Jordan forma normal

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Forma de una matriz que indica sus eigenvalues y sus multiplicidades algebraicas

En álgebra lineal, una forma normal de Jordan, también conocida como forma canónica de Jordan (JCF), es una matriz triangular superior de una forma particular llamada matriz de Jordan que representa un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita con respecto a alguna base. Dicha matriz tiene cada entrada fuera de la diagonal distinta de cero igual a 1, inmediatamente encima de la diagonal principal (en la superdiagonal), y con entradas diagonales idénticas a la izquierda y debajo de ellas.

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Entonces existe una base con respecto a la cual la matriz tiene la forma requerida si y solo si todos los valores propios de la matriz se encuentran en K, o de manera equivalente si el polinomio característico del operador se divide en factores lineales sobre K. Esta condición siempre se cumple si K es algebraicamente cerrado (por ejemplo, si es el campo de los números complejos). Las entradas diagonales de la forma normal son los valores propios (del operador), y el número de veces que aparece cada valor propio se denomina multiplicidad algebraica del valor propio.

Si el operador está dado originalmente por una matriz cuadrada M, entonces su forma normal de Jordan también se llama forma normal de Jordan de M. Cualquier matriz cuadrada tiene una forma normal de Jordan si el campo de coeficientes se extiende a uno que contiene todos los valores propios de la matriz. A pesar de su nombre, la forma normal de una determinada M no es del todo única, ya que se trata de una matriz diagonal de bloques formada por bloques de Jordan, cuyo orden no es fijo; es convencional agrupar bloques para el mismo valor propio, pero no se impone un orden entre los valores propios, ni entre los bloques para un valor propio dado, aunque estos últimos podrían, por ejemplo, ordenarse por tamaño débilmente decreciente.

La descomposición de Jordan-Chevalley es particularmente simple con respecto a una base para la cual el operador toma su forma normal de Jordan. La forma diagonal para matrices diagonalizables, por ejemplo, matrices normales, es un caso especial de la forma normal de Jordan.

La forma normal de Jordan lleva el nombre de Camille Jordan, quien declaró por primera vez el teorema de descomposición de Jordan en 1870.

Resumen

Notación

Algunos libros de texto tienen los que están en la subdiagonal; es decir, inmediatamente debajo de la diagonal principal en lugar de sobre la superdiagonal. Los valores propios todavía están en la diagonal principal.

Motivación

Una matriz n × n A es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de los espacios propios es n. O, de manera equivalente, si y solo si A tiene n vectores propios linealmente independientes. No todas las matrices son diagonalizables; las matrices que no son diagonalizables se llaman matrices defectuosas. Considere la siguiente matriz:

{displaystyle A=left[{begin{array}{*{20}{r}}5&4&2&1\[2pt]0&1&-1&-1\[2pt]-1&-1&3&0\[2pt]1&1&-1&2end{array}}right].}

Incluyendo la multiplicidad, los valores propios de a son λ = 1, 2, 4, 4. La dimensión del espacio propio correspondiente al valor propio 4 es 1 (y no 2), entonces a no es diagonalizable. Sin embargo, hay una matriz invertible p tal que j = p −1 ap , donde

{displaystyle J={begin{bmatrix}1&0&0&0\[2pt]0&2&0&0\[2pt]0&0&4&1\[2pt]0&0&0&4end{bmatrix}}.}

La matriz $J$ es casi diagonal. Esta es la forma normal de Jordania A. La sección Ejemplo a continuación llena los detalles del cálculo.

Matrices complejas

En general, una matriz compleja cuadrada A es similar a una matriz diagonal de bloques

J = begin{bmatrix} J_1 & ; & ; \ ; & ddots & ; \ ; & ; & J_pend{bmatrix}

donde cada bloque j _i es una matriz cuadrada de la forma

J_i = begin{bmatrix} lambda_i & 1 & ; & ; \ ; & lambda_i & ddots & ; \ ; & ; & ddots & 1 \ ; & ; & ; & lambda_i end{bmatrix}.

Entonces existe una matriz invertible P tal que P⁻¹AP = J es tal que las únicas entradas distintas de cero de J están en la diagonal y la superdiagonal. J se llama la forma normal de Jordan de A. Cada J_i se denomina bloque de Jordan de A. En un bloque Jordan dado, cada entrada en la superdiagonal es 1.

