, Lagrange reformuló la mecánica clásica/newtoniana para simplificar las fórmulas y facilitar los cálculos. Estas mecánicas se denominan mecánicas lagrangianas.

Álgebra

Sin embargo, la mayor parte de sus artículos durante este tiempo fueron contribuidos a la Academia de Ciencias de Prusia. Varios de ellos tratan con cuestiones de álgebra.

• Su discusión de las representaciones de números enteros por formas cuadráticas (1769) y por formas algebraicas más generales (1770).
• Su tratado sobre la teoría de la eliminación, 1770.
• El teorema de Lagrange de que el orden de un subgrupo H de un grupo G debe dividir el orden de G.
• Sus artículos de 1770 y 1771 sobre el proceso general para resolver una ecuación algebraica de cualquier grado a través de los resolventes de Lagrange. Este método no da una fórmula general para las soluciones de una ecuación de grado cinco o mayor, porque la ecuación auxiliar involucrada tiene un grado mayor que la original. La importancia de este método es que exhibe las fórmulas ya conocidas para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado como manifestaciones de un solo principio, y fue fundamental en la teoría de Galois. La solución completa de una ecuación binomial (es decir, una ecuación de la forma ± ) también se trata en estos documentos.
• En 1773, Lagrange consideró un determinante funcional de orden 3, un caso especial de jacobiano. También demostró la expresión del volumen de un tetraedro con uno de los vértices en el origen como la sexta parte del valor absoluto del determinante formado por las coordenadas de los otros tres vértices.

Teoría de los números

Varios de sus primeros trabajos también tratan cuestiones de teoría de números.

• Lagrange (1766–1769) fue el primer europeo en demostrar que la ecuación de Pell x − ny = 1 tiene una solución no trivial en los números enteros para cualquier número natural no cuadrado n.
• Demostró el teorema, enunciado por Bachet sin justificación, de que todo número entero positivo es la suma de cuatro cuadrados, 1770.
• Demostró el teorema de Wilson de que (para cualquier número entero n > 1): ¡ n es un primo si y solo si (n − 1)! + 1 es un múltiplo de n, 1771.
• Sus artículos de 1773, 1775 y 1777 dieron demostraciones de varios resultados enunciados por Fermat y no probados previamente.
• Su Recherches d'Arithmétique de 1775 desarrolló una teoría general de formas cuadráticas binarias para manejar el problema general de cuándo un número entero es representable por la forma ax + by + cxy.
• Hizo contribuciones a la teoría de las fracciones continuas.

Otro trabajo matemático

También hay numerosos artículos sobre varios puntos de la geometría analítica. En dos de ellos, escritos algo más tarde, en 1792 y 1793, redujo las ecuaciones de las cuádricas (o conicoides) a sus formas canónicas.

Durante los años de 1772 a 1785, contribuyó con una larga serie de artículos que crearon la ciencia de las ecuaciones diferenciales parciales. Gran parte de estos resultados se recogieron en la segunda edición del cálculo integral de Euler que se publicó en 1794.

Astronomía

Por último, hay numerosos artículos sobre problemas en astronomía. De estos los más importantes son los siguientes:

