Jordanus de Nemore

Jordanus de Nemore (siglo XIII), también conocido como Jordanus Nemorarius y Giordano de Nemi, fue un matemático y científico europeo del siglo XIII. La traducción literal de Jordanus de Nemore (Giordano de Nemi) indicaría que era italiano. Escribió tratados sobre al menos seis temas matemáticos importantes: la ciencia de los pesos; tratados de “algorismi” sobre aritmética práctica; aritmética pura; álgebra; geometría; y proyección estereográfica. La mayoría de estos tratados existen en varias versiones o reelaboraciones de la Edad Media. No sabemos nada sobre él personalmente, aparte de la fecha aproximada de su obra.

No se conocen detalles biográficos sobre Jordanus de Nemore. En los primeros manuscritos se le cita simplemente como “Jordanus”, pero más tarde se le dio el sobrenombre de “de Nemore” (“del bosque”, “guardabosques”), que no aporta ninguna información biográfica concreta. En el Renacimiento su nombre se daba a menudo como “Jordanus Nemorarius”, una forma impropia.

Una entrada en el catálogo de manuscritos del siglo XIX de la Sächsische Landesbibliothek de Dresde sugería que Jordanus enseñaba en la Universidad de Toulouse, pero el texto en cuestión no fue escrito por Jordanus y esta posible asociación carece de fundamento. Una crónica del siglo XIV de la Orden de Predicadores del inglés Nicholas Trivet (o Triveth, 1258-1328) sugería que el segundo maestro general de la Orden de los Dominicos, Jordanus de Sajonia (fallecido en 1237) escribió dos textos matemáticos con títulos similares a dos de Jordanus de Nemore, pero esta sugerencia tardía es más probablemente una confusión por parte de Trivet, en lugar de una prueba de identidad. Jordanus de Sajonia nunca utiliza el nombre “de Nemore” y en ningún otro lugar se le atribuyen escritos matemáticos; de hecho, había impartido clases de teología en la Universidad de París. Asimismo, el nombre de Jordanus de Sajonia nunca se encuentra junto a un texto matemático. Esta identidad, popular entre algunos en los siglos XIX y XX, ha sido en su mayor parte abandonada.

Se supone que Jordanus trabajó en la primera parte del siglo XIII (o incluso a finales del XII), ya que sus obras están contenidas en una lista de libros, la Biblionomia de Richard de Fournival, compilada entre 1246 y 1260.

La «ciencia de los pesos» medieval (es decir, la mecánica) debe gran parte de su importancia al trabajo de Jordanus. En su obra Elementa super demonstrateem ponderum, Jordanus introduce el concepto de «gravedad posicional» y el uso de fuerzas componentes. Pierre Duhem (en su obra Origines de la statique, 1905) pensaba que Jordanus también introduce consideraciones infinitesimales en la estática en su análisis de los desplazamientos «virtuales» (otra interpretación de Duhem) de objetos en equilibrio. Demuestra la ley de la palanca mediante el principio del trabajo. Su obra De ratione ponderis también demuestra las condiciones de equilibrio de pesos desiguales sobre planos inclinados en diferentes ángulos, mucho antes de que lo restablecieran Simon Stevin (con su experimento clootcrans, «corona de esferas») y, más tarde, Galileo.

El Elementa super demonstrateem ponderum parece ser la única obra que puede atribuirse definitivamente a Jordanus, y la primera de la serie. Jordanus tomó lo que Joseph Brown ha llamado el “Resumen del lógico de Sobre el Karaston” (una hábil compresión de las conclusiones del Liber karastonis de Thābit ibn Qurra) y creó un nuevo tratado (7 axiomas y 9 proposiciones) con el fin de establecer una base matemática para las cuatro proposiciones sobre la balanza romana llamadas el Liber de canonio. Un comentario temprano sobre esto (que también contiene una corrección necesaria a la Proposición 9) es el “Comentario del Corpus Christi”.

El Liber de ponderibus fusiona los siete axiomas y nueve proposiciones de los Elementa con las cuatro proposiciones del De canonio. Existen al menos dos tradiciones de comentarios al Liber de ponderibus que mejoran algunas de las demostraciones e integran mejor las dos fuentes.

El De ratione ponderis es una versión hábilmente corregida y ampliada (45 proposiciones) de los Elementa. Generalmente se atribuye a Jordanus, pero es más probable que sea obra de un matemático no identificado, ya que se han eliminado las citas de Jordanus de sus otras obras.

En relación con estos tratados hay un conjunto anónimo de comentarios, cada uno de los cuales comienza con las palabras “Aliud commentum” (y por lo tanto se lo conoce como la versión “Aliud commentum”). Este comentario supera a todos los demás, especialmente al comentario sobre la Proposición 1.