Asumiendo este resultado, podemos deducir las siguientes propiedades:

Contando multiplicidades, los eigenvalues de J, y por consiguiente de A, son las entradas diagonales.
Dado un eigenvalue λ_i, su multiplicidad geométrica es la dimensión de ker(A − λ_iI), donde I es la matriz de identidad, y es el número de bloques de Jordania correspondientes a λ_i.
La suma de los tamaños de todos los bloques de Jordania correspondientes a un eigenvalue λ_i es su multiplicidad algebraica.
A es diagonalizable si y sólo si, por cada eigenvalue λ de A, sus multiplicidades geométricas y algebraicas coinciden. En particular, los bloques de Jordania en este caso son 1 × 1 matrices; es decir, escalares.
El bloque Jordan correspondiente a λ es de la forma λI+N, donde N es una matriz nilpotente definida como N_ij = δ_i_,j−1 (donde δ es el Kronecker delta). La nilpotencia de N se puede explotar al calcular f()ADonde f es una función analítica compleja. Por ejemplo, en principio la forma de Jordania podría dar una expresión de forma cerrada para la exposición exponencial(A).
El número de bloques de Jordania correspondientes a λ de tamaño al menos j es dim ker(A−λI)^j− dim ker(A−λI)^j−1. Así, el número de bloques de tamaño de Jordania j es
$2 dim ker (A - lambda_i I)^j - dim ker (A - lambda_i I)^{j+1} - dim ker (A - lambda_i I)^{j-1}$
Dado un eigenvalue λ_i, su multiplicidad en el polinomio mínimo es el tamaño de su mayor bloque de Jordania.

Ejemplo

Considere la matriz $A$ del ejemplo en la sección anterior. La forma normal de Jordania se obtiene por alguna transformación de similitud:

{displaystyle P^{-1}AP=J;}

es decir,

{displaystyle AP=PJ.}

Vamos $P$ tienen vectores de columna $p_{i}$ , ${displaystyle i=1,ldots4}$ , entonces

A begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & p_4 end{bmatrix} = begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & p_4 end{bmatrix} begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 4 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 4 end{bmatrix} = begin{bmatrix} p_1 & 2p_2 & 4p_3 & p_3+4p_4 end{bmatrix}.

Vemos que

{displaystyle (A-1I)p_{1}=0}

{displaystyle (A-2I)p_{2}=0}

{displaystyle (A-4I)p_{3}=0}

{displaystyle (A-4I)p_{4}=p_{3}.}

Para $i=1,2,3$ tenemos ${displaystyle p_{i}in ker(A-lambda _{i}I)}$ , es decir, $p_{i}$ es un eigenvector de $A$ correspondiente al eigenvalue $lambda _{i}$ . Para ${displaystyle i=4}$ , multiplicando ambos lados por $(A-4I)$ da

{displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}

Pero... $(A-4I)p_3 = 0$ Así que

{displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}

Así, ${displaystyle p_{4}in ker(A-4I)^{2}.}$

Vectores como $p_4$ son llamados eigenvectores generalizados de A.

Ejemplo: Obtención de la forma normal

Este ejemplo muestra cómo calcular la forma normal de Jordan de una matriz determinada.

Considere la matriz

{displaystyle A=left[{begin{array}{rrrr}5&4&2&1\0&1&-1&-1\-1&-1&3&0\1&1&-1&2end{array}}right]}

que se menciona al principio del artículo.

El polinomio característico de A es

{displaystyle {begin{aligned}chi (lambda)&=det(lambda I-A)\&=lambda ^{4}-11lambda ^{3}+42lambda ^{2}-64lambda +32\&=(lambda -1)(lambda -2)(lambda -4)^{2}.,end{aligned}}}

Esto muestra que los valores propios son 1, 2, 4 y 4, según la multiplicidad algebraica. El espacio propio correspondiente al valor propio 1 se puede encontrar resolviendo la ecuación Av = λv. Está atravesado por el vector columna v = (−1, 1, 0, 0)^T. De manera similar, el espacio propio correspondiente al valor propio 2 está dividido por w = (1, −1, 0, 1)^T. Finalmente, el espacio propio correspondiente al valor propio 4 también es unidimensional (aunque se trata de un valor propio doble) y está dividido por x = (1, 0, −1, 1)^T. Entonces, la multiplicidad geométrica (es decir, la dimensión del espacio propio del valor propio dado) de cada uno de los tres valores propios es uno. Por lo tanto, los dos valores propios iguales a 4 corresponden a un solo bloque de Jordan, y la forma normal de Jordan de la matriz A es la suma directa

J = J_1(1) oplus J_1(2) oplus J_2(4) = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 4 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 4 end{bmatrix}.

