Isomorfismo de grupo

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En álgebra abstracta, un isomorfismo de grupo es una función entre dos grupos que establece una correspondencia uno a uno entre los elementos de los grupos de una manera que respeta las operaciones de grupo dadas. Si existe un isomorfismo entre dos grupos, entonces los grupos se llaman isomorfos. Desde el punto de vista de la teoría de grupos, los grupos isomorfos tienen las mismas propiedades y no es necesario distinguirlos.

Definición y notación

Dados dos grupos $(G, *)$ y ${displaystyle (H,odot),}$ a grupo isomorfismo desde $(G, *)$ a ${displaystyle (H,odot)}$ es un grupo bijetivo homomorfismo de $G$ a $H.$ Expulsado, esto significa que un isomorfismo de grupo es una función bijeactiva $f:Gto H$ tal que para todos $u$ y $v$ dentro $G$ sostiene que

{displaystyle f(u*v)=f(u)odot f(v).}

Los dos grupos $(G, *)$ y ${displaystyle (H,odot)}$ son isomorfos si existe un isomorfismo de uno a otro. Esto está escrito

{displaystyle (G,*)cong (H,odot).}

A menudo se pueden usar notaciones más cortas y simples. Cuando se entienden las operaciones de grupo relevantes, se omiten y se escribe

{displaystyle Gcong H.}

A veces uno puede escribir simplemente ${displaystyle G=H.}$ Si tal notación es posible sin confusión o ambigüedad depende del contexto. Por ejemplo, el signo igual no es muy adecuado cuando los grupos son ambos subgrupos del mismo grupo. Vea también los ejemplos.

Por el contrario, dado un grupo ${displaystyle (G,*),}$ un conjunto $H,$ y una bijeción ${displaystyle f:Gto H,}$ podemos hacer $H$ grupo ${displaystyle (H,odot)}$ definiendo

{displaystyle f(u)odot f(v)=f(u*v).}

Si ${displaystyle H=G}$ y ${displaystyle odot =*}$ entonces la bijeción es un automorfismo (q.v.).

Intuitivamente, los teóricos del grupo ven dos grupos isomorfos como sigue: Por cada elemento $g$ de un grupo $G,$ existe un elemento $h$ de $H$ tales que $h$ "se comporta de la misma manera" $g$ (opera con otros elementos del grupo de la misma manera que $g$ ). Por ejemplo, si $g$ genera $G,$ entonces lo hace $h.$ Esto implica, en particular, que $G$ y $H$ están en correspondencia bijeactiva. Así, la definición de un isomorfismo es bastante natural.

Un isomorfismo de grupos puede definirse de manera equivalente como un homomorfismo de grupo invertible (la función inversa de un homomorfismo de grupo biyectivo también es un homomorfismo de grupo).

Ejemplos

En esta sección se enumeran algunos ejemplos notables de grupos isomorfos.

El grupo de todos los números reales bajo adición, ${displaystyle (mathbb {R}+)}$ , es isomorfo al grupo de números reales positivos bajo la multiplicación ${displaystyle (mathbb {R} ^{+},times)}$ :
${displaystyle (mathbb {R}+)cong (mathbb {R} ^{+},times)}$ a través del isomorfismo $f(x)=e^{x}$ .
El grupo $mathbb {Z}$ de enteros (con adición) es un subgrupo de ${displaystyle mathbb {R}}$ y el grupo factorial ${displaystyle mathbb {R} /mathbb {Z} }$ es isomorfo para el grupo $S^{1}$ de números complejos de valor absoluto 1 (bajo multiplicación):
${displaystyle mathbb {R} /mathbb {Z} cong S^{1}}$
El grupo Klein es isomorfo al producto directo de dos copias de ${displaystyle mathbb {Z} _{2}=mathbb {Z} /2mathbb {Z} }$ , y por lo tanto puede ser escrito ${displaystyle mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{2}.}$ Otra notación es ${displaystyle operatorname {Dih} _{2},}$ porque es un grupo dihedral.
Generalizando esto, para siempre ${displaystyle n,}$ ${displaystyle operatorname {Dih} _{2n}}$ es isomorfo al producto directo ${displaystyle operatorname {Dih} _{n}}$ y ${displaystyle mathbb {Z} _{2}.}$
Si $(G, *)$ es un grupo cíclico infinito, entonces $(G, *)$ es isomorfo a los enteros (con la operación adicional). Desde un punto de vista algebraico, esto significa que el conjunto de todos los enteros (con la operación adicional) es el "sólo" grupo cíclico infinito.

Se puede probar que algunos grupos son isomorfos, basándose en el axioma de elección, pero la prueba no indica cómo construir un isomorfismo concreto. Ejemplos:

El grupo ${displaystyle (mathbb {R}+)}$ es isomorfo para el grupo ${displaystyle (mathbb {C}+)}$ de todos los números complejos bajo adición.
El grupo ${displaystyle (mathbb {C} ^{*},cdot)}$ de números complejos no cero con multiplicación ya que la operación es isomorfa al grupo $S^{1}$ mencionado anteriormente.

Propiedades

El núcleo de un isomorfismo $(G, *)$ a ${displaystyle (H,odot)}$ es siempre {e_G}, donde e_G es la identidad del grupo $(G, *)$

Si $(G, *)$ y ${displaystyle (H,odot)}$ son isomorfos, entonces $G$ es abeliano si y sólo si $H$ es abeliano.