En esta categoría se encuentran cinco tratados de algoritmos, examinados por Gustaf Eneström a principios del siglo XX, que tratan de aritmética práctica.

El Communis et consuetus (sus palabras iniciales) parece ser la forma más antigua de la obra, estrechamente relacionada con la muy ampliada Demonstratio de algorismo. Eneström creía que el Communis et consuetus era sin duda obra de Jordanus.

La posterior Demonstratio de algorismo contiene 21 definiciones y 34 proposiciones. Probablemente se trata de una versión posterior de la Communis et consuetus, realizada por el propio Jordanus o por algún otro matemático del siglo XIII.

El Tractatus minutiarum sobre las fracciones parece ser una segunda parte del Communis et consuetus; a menudo se encuentran juntos en los manuscritos.

La Demonstratio de minutiius también está vinculada a la Demonstratio de algorismo, y contiene y amplía las proposiciones que se encuentran en el Tractatus minutiarum –una vez más una reedición del texto original.

El Algorismus demonstratus es una atribución espuria, aunque durante mucho tiempo se le atribuyó a Jordanus. Hasta que Eneström empezó a ordenar los diversos tratados, el Algorismus demonstratus, dado que era el único publicado (ed. Johannes Schöner, Núremberg, 1543), era el encabezamiento bajo el que se agrupaban todos los tratados. Sin embargo, Eneström consideró muy improbable que esta versión fuera obra de Jordanus, ya que ningún manuscrito se la atribuye (si dan un autor, generalmente es un Magister Gernarus, o Gerhardus o Gernandus). La primera parte de este tratado (también conocido como Algorismus de integris) contiene definiciones, axiomas y 43 proposiciones. La segunda parte (el Algorismus de minutiis) contiene definiciones y 42 proposiciones. Eneström demuestra que, si bien es diferente de los tratados de algorismos de Jordanus, el Algorismus demonstratus sigue estando estrechamente relacionado con ellos.

Este tratado de aritmética contiene más de 400 proposiciones divididas en diez libros. Hay tres versiones o ediciones en forma manuscrita, la segunda con pruebas diferentes o ampliadas que las que se encuentran en la primera, y una serie de proposiciones añadidas al final; la tercera versión inserta las proposiciones añadidas en su posición lógica en el texto, y vuelve a cambiar algunas de las pruebas. El objetivo de Jordanus era escribir un resumen completo de la aritmética, similar a lo que Euclides había hecho para la geometría.

Jordanus recopiló y organizó todo el campo de la aritmética, basándose tanto en la obra de Euclides como en la de Boecio. Las definiciones, axiomas y postulados conducen a proposiciones con pruebas que a veces son un tanto esquemáticas, dejando al lector la tarea de completar el argumento. Aquí también Jordanus utiliza letras para representar números, pero no se dan ejemplos numéricos, del tipo que se encuentra en el De numeris datis.

El editor de este tratado sobre álgebra, Barnabas Hughes, ha encontrado dos conjuntos de manuscritos para este texto, uno con 95 proposiciones y el otro con 113. Además, algunas de las proposiciones más comunes tienen diferentes demostraciones. También hay 4 compendios o revisiones en forma de manuscrito.

El De numeris datis de Jordanus fue el primer tratado de álgebra avanzada compuesto en Europa occidental, basado en el álgebra elemental proporcionada en traducciones del siglo XII de fuentes árabes. Se anticipa en 350 años a la introducción del análisis algebraico por François Viète en las matemáticas del Renacimiento. Jordanus utilizó un sistema similar al de Viète (aunque expresado en términos no simbólicos) de formulación de la ecuación (planteando el problema en términos de lo que se sabe y de lo que se debe encontrar), de transformación de la ecuación inicial dada en una solución y de la introducción de números específicos que cumplen las condiciones establecidas por el problema.

Este es el mejor ejemplo de geometría medieval. Contiene proposiciones sobre temas como las razones de los lados y los ángulos de los triángulos; la división de líneas rectas, triángulos y cuadrángulos en diferentes condiciones; la razón de los arcos y segmentos planos en el mismo círculo o en diferentes círculos; la trisección de un ángulo; el área de los triángulos dada la longitud de los lados; la cuadratura del círculo.

De nuevo hay dos versiones de este texto: la edición más corta y presumiblemente la primera (el Liber philotegni Iordani de Nemore) y una versión más larga (el Liber de triangulis Iordani) que divide el texto en libros, reorganiza y amplía el libro 2 y añade las proposiciones 4-12 a 4-28. Este último conjunto de 17 proposiciones también circuló por separado. Aunque la versión más larga puede no ser de Jordanus, sin duda estaba completa a finales del siglo XIII.