Hay tres cadenas Jordan. Dos tienen longitud uno: {v} y {w}, correspondientes a los valores propios 1 y 2, respectivamente. Hay una cadena de longitud dos que corresponde al valor propio 4. Para encontrar esta cadena, calcula

{displaystyle ker(A-4I)^{2}=operatorname {span} ,left{{begin{bmatrix}1\0\0\0end{bmatrix}},left[{begin{array}{r}1\0\-1\1end{array}}right]right}}

donde I es la matriz identidad de 4 × 4. Elija un vector en el intervalo anterior que no esté en el núcleo de A − 4I; por ejemplo, y = (1,0,0,0)^T. Ahora, (A − 4I)y = x y (A − 4I)x = 0, entonces {y, x} es una cadena de longitud dos correspondiente a la valor propio 4.

La matriz de transición P tal que P⁻¹AP = J se forma poniendo estos vectores uno al lado del otro de la siguiente manera

{displaystyle P=left[{begin{array}{c|c|c|c}v&w&x&yend{array}}right]=left[{begin{array}{rrrr}-1&1&1&1\1&-1&0&0\0&0&-1&0\0&1&1&0end{array}}right].}

Un cálculo muestra que la ecuación P⁻¹AP = J sí se cumple.

P^{-1}AP=J=begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 4 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 4 end{bmatrix}.

Si hubiésemos intercambiado el orden en que aparecían los vectores de cadena, es decir, cambiando el orden de v, w y {x, y} juntos, los bloques Jordan se intercambiarían. Sin embargo, las formas de Jordan son formas de Jordan equivalentes.

Vectores propios generalizados

Dado un valor propio λ, cada bloque de Jordan correspondiente da lugar a una cadena de Jordan de vectores linealmente independientes p_i, i = 1,..., b, donde b es el tamaño del bloque Jordan. El generador, o vector principal, p_b de la cadena es un vector propio generalizado tal que ( A − λI)^bp_b = 0. El vector p₁ = (A − λI)^b−1p_b es un vector propio ordinario correspondiente a λ. En general, p_i es una preimagen de p_{i− 1} bajo A − λI. Entonces, el vector principal genera la cadena a través de la multiplicación por A − λI. Por lo tanto, la afirmación de que cada matriz cuadrada A se puede poner en la forma normal de Jordan es equivalente a la afirmación de que el espacio vectorial subyacente tiene una base compuesta por cadenas de Jordan.

Una prueba

Damos una prueba por inducción de que cualquier matriz cuadrada de valores complejos A puede ponerse en la forma normal de Jordan. Dado que se puede demostrar que el espacio vectorial subyacente es la suma directa de los subespacios invariantes asociados con los valores propios, se puede suponer que A tiene un solo valor propio λ. El caso 1 × 1 es trivial. Sea A una matriz n × n. El rango de A − λI, denotado por Ran(A − λ I), es un subespacio invariante de A. Además, dado que λ es un valor propio de A, la dimensión de Ran(A − λI ), r, es estrictamente menor que n, por lo que, según la hipótesis inductiva, Ran(A − λ I) tiene una base {p₁,..., p_r} compuesto por cadenas Jordan.

A continuación, considere el kernel, es decir, el subespacio ker(A − λI). Si

{displaystyle operatorname {Ran} (A-lambda I)cap ker(A-lambda I)={0},}

el resultado deseado se sigue inmediatamente del teorema de rango-nulidad. (Este sería el caso, por ejemplo, si A fuera hermitiano).

De lo contrario, si

{displaystyle Q=operatorname {Ran} (A-lambda I)cap ker(A-lambda I)neq {0},}

sea la dimensión de Q s ≤ r. Cada vector en Q es un vector propio, por lo que Ran(A − λI) debe contener s Cadenas de Jordan correspondientes a s vectores propios linealmente independientes. Por lo tanto la base {p₁,..., p_r} debe contienen vectores s, digamos {p_r−s+1,..., p_r}, que son vectores de plomo de estas cadenas de Jordan. Podemos "extender las cadenas" tomando las preimágenes de estos vectores principales. (Este es el paso clave). Sea q_i tal que

; (A - lambda I) q_i = p_i mbox{ for } i = r-s+1, ldots, r.