• Intentando resolver el problema general de los tres cuerpos, con el consiguiente descubrimiento de las dos soluciones de patrón constante, colineal y equilátera, 1772. Más tarde se vio que esas soluciones explicaban lo que ahora se conoce como los puntos de Lagrangian.
• Sobre la atracción de los elipsoides, 1773: se basa en el trabajo de Maclaurin.
• Sobre la ecuación secular de la Luna, 1773; también notable por la introducción más temprana de la idea del potencial. El potencial de un cuerpo en cualquier punto es la suma de la masa de cada elemento del cuerpo cuando se divide por su distancia desde el punto. Lagrange demostró que si se conociera el potencial de un cuerpo en un punto externo, se podría encontrar inmediatamente la atracción en cualquier dirección. La teoría del potencial fue elaborada en un artículo enviado a Berlín en 1777.
• Sobre el movimiento de los nodos de la órbita de un planeta, 1774.
• Sobre la estabilidad de las órbitas planetarias, 1776.
• Dos artículos en los que el método para determinar la órbita de un cometa a partir de tres observaciones está completamente desarrollado, 1778 y 1783: esto no ha resultado prácticamente disponible, pero su sistema de cálculo de las perturbaciones por medio de cuadraturas mecánicas ha formado la base de la mayoría de las investigaciones posteriores sobre el tema.
• Su determinación de las variaciones seculares y periódicas de los elementos de los planetas, 1781-1784: los límites superiores asignados para estos concuerdan estrechamente con los obtenidos más tarde por Le Verrier, y Lagrange prosiguió hasta el conocimiento que poseía entonces de las masas de los planetas. planetas permitidos.
• Tres trabajos sobre el método de interpolación, 1783, 1792 y 1793: la parte de diferencias finitas que trata de ello está ahora en el mismo estado en que la dejó Lagrange.

Tratado fundamental

Además de estos diversos artículos, compuso su tratado fundamental, la Mécanique analytique.

En este libro establece la ley del trabajo virtual, y de ese único principio fundamental, con la ayuda del cálculo de variaciones, deduce toda la mecánica, tanto de sólidos como de fluidos.

El objeto del libro es mostrar que el tema está implícitamente incluido en un solo principio y dar fórmulas generales a partir de las cuales se puede obtener cualquier resultado particular. El método de coordenadas generalizadas por el que obtuvo este resultado es quizás el resultado más brillante de su análisis. En lugar de seguir el movimiento de cada parte individual de un sistema material, como habían hecho D'Alembert y Euler, demostró que, si determinamos su configuración por un número suficiente de variables x, llamadas coordenadas generalizadas, cuyo número es el mismo que el de los grados de libertad que posee el sistema, entonces las energías cinética y potencial del sistema pueden expresarse en términos de esas variables, y las ecuaciones diferenciales de movimiento pueden deducirse de ahí mediante simples diferenciación. Por ejemplo, en dinámica de un sistema rígido reemplaza la consideración del problema particular por la ecuación general, que ahora se escribe generalmente en la forma

donde T representa la energía cinética y V representa la energía potencial del sistema. Luego presentó lo que ahora conocemos como el método de los multiplicadores de Lagrange, aunque esta no es la primera vez que se publica ese método, como un medio para resolver esta ecuación. Entre otros teoremas menores dados aquí, puede ser suficiente mencionar la proposición de que la energía cinética impartida por los impulsos dados a un sistema material bajo restricciones dadas es un máximo, y el principio de acción mínima. Todo el análisis es tan elegante que Sir William Rowan Hamilton dijo que la obra sólo podía describirse como un poema científico. Lagrange señaló que la mecánica era en realidad una rama de las matemáticas puras análoga a una geometría de cuatro dimensiones, a saber, el tiempo y las tres coordenadas del punto en el espacio; y se dice que se enorgullecía de que desde el principio hasta el final de la obra no hubiera un solo diagrama. Al principio no se pudo encontrar ningún impresor que publicara el libro; pero Legendre finalmente convenció a una empresa de París para que lo hiciera, y se emitió bajo la supervisión de Laplace, primo,

Trabajar en francia

Cálculo diferencial y cálculo de variaciones

Las conferencias de Lagrange sobre cálculo diferencial en la École Polytechnique forman la base de su tratado Théorie des fonctions analytiques, que se publicó en 1797. Este trabajo es la extensión de una idea contenida en un artículo que había enviado a los periódicos de Berlín en 1772, y su El objetivo es sustituir el cálculo diferencial por un grupo de teoremas basados ​​en el desarrollo de funciones algebraicas en serie, apoyándose en particular en el principio de generalidad del álgebra.

John Landen había utilizado previamente un método algo similar en Residual Analysis, publicado en Londres en 1758. Lagrange creía que así podía librarse de esas dificultades, relacionadas con el uso de cantidades infinitamente grandes e infinitamente pequeñas, a las que se oponían los filósofos. en el tratamiento habitual del cálculo diferencial. El libro se divide en tres partes: de éstas, la primera trata de la teoría general de funciones y da una prueba algebraica del teorema de Taylor, cuya validez, sin embargo, está abierta a discusión; el segundo trata de aplicaciones a la geometría; y el tercero con aplicaciones a la mecánica.