Este tratado de cinco proposiciones trata de diversos aspectos de la proyección estereográfica (utilizada en los astrolabios planisféricos). La primera proposición, y la más importante desde el punto de vista histórico, demuestra para todos los casos que los círculos sobre la superficie de una esfera, cuando se proyectan estereográficamente sobre un plano, siguen siendo círculos (o un círculo de radio infinito, es decir, una línea recta). Si bien esta propiedad era conocida mucho antes de Jordanus, nunca había sido demostrada.

Existen tres versiones del tratado: el texto básico, una segunda versión con una introducción y un texto muy ampliado, y una tercera, sólo ligeramente ampliada. La introducción se encuentra a veces en las versiones 1 y 3, pero es evidente que fue escrita por otra persona.

El De percentageibus (sobre proporciones), el Isoperimetra (sobre figuras con perímetros iguales), las Demonstrationes pro astrolapsu (sobre el grabado de astrolabios) y el Pre-exercitamina (¿un breve ejercicio introductorio?) se atribuyen dudosamente a Jordanus. Varios otros textos, entre ellos un Liber de speculis y un Compositum astrolabii, son atribuciones falsas.

El libro "Eresia Pura", de Adriano Petta, es una novela, en italiano, basada en una investigación histórica, en torno a la vida de Jordanus de Nemore.

La mayoría de las obras de Jordanus han sido publicadas en ediciones críticas en el siglo XX.

1. Mecánica: Los tres tratados principales y la versión “Aliud commentum” (en latín e inglés) están publicados en The Medieval Science of Weights, ed. Ernest A. Moody y Marshall Clagett (Madison: University of Wisconsin Press, 1952). Los comentarios también se encuentran en Joseph E. Brown, “The ‘Scientia de ponderibus’ in the Later Middle Ages”, tesis doctoral, Universidad de Wisconsin, 1967. El Liber de ponderibus y la versión “Aliud commentum” fueron publicados por Petrus Apianus (= Peter Bienewitz) en Núremberg, 1533; y el De ratione ponderis fue publicado por Nicolò Tartaglia en Venecia, 1565.

2. Los tratados de Algorismi: Los artículos de Gustaf Eneström, que contienen el texto latino de las introducciones, definiciones y proposiciones, pero sólo algunas de las demostraciones, fueron publicados en Biblioteca Mathematica, serie 3, vol. 7 (1906–07), 24-37; 8 (1907–08), 135-153; 13 (1912–13), 289-332; 14 (1913–14) 41-54 y 99-149.

3. Aritmética (el De elementis arithmetice artis): Jacques Lefèvre d’Étaples (1455–1536) publicó una versión (con sus propias demostraciones y comentarios) en París en 1496; esta versión se reimprimió en París en 1514. La edición moderna es: H. L. L. Busard, Jordanus de Nemore, De elementis arithmetice artis. A Medieval Treatise on Number Theory (Stuttgart: Franz Steiner Verlag, 1991), 2 partes.

4. Álgebra (De numeris data): el texto se publicó en el siglo XIX, pero ahora existe una edición crítica: Jordanus de Nemore, De numeris datis, ed. Barnabas B. Hughes (Berkeley: University of California Press, 1981).

5. Geometría: "De triangulis" fue publicado por primera vez por M.Curtze en "Mittheilungen des Copernicusvereins für Wissenschaft und Kunst" Heft VI - Thorn, 1887. Véase en la Biblioteca digital Kujawsko-Pomorska: http://kpbc.umk.pl/dlibra/docmetadata?id=39881. Más recientemente, el Liber philotegni Iordani y el Liber de triangulis Iordani han sido editados críticamente y traducidos en: Marshall Clagett, Archimedes in the Middle Ages. (Filadelfia: American Philosophical Society, 1984), 5: 196-293 y 346-477, que es mucho mejor que la edición de Curtze.

6. Proyección estereográfica: El texto de la versión 3 de la Demonstratio de plana spera y la introducción fueron publicados en el siglo XVI – Basilea, 1536 y Venecia, 1558. Todas las versiones están editadas y traducidas en: Ron B. Thomson, Jordanus de Nemore and the Mathematics of Astrolabes: De Plana Spera (Toronto: Pontifical Institute of Mediaeval Studies, 1978).

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Jordanus Nemorarius", MacTutor Historia del Archivo Matemático, Universidad de St Andrews
• Nemorarius Jordanus (1553) De ponderibus proposiciones XIII - facsímil digital de la Biblioteca Linda Hall
• Jordanus: Nemorarius (1536). Sphaerae atque astrorum coelestium ratio, natura, et motus (en latín). Basilea: Johann Walder.