El conjunto {q_i}, siendo preimágenes del conjunto linealmente independiente {p_i} bajo A − λ I, también es linealmente independiente. Claramente, ninguna combinación lineal no trivial de q_i puede estar en ker(A − λI ), para {p_i}_{i=r−s+1,..., r} es linealmente independiente. Además, ninguna combinación lineal no trivial de q_i puede pertenecer a Ran(A − λ I) porque sería entonces una combinación lineal de los vectores básicos p₁,..., p_r, y esta combinación lineal tendría una contribución de vectores básicos que no están en ker(A − λI) porque de lo contrario pertenecería a ker(A − λI). La acción de A − λI en ambas combinaciones lineales produciría entonces la igualdad de una combinación lineal no trivial de vectores principales y una combinación lineal de vectores no principales, lo que contradiría la independencia lineal de (p₁,..., p_r).

Finalmente, podemos escoger cualquier conjunto linealmente independiente {z₁,..., z_t} cuya proyección abarca

{displaystyle ker(A-lambda I)/Q.}

Cada z_i forma una cadena de Jordan de longitud 1. Por construcción, la unión de los tres conjuntos {p₁,..., p_r}, {q _{r−s +1},..., q_r}, y {z₁,..., z_t} es linealmente independiente y sus miembros se combinan para formar cadenas de Jordan. Finalmente, por el teorema de rango-nulidad, la cardinalidad de la unión es n. En otras palabras, hemos encontrado una base compuesta por cadenas de Jordan, y esto muestra que A se puede poner en la forma normal de Jordan.

Singularidad

Se puede demostrar que la forma normal de Jordan de una matriz dada A es única hasta el orden de los bloques de Jordan.

Conocer las multiplicidades algebraicas y geométricas de los valores propios no es suficiente para determinar la forma normal de Jordan de A. Suponiendo que se conoce la multiplicidad algebraica m(λ) de un valor propio λ, la estructura de la forma de Jordan se puede determinar analizando los rangos de las potencias (A − λI)^m(λ). Para ver esto, supongamos que una matriz n × n A tiene solo un valor propio λ. Entonces m(λ) = n. El entero más pequeño k₁ tal que

(A - lambda I)^{k_1} = 0

es el tamaño del bloque Jordan más grande en la forma Jordan de A. (Este número k₁ también se denomina índice de λ. Consulte la discusión en la siguiente sección). rango de

(A - lambda I)^{k_1 - 1}

es el número de bloques Jordan de tamaño k₁. Del mismo modo, el rango de

(A - lambda I)^{k_1 - 2}

es el doble del número de bloques de Jordan de tamaño k₁ más el número de bloques de Jordan de tamaño k₁ − 1. El caso general es similar.

Esto se puede usar para mostrar la singularidad de la forma de Jordan. Sean J₁ y J₂ dos formas normales de Jordan de A. Entonces J₁ y J₂ son similares y tienen el mismo espectro, incluidas las multiplicidades algebraicas de los valores propios. El procedimiento descrito en el párrafo anterior se puede utilizar para determinar la estructura de estas matrices. Dado que el rango de una matriz se conserva mediante la transformación de similitud, existe una biyección entre los bloques de Jordan de J₁ y J₂. Esto prueba la parte de unicidad de la afirmación.

Matrices reales

Si A es una matriz real, su forma de Jordania todavía puede ser no real. En lugar de representarlo con complejos eigenvalues y otros en la superdiagonal, como se ha dicho anteriormente, existe una matriz invertible real P tales que P⁻¹AP = J es una matriz diagonal de bloque real con cada bloque siendo un verdadero bloque Jordan. Un verdadero bloque de Jordania es idéntico a un complejo bloque de Jordania (si el eigenvalue correspondiente) $lambda _{i}$ es real), o es una matriz de bloque en sí, que consiste de 2 bloques x 2 (para el eigenvalue no real $lambda_i = a_i+ib_i$ con la multiplicidad algebraica dada) de la forma

{displaystyle C_{i}=left[{begin{array}{rr}a_{i}&-b_{i}\b_{i}&a_{i}\end{array}}right]}

y describir la multiplicación por $lambda _{i}$ en el plano complejo. Los bloques superdiagonales son matrices de identidad 2×2 y por lo tanto en esta representación las dimensiones de la matriz son más grandes que la compleja forma de Jordania. El verdadero bloque Jordan es dado por

{displaystyle J_{i}={begin{bmatrix}C_{i}&I&&\&C_{i}&ddots &\&&ddots &I\&&&C_{i}end{bmatrix}}.}

Esta forma real de Jordan es una consecuencia de la forma compleja de Jordan. Para una matriz real, los vectores propios no reales y los vectores propios generalizados siempre se pueden elegir para formar pares conjugados complejos. Tomando la parte real e imaginaria (combinación lineal del vector y su conjugado), la matriz tiene esta forma con respecto a la nueva base.