Si $f$ es un isomorfismo de $(G, *)$ a ${displaystyle (H,odot),}$ entonces para cualquier ${displaystyle ain G,}$ el orden $a$ iguala el orden $f(a).$

Si $(G, *)$ y ${displaystyle (H,odot)}$ son isomorfos, entonces $(G, *)$ es un grupo localmente finito si y sólo si ${displaystyle (H,odot)}$ es localmente finito.

El número de grupos distintos (hasta el isomorfismo) del orden $n$ se da por secuencia A000001 en el OEIS. Los primeros números son 0, 1, 1, 1 y 2 que significa que 4 es el orden más bajo con más de un grupo.

Grupos cíclicos

Todos los grupos cíclicos de un orden dado son isomorfos a ${displaystyle (mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$ Donde $+_{n}$ denotes addition modulo $n.$

Vamos $G$ ser un grupo cíclico y $n$ ser el orden $G.$ Letting $x$ ser un generador de $G$ , $G$ entonces es igual a ${displaystyle langle xrangle =left{e,x,ldotsx^{n-1}right}.}$ Vamos a mostrar que

{displaystyle Gcong (mathbb {Z} _{n},+_{n}).}

Definir

{displaystyle varphi:Gto mathbb {Z} _{n}={0,1,ldotsn-1},}

{displaystyle varphi (x^{a})=a.}

varphi

{displaystyle varphi (x^{a}cdot x^{b})=varphi (x^{a+b})=a+b=varphi (x^{a})+_{n}varphi (x^{b}),}

{displaystyle Gcong (mathbb {Z} _{n},+_{n}).}

Consecuencias

De la definición, sigue que cualquier isomorfismo $f:Gto H$ mapa del elemento de identidad $G$ al elemento de identidad $H,$

{displaystyle f(e_{G})=e_{H},}

{displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}quad {text{ for all }}uin G,}

n

n

{displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}quad {text{ for all }}uin G,}

{displaystyle f^{-1}:Hto G}

La relación "ser isomorfa" satisfies es una relación de equivalencia. Si $f$ es un isomorfismo entre dos grupos $G$ y $H,$ entonces todo lo que es verdad $G$ que sólo está relacionado con la estructura del grupo se puede traducir a través $f$ en una verdadera ditto declaración sobre $H,$ y viceversa.

Automorfismos

Un isomorfismo de un grupo $(G, *)$ a sí mismo se llama automorfismo del grupo. Así es una bijeción ${displaystyle f:Gto G}$ tales que

{displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v).}

La imagen bajo un automorfismo de una clase de conjugación es siempre una clase de conjugación (la misma u otra).

La composición de dos automorfismos es otra vez un automorfismo, y con esta operación el conjunto de todos los automorfismos de un grupo $G,$ denotado por ${displaystyle operatorname {Aut} (G),}$ forma un grupo, el grupo automorfismo de $G.$

Para todos los grupos abelianos hay al menos el automorfismo que reemplaza los elementos del grupo por sus inversos. Sin embargo, en grupos donde todos los elementos son iguales a sus inversos este es el automorfismo trivial, por ejemplo en el grupo Klein. Para ese grupo todas las permutaciones de los tres elementos no-identitarios son automorfismos, por lo que el grupo automorfismo es isomorfo a $S_{3}$ (que en sí es isomorfo a ${displaystyle operatorname {Dih} _{3}}$ ).

In ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ para un número primo $p,$ un elemento no-identitario puede ser reemplazado por cualquier otro, con cambios correspondientes en los otros elementos. El grupo automorfismo es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} _{p-1}}$ Por ejemplo, ${displaystyle n=7,}$ multiplicando todos los elementos ${displaystyle mathbb {Z} _{7}}$ por 3, modulo 7, es un automorfismo del orden 6 en el grupo automorfismo, porque ${displaystyle 3^{6}equiv 1{pmod {7}},}$ mientras que los poderes inferiores no dan 1. Así, este automorfismo genera ${displaystyle mathbb {Z} _{6}.}$ Hay un automorfismo más con esta propiedad: multiplicando todos los elementos ${displaystyle mathbb {Z} _{7}}$ por 5, modulo 7. Por lo tanto, estos dos corresponden a los elementos 1 y 5 de ${displaystyle mathbb {Z} _{6},}$ en ese orden o al revés.

El grupo de automorfismo ${displaystyle mathbb {Z} _{6}}$ es isomorfo a ${displaystyle mathbb {Z} _{2},}$ porque sólo cada uno de los dos elementos 1 y 5 generan ${displaystyle mathbb {Z} _{6},}$ así que aparte de la identidad sólo podemos intercambiarlas.

El grupo de automorfismo ${displaystyle mathbb {Z} _{2}oplus mathbb {Z} _{2}oplus oplus mathbb {Z} _{2}=operatorname {Dih} _{2}oplus mathbb {Z} _{2}}$ tiene orden 168, como se puede encontrar a continuación. Los 7 elementos no-identitarios juegan el mismo papel, así que podemos elegir cuál juega el papel de ${displaystyle (1,0,0).}$ Cualquiera de los 6 restantes puede ser elegido para desempeñar el papel de (0,1,0). Esto determina qué elemento corresponde a ${displaystyle (1,1,0).}$ Para $(0,0,1)$ podemos elegir de 4, que determina el resto. Así tenemos ${displaystyle 7times 6times 4=168}$ automorfismos. Corresponden a los del plano Fano, de los cuales los 7 puntos corresponden a los 7 no-identidad elementos. Las líneas que conectan tres puntos corresponden a la operación del grupo: $a, b,$ y $c$ en una línea significa ${displaystyle a+b=c,}$ ${displaystyle a+c=b,}$ y ${displaystyle b+c=a.}$ Vea también grupo lineal general sobre campos finitos.