Iteración del cociente de Rayleigh

iteración del cociente de Rayleigh es un algoritmo de valores propios que amplía la idea de la iteración inversa utilizando el cociente de Rayleigh para obtener estimaciones de valores propios cada vez más precisas.

La iteración del cociente de Rayleigh es un método iterativo, es decir, entrega una secuencia de soluciones aproximadas que converge a una solución verdadera en el límite. Se garantiza una convergencia muy rápida y en la práctica no se necesitan más que unas pocas iteraciones para obtener una aproximación razonable. El algoritmo de iteración del cociente de Rayleigh converge cúbicamente para matrices hermitianas o simétricas, dado un vector inicial que esté suficientemente cerca de un vector propio de la matriz que se está analizando.

Algoritmo

El algoritmo es muy similar a la iteración inversa, pero reemplaza el valor estimado al final de cada iteración con el cociente Rayleigh. Comience por elegir algún valor ${displaystyle mu _{0}}$ como una suposición eigenvalua inicial para la matriz hermitiana ${displaystyle A}$. Un vector inicial ${displaystyle B_{0}$ también debe ser suministrado como suposición eigenvector inicial.

Calcular la siguiente aproximación del eigenvector ${displaystyle B_{i+1}$ por

$${displaystyle b_{i+1}={frac {i}I}{-1}b_{i}{f}{f}{fnfnegocio(a) A-mu _{i}I)^{-1}b_{i}$$

${displaystyle Yo...$

$${displaystyle mu _{i+1}={frac {b_{i+1} {b_{i+1}} {b_{i+1}} {}b_{i+1}}}}}$$

Para calcular más de un valor propio, el algoritmo se puede combinar con una técnica de deflación.

Tenga en cuenta que para problemas muy pequeños es beneficioso reemplazar la matriz inversa con el conjugado, lo que producirá la misma iteración porque es igual a la inversa hasta una escala irrelevante (la inversa del determinante, específicamente). El conjugado es más fácil de calcular explícitamente que el inverso (aunque el inverso es más fácil de aplicar a un vector para problemas que no son pequeños) y es más sólido numéricamente porque permanece bien definido cuando el valor propio converge.

Ejemplo

Considere la matriz

${displaystyle A=left[{begin{matrix}1 tendría 2 resultados 31 tendría 2 resultados positivos13 recur2 iguales13\\3\\\\end{matrix}right]$

para los cuales los eigenvalues exactos son ${displaystyle lambda # {1}=3+{sqrt {}}$, ${displaystyle lambda # {2}=3-{sqrt {}}$ y ${displaystyle lambda ¿Qué?$, con los eigenvectores correspondientes

${displaystyle v_{1}=left[{begin{matrix}1\varphi -111\end{matrix}right]$, ${displaystyle v_{2}=left[{begin{matrix}1-varphi \1\end{matrix}right]}$ y ${displaystyle v_{3}=left[{begin{matrix}1$