Matrices con entradas en un campo

La reducción de Jordan se puede extender a cualquier matriz cuadrada M cuyas entradas se encuentran en un campo K. El resultado establece que cualquier M se puede escribir como una suma D + N donde D es semisimple, N es nilpotente, y DN = ND. Esto se llama descomposición de Jordan-Chevalley. Siempre que K contiene los valores propios de M, en particular cuando K es algebraicamente cerrado, la forma normal puede expresarse explícitamente como la suma directa de Jordan bloques

Similar al caso cuando K son los números complejos, conociendo las dimensiones de los núcleos de (M − λI)^k para 1 ≤ k ≤ m, donde m es la multiplicidad algebraica del valor propio λ, permite determinar la forma de Jordan de M. Podemos ver el espacio vectorial subyacente V como un módulo K[x] considerando la acción de x en V como aplicación de M y extendiéndose por K-linealidad. Entonces los polinomios (x − λ)^k son los divisores elementales de M, y la forma normal de Jordan se ocupa de representar M en términos de bloques asociados a los divisores elementales.

La demostración de la forma normal de Jordan se suele realizar como una aplicación al anillo K[x] del teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un ideal principal dominio, del cual es un corolario.

Consecuencias

Se puede ver que la forma normal de Jordan es esencialmente un resultado de clasificación para matrices cuadradas y, como tal, varios resultados importantes del álgebra lineal pueden verse como sus consecuencias.

Teorema del mapeo espectral

Usando la forma normal de Jordan, el cálculo directo da un teorema de mapeo espectral para el cálculo funcional polinomial: Sea A un n × n matriz con valores propios λ₁,..., λ_n, entonces para cualquier polinomio p, p(A) tiene valores propios p(λ₁),..., p(λ_n).

Polinomio característico

El polinomio característico $A$ es ${displaystyle p_{A}(lambda)=det(lambda I-A)}$ . Las matrices similares tienen el mismo polinomio característico. Por lo tanto, ${textstyle p_{A}(lambda)=p_{J}(lambda)=prod _{i}(lambda -lambda _{i})^{m_{i}}}$ , Donde $lambda _{i}$ es ila raíz de ${textstyle p_{J}}$ y $m_{i}$ es su multiplicidad, porque es claramente el polinomio característico de la forma Jordana de A.

Teorema de Cayley-Hamilton

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que cada matriz A satisface su ecuación característica: si $p$ es el polinomio característico $A$ , entonces ${displaystyle p_{A}(A)=0}$ . Esto se puede mostrar mediante cálculo directo en la forma Jordania, ya que si $lambda _{i}$ es un eigenvalue de la multiplicidad $m$ , entonces su bloque Jordan $J_{i}$ claramente satisfice ${displaystyle (J_{i}-lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$ . Como los bloques diagonales no se afectan, ibloque diagonal ${displaystyle (A-lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ es ${displaystyle (J_{i}-lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$ ; por lo tanto ${textstyle p_{A}(A)=prod _{i}(A-lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$ .

Se puede suponer que la forma de Jordan existe sobre un campo que se extiende al campo base de la matriz, por ejemplo, sobre el campo de división de $p$ ; esta extensión de campo no cambia la matriz $p (A)$ de ninguna manera.

Polinomio mínimo

El polinomio mínimo P de una matriz cuadrada A es el único polinomio mónico de menor grado, m, tal que P(A) = 0. Alternativamente, el conjunto de polinomios que anulan un A dado forman un I ideal en C[x], el dominio ideal principal de polinomios con coeficientes complejos. El elemento mónico que genera I es precisamente P.

Sea λ₁,..., λ_q el valores propios distintos de A, y s_i ser el tamaño del bloque de Jordan más grande correspondiente a λ _i. Está claro a partir de la forma normal de Jordan que el polinomio mínimo de A tiene un grado $Σ$ s_yo.

Mientras que la forma normal de Jordan determina el polinomio mínimo, lo contrario no es cierto. Esto lleva a la noción de divisores elementales. Los divisores elementales de una matriz cuadrada A son los polinomios característicos de sus bloques de Jordan. Los factores del polinomio mínimo m son los divisores elementales de mayor grado correspondientes a valores propios distintos.

El grado de un divisor elemental es el tamaño del bloque de Jordan correspondiente, por lo tanto, la dimensión del subespacio invariante correspondiente. Si todos los divisores elementales son lineales, A es diagonalizable.