Otro tratado en la misma línea fue su Leçons sur le calcul des fonctions, publicado en 1804, con la segunda edición en 1806. Es en este libro que Lagrange formuló su célebre método de los multiplicadores de Lagrange, en el contexto de problemas de cálculo variacional con restricciones integrales. Estos trabajos dedicados al cálculo diferencial y al cálculo de variaciones pueden considerarse como el punto de partida de las investigaciones de Cauchy, Jacobi y Weierstrass.

Infinitesimales

En un período posterior, Lagrange abrazó por completo el uso de los infinitesimales en lugar de basar el cálculo diferencial en el estudio de las formas algebraicas; y en el prefacio a la segunda edición de Mécanique Analytique, que se publicó en 1811, justifica el empleo de los infinitesimales y concluye diciendo que:Cuando hayamos captado el espíritu del método infinitesimal y hayamos verificado la exactitud de sus resultados, ya sea por el método geométrico de las razones primeras y últimas, o por el método analítico de las funciones derivadas, podremos emplear cantidades infinitamente pequeñas como un método seguro y valioso. medio de acortar y simplificar nuestras demostraciones.

Teoría de los números

Su Résolution des équations numériques, publicada en 1798, fue también fruto de sus conferencias en la École Polytechnique. Allí da el método de aproximación a las raíces reales de una ecuación por medio de fracciones continuas y enuncia varios otros teoremas. En una nota al final muestra cómo el pequeño teorema de Fermat, es decir

donde p es primo y a es primo de p, se puede aplicar para dar la solución algebraica completa de cualquier ecuación binomial. También aquí explica cómo la ecuación cuyas raíces son los cuadrados de las diferencias de las raíces de la ecuación original puede usarse para dar información considerable sobre la posición y naturaleza de esas raíces.

Mecánica celeste

La teoría de los movimientos planetarios había formado el tema de algunos de los artículos de Berlín más notables de Lagrange. En 1806 el tema fue reabierto por Poisson, quien, en un trabajo leído ante la Academia Francesa, mostró que las fórmulas de Lagrange conducían a ciertos límites para la estabilidad de las órbitas. Lagrange, que estaba presente, discutió ahora todo el tema de nuevo, y en una carta enviada a la academia en 1808 explicó cómo, mediante la variación de constantes arbitrarias, podían determinarse las desigualdades periódicas y seculares de cualquier sistema de cuerpos que interactúan entre sí.

Premios y distinciones

Euler propuso a Lagrange para la elección de la Academia de Berlín y fue elegido el 2 de septiembre de 1756. Fue elegido miembro de la Royal Society of Edinburgh en 1790, miembro de la Royal Society y miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias en 1806. En 1808, Napoleón nombró a Lagrange Gran Oficial de la Legión de Honor y Conde del Imperio. Fue galardonado con la Gran Cruz de la Ordre Impérial de la Réunion en 1813, una semana antes de su muerte en París, y fue enterrado en el Panteón, un mausoleo dedicado a los franceses más honrados.

Lagrange recibió el premio de 1764 de la Academia de Ciencias de Francia por sus memorias sobre la libración de la Luna. En 1766 la academia propuso un problema del movimiento de los satélites de Júpiter, y el premio nuevamente fue otorgado a Lagrange. También compartió o ganó los premios de 1772, 1774 y 1778.

Lagrange es uno de los 72 científicos franceses prominentes que fueron conmemorados en placas en la primera etapa de la Torre Eiffel cuando se abrió por primera vez. Rue Lagrange en el distrito 5 de París lleva su nombre. En Turín, la calle donde todavía se encuentra la casa de su nacimiento se llama via Lagrange. El cráter lunar Lagrange y el asteroide 1006 Lagrangea también llevan su nombre.