Descomposiciones subespaciales invariantes

La forma de Jordan de una matriz n × n A es una diagonal de bloque y, por lo tanto, proporciona una descomposición de n espacio euclidiano dimensional en subespacios invariantes de A. Cada bloque de Jordan J_i corresponde a un subespacio invariante X_i. Simbólicamente ponemos

mathbb{C}^n = bigoplus_{i = 1}^k X_i

donde cada X_i es el intervalo de la correspondiente cadena de Jordan, y k es el número de Jordan cadenas.

También se puede obtener una descomposición ligeramente diferente a través de la forma de Jordan. Dado un valor propio λ_i, el tamaño de su bloque Jordan correspondiente más grande s_i se llama el índice de λ_i y se denota por v (λ_i). (Por lo tanto, el grado del polinomio mínimo es la suma de todos los índices). Defina un subespacio Y_i por

{displaystyle Y_{i}=ker(lambda _{i}I-A)^{v(lambda _{i})}.}

Esto da la descomposición

mathbb{C}^n = bigoplus_{i = 1}^l Y_i

donde l es el número de valores propios distintos de A. Intuitivamente, agrupamos los subespacios invariantes del bloque de Jordan correspondientes al mismo valor propio. En el caso extremo donde A es un múltiplo de la matriz identidad tenemos k = n y l = 1.

La proyección sobre Y_i y a lo largo de todas las demás Y_j (j ≠ i) se llama la proyección espectral de A en v_i y generalmente se denota por P(λ_i; A) . Las proyecciones espectrales son mutuamente ortogonales en el sentido de que P(λ_i; A) P(v_j; A) = 0 si i ≠ j. También conmutan con A y su suma es la matriz identidad. Reemplazando cada v_i en la matriz de Jordan J por uno y poniendo a cero todas las demás entradas da P(v_i; J), además si U J U⁻¹ es la transformación de similitud tal que A = U J U⁻¹ entonces P(λ_i; A) = UP(λ_i; J) U⁻¹. No están confinados a dimensiones finitas. Consulte a continuación su aplicación a operadores compactos y en cálculo funcional holomorfo para una discusión más general.

Al comparar las dos descomposiciones, observe que, en general, l ≤ k. Cuando A es normal, los subespacios X_i's en la primera descomposición son unidimensionales y mutuamente ortogonales. Este es el teorema espectral para operadores normales. La segunda descomposición se generaliza más fácilmente para operadores compactos generales en espacios de Banach.

Podría ser de interés observar aquí algunas propiedades del índice, ν(λ). Más generalmente, para un número complejo λ, su índice se puede definir como el menor número entero no negativo ν(λ) tal que

{displaystyle ker(A-lambda I)^{nu (lambda)}=ker(A-lambda I)^{m},;forall mgeq nu (lambda).}

Entonces ν(v) > 0 si y solo si λ es un valor propio de A. En el caso de dimensión finita, ν(v) ≤ la multiplicidad algebraica de v.

Forma normal plana (plana)

La forma de Jordan se usa para encontrar una forma normal de matrices hasta la conjugación, de modo que las matrices normales formen una variedad algebraica de un grado fijo bajo en el espacio matricial ambiental.

Los conjuntos de representantes de las clases de conjugación de matrices para la forma normal de Jordan o las formas canónicas racionales en general no constituyen lineales o subespacios afines en los espacios de la matriz ambiental.

Vladimir Arnold planteó un problema: Encuentre una forma canónica de matrices sobre un campo para el cual el conjunto de representantes de las clases de conjugación de matrices es una unión de subespacios lineales afines (planos). En otras palabras, asigne inyectivamente el conjunto de clases de conjugación de matrices al conjunto inicial de matrices para que la imagen de esta incrustación, el conjunto de todas las matrices normales, tenga el grado más bajo posible, sea una unión de subespacios lineales desplazados.

Fue resuelto para campos algebraicamente cerrados por Peteris Daugulis. La construcción de una forma normal plana definida unívocamente de una matriz comienza considerando su forma normal de Jordan.

Funciones matriciales

La iteración de la cadena Jordan motiva varias extensiones a entornos más abstractos. Para matrices finitas, se obtienen funciones matriciales; esto se puede extender a operadores compactos y al cálculo funcional holomorfo, como se describe más adelante.

La forma normal de Jordan es la más conveniente para el cálculo de las funciones matriciales (aunque puede que no sea la mejor opción para los cálculos informáticos). Sea f(z) una función analítica de un argumento complejo. La aplicación de la función en un bloque de Jordan n×n J con valor propio λ da como resultado una matriz triangular superior:

{displaystyle f(J)={begin{bmatrix}f(lambda)&f'(lambda)&{tfrac {f''(lambda)}{2}}&cdots &{tfrac {f^{(n-1)}(lambda)}{(n-1)!}}\0&f(lambda)&f'(lambda)&cdots &{tfrac {f^{(n-2)}(lambda)}{(n-2)!}}\vdots &vdots &ddots &ddots &vdots \0&0&0&f(lambda)&f'(lambda)\0&0&0&0&f(lambda)end{bmatrix}},}

para que los elementos de los k-la superdiagonal de la matriz resultante son ${displaystyle {tfrac {f^{(k)}(lambda)}{k!}}}$ . Para una matriz de la forma normal general de Jordania, la expresión anterior se aplicará a cada bloque de Jordania.

El siguiente ejemplo muestra la aplicación a la función de potencia f(z) = zⁿ:

{displaystyle {begin{bmatrix}lambda _{1}&1&0&0&0\0&lambda _{1}&1&0&0\0&0&lambda _{1}&0&0\0&0&0&lambda _{2}&1\0&0&0&0&lambda _{2}end{bmatrix}}^{n}={begin{bmatrix}lambda _{1}^{n}&{tbinom {n}{1}}lambda _{1}^{n-1}&{tbinom {n}{2}}lambda _{1}^{n-2}&0&0\0&lambda _{1}^{n}&{tbinom {n}{1}}lambda _{1}^{n-1}&0&0\0&0&lambda _{1}^{n}&0&0\0&0&0&lambda _{2}^{n}&{tbinom {n}{1}}lambda _{2}^{n-1}\0&0&0&0&lambda _{2}^{n}end{bmatrix}},}

donde se definen los coeficientes binomiales ${textstyle {binom {n}{k}}=prod _{i=1}^{k}{frac {n+1-i}{i}}}$ . Para entero positivo n reduce a la definición estándar de los coeficientes. Para negativo n la identidad ${textstyle {binom {-n}{k}}=(-1)^{k}{binom {n+k-1}{k}}}$ puede ser de utilidad.

Operadoras compactas

(feminine)

Un resultado análogo a la forma normal de Jordan se cumple para operadores compactos en un espacio de Banach. Uno se restringe a operadores compactos porque cada punto x en el espectro de un operador compacto T es un valor propio; La única excepción es cuando x es el punto límite del espectro. Esto no es cierto para los operadores acotados en general. Para dar una idea de esta generalización, primero reformulamos la descomposición de Jordan en el lenguaje del análisis funcional.

Cálculo funcional holomorfo

Sea X un espacio de Banach, L(X) los operadores acotados en X, y σ(T) denota el espectro de T ∈ L(X). El cálculo funcional holomorfo se define de la siguiente manera:

Fijar un operador acotado T. Considere la familia Hol(T) de funciones complejas que es holomorfa en algún conjunto abierto G que contiene σ(T). Sea Γ = {γ_i} una colección finita de curvas de Jordan tal que σ(T) se encuentra en el interior de Γ, definimos f(T) por

{displaystyle f(T)={frac {1}{2pi i}}int _{Gamma }f(z)(z-T)^{-1},dz.}

El conjunto abierto G podría variar con f y no necesita estar conectado. La integral se define como el límite de las sumas de Riemann, como en el caso escalar. Aunque la integral tiene sentido para la f continua, nos restringimos a las funciones holomorfas para aplicar la maquinaria de la teoría clásica de funciones (por ejemplo, la fórmula de la integral de Cauchy). La suposición de que σ(T) se encuentra en el interior de Γ asegura que f(T) esté bien definido; no depende de la elección de Γ. El cálculo funcional es el mapeo Φ de Hol(T) a L(X) dado por

; Phi(f) = f(T).

Necesitaremos las siguientes propiedades de este cálculo funcional:

Ё extiende el cálculo funcional polinomio.
El espectral mapping theorem sostiene: σ()f()T) = f()σ()T)).
⋅ es un homomorfismo álgebra.

El caso de dimensión finita

En el caso de dimensión finita, σ(T) = {λ_i} es un conjunto discreto finito en el plano complejo. Sea e_i la función que es 1 en alguna vecindad abierta de λ_i y 0 en cualquier otro lugar. Por la propiedad 3 del cálculo funcional, el operador

{displaystyle e_{i}(T)}

es una proyección. Además, sea ν_i el índice de λ_i y

f(z)= (z - lambda_i)^{nu_i}.

El teorema del mapeo espectral nos dice

f(T) e_i (T) = (T - lambda_i)^{nu_i} e_i (T)

tiene espectro {0}. Por la propiedad 1, f(T) se puede calcular directamente en la forma de Jordan, y por inspección, vemos que el operador f(T)e_i(T) es la matriz cero.

Por propiedad 3, f(T) e_i(T) = e_i(T) f (T). Entonces e_i(T) es precisamente la proyección sobre el subespacio

{displaystyle operatorname {Ran} e_{i}(T)=ker(T-lambda _{i})^{nu _{i}}.}

La relación

{displaystyle sum _{i}e_{i}=1}

implica

{displaystyle mathbb {C} ^{n}=bigoplus _{i};operatorname {Ran} e_{i}(T)=bigoplus _{i}ker(T-lambda _{i})^{nu _{i}}}

donde el índice i pasa por los distintos valores propios de T. Esta es la descomposición subespacial invariante

mathbb{C}^n = bigoplus_i Y_i

dado en una sección anterior. Cada e_i(T) es la proyección sobre el subespacio atravesado por las cadenas de Jordan correspondientes a λ_i y a lo largo de los subespacios generados por las cadenas de Jordan correspondientes a v_j para j ≠ yo. En otras palabras, e_i(T) = P(λ_i;T). Esta identificación explícita de los operadores e_i(T) a su vez da una forma explícita de cálculo funcional holomorfo para matrices:

Para todos f ¬T),

f(T) = sum_{lambda_i in sigma(T)} sum_{k = 0}^{nu_i -1} frac{f^{(k)}}{k!} (T - lambda_i)^k e_i (T).

Observe que la expresión de f(T) es una suma finita porque, en cada vecindad de v_i, hemos elegido el desarrollo en serie de Taylor de f centrado en v_i.

Polos de una operadora

(feminine)

Sea T un operador acotado λ sea un punto aislado de σ(T). (Como se indicó anteriormente, cuando T es compacto, cada punto en su espectro es un punto aislado, excepto posiblemente el punto límite 0).

El punto λ se llama polo del operador T de orden ν si la función resolvente R_T definido por

{displaystyle R_{T}(lambda)=(lambda -T)^{-1}}

tiene un polo de orden ν en λ.

Mostraremos que, en el caso de dimensión finita, el orden de un valor propio coincide con su índice. El resultado también es válido para operadores compactos.

Considere la región anular A centrada en el valor propio λ con un radio suficientemente pequeño ε tal que la intersección del disco abierto B_ε(λ) y σ(T) es {λ}. La función de resolución R_T es holomorfa en A. Extendiendo un resultado de la teoría de funciones clásica, R_T tiene una representación en serie de Laurent en A:

{displaystyle R_{T}(z)=sum _{-infty }^{infty }a_{m}(lambda -z)^{m}}

dónde

a_{-m} = - frac{1}{2 pi i} int_C (lambda - z) ^{m-1} (z - T)^{-1} d z

y C es un pequeño círculo centrado enλ.

Por la discusión previa sobre el cálculo funcional,

{displaystyle a_{-m}=-(lambda -T)^{m-1}e_{lambda }(T)}

Donde

{displaystyle e_{lambda }}

1 on

{displaystyle B_{varepsilon }(lambda)}

y 0 en otro lugar.

Pero hemos demostrado que el entero positivo más pequeño m tal que

a_{-m} neq 0

a_{-l} = 0 ; ; forall ; l geq m

es precisamente el índice de λ, ν(λ). En otras palabras, la función R_T tiene un polo de orden ν(λ) en λ.

Análisis numérico

Si la matriz A tiene múltiples valores propios, o está cerca de una matriz con múltiples valores propios, entonces su forma normal de Jordan es muy sensible a las perturbaciones. Considere por ejemplo la matriz

A = begin{bmatrix} 1 & 1 \ varepsilon & 1 end{bmatrix}.

Si ε = 0, entonces la forma normal de Jordan es simplemente

begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 end{bmatrix}.

Sin embargo, para ε ≠ 0, la forma normal de Jordan es

begin{bmatrix} 1+sqrtvarepsilon & 0 \ 0 & 1-sqrtvarepsilon end{bmatrix}.

Este mal condicionamiento hace que sea muy difícil desarrollar un algoritmo numérico sólido para la forma normal de Jordan, ya que el resultado depende de forma crítica de si se considera que dos valores propios son iguales. Por esta razón, la forma normal de Jordan suele evitarse en el análisis numérico; la descomposición estable de Schur o los pseudoespectros son mejores alternativas.

Más resultados...