Isomorfismo de grupo

En álgebra abstracta, un isomorfismo de grupo es una función entre dos grupos que establece una correspondencia uno a uno entre los elementos de los grupos de una manera que respeta las operaciones de grupo dadas. Si existe un isomorfismo entre dos grupos, entonces los grupos se llaman isomorfos. Desde el punto de vista de la teoría de grupos, los grupos isomorfos tienen las mismas propiedades y no es necesario distinguirlos.

Definición y notación

Dados dos grupos ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)} y ()H,⊙ ⊙ ),{displaystyle (H,odot),} a grupo isomorfismo desde ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)} a ()H,⊙ ⊙ ){displaystyle (H,odot)} es un grupo bijetivo homomorfismo de G{displaystyle G. a H.{displaystyle H.} Expulsado, esto significa que un isomorfismo de grupo es una función bijeactiva f:G→ → H{displaystyle f:Gto H} tal que para todos u{displaystyle u} y v{displaystyle v} dentro G{displaystyle G. sostiene que

f()uAlternativa Alternativa v)=f()u)⊙ ⊙ f()v).{displaystyle f(u*v)=f(u)odot f(v).}

Los dos grupos ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)} y ()H,⊙ ⊙ ){displaystyle (H,odot)} son isomorfos si existe un isomorfismo de uno a otro. Esto está escrito

()G,Alternativa Alternativa ).. ()H,⊙ ⊙ ).{displaystyle (G,*)cong (H,odot). }

A menudo se pueden usar notaciones más cortas y simples. Cuando se entienden las operaciones de grupo relevantes, se omiten y se escribe

G.. H.{displaystyle Gcong H.}

A veces uno puede escribir simplemente G=H.{displaystyle G=H.} Si tal notación es posible sin confusión o ambigüedad depende del contexto. Por ejemplo, el signo igual no es muy adecuado cuando los grupos son ambos subgrupos del mismo grupo. Vea también los ejemplos.

Por el contrario, dado un grupo ()G,Alternativa Alternativa ),{displaystyle (G,*),} un conjunto H,{displaystyle H,} y una bijeción f:G→ → H,{displaystyle f:Gto H,} podemos hacer H{displaystyle H. grupo ()H,⊙ ⊙ ){displaystyle (H,odot)} definiendo

f()u)⊙ ⊙ f()v)=f()uAlternativa Alternativa v).{displaystyle f(u)odot f(v)=f(u*v). }

Si H=G{displaystyle H=G. y ⊙ ⊙ =Alternativa Alternativa {displaystyle odot =*} entonces la bijeción es un automorfismo (q.v.).

Intuitivamente, los teóricos del grupo ven dos grupos isomorfos como sigue: Por cada elemento g{displaystyle g} de un grupo G,{displaystyle G,} existe un elemento h{displaystyle h} de H{displaystyle H. tales que h{displaystyle h} "se comporta de la misma manera" g{displaystyle g} (opera con otros elementos del grupo de la misma manera que g{displaystyle g}). Por ejemplo, si g{displaystyle g} genera G,{displaystyle G,} entonces lo hace h.{displaystyle h.} Esto implica, en particular, que G{displaystyle G. y H{displaystyle H. están en correspondencia bijeactiva. Así, la definición de un isomorfismo es bastante natural.

Un isomorfismo de grupos puede definirse de manera equivalente como un homomorfismo de grupo invertible (la función inversa de un homomorfismo de grupo biyectivo también es un homomorfismo de grupo).

Ejemplos

En esta sección se enumeran algunos ejemplos notables de grupos isomorfos.

• El grupo de todos los números reales bajo adición, ()R,+){displaystyle (mathbb {R}+)}, es isomorfo al grupo de números reales positivos bajo la multiplicación ()R+,× × ){displaystyle (mathbb {R} ^{+},times)}:

  ()R,+).. ()R+,× × ){displaystyle (mathbb {R}+)cong (mathbb {R} ^{+},times)} a través del isomorfismo f()x)=ex{displaystyle f(x)=e^{x}.

• El grupo Z{displaystyle mathbb {Z} de enteros (con adición) es un subgrupo de R,{displaystyle mathbb {R} y el grupo factorial R/Z{displaystyle mathbb {R} {Z} es isomorfo para el grupo S1{displaystyle S^{1} de números complejos de valor absoluto 1 (bajo multiplicación):

  R/Z.. S1{displaystyle mathbb {R} /mathbb {Z} cong S^{1}

• El grupo Klein es isomorfo al producto directo de dos copias de Z2=Z/2Z{displaystyle mathbb {Z}{2}=Mathbb {Z} {Z}, y por lo tanto puede ser escrito Z2× × Z2.{displaystyle mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{2}.} Otra notación es Dih2,{displaystyle operatorname {Dih} _{2},} porque es un grupo dihedral.
• Generalizando esto, para siempre n,{displaystyle n,} Dih2n{displaystyle operatorname {fn} {fn} es isomorfo al producto directo Dihn{displaystyle operatorname {Dih} _{n} y Z2.{displaystyle mathbb {Z} _{2}
• Si ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)} es un grupo cíclico infinito, entonces ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)} es isomorfo a los enteros (con la operación adicional). Desde un punto de vista algebraico, esto significa que el conjunto de todos los enteros (con la operación adicional) es el "sólo" grupo cíclico infinito.

Se puede probar que algunos grupos son isomorfos, basándose en el axioma de elección, pero la prueba no indica cómo construir un isomorfismo concreto. Ejemplos:

• El grupo ()R,+){displaystyle (mathbb {R}+)} es isomorfo para el grupo ()C,+){displaystyle (mathbb {C}+)} de todos los números complejos bajo adición.
• El grupo ()CAlternativa Alternativa ,⋅ ⋅ ){displaystyle (mathbb {C} } {cdot)} de números complejos no cero con multiplicación ya que la operación es isomorfa al grupo S1{displaystyle S^{1} mencionado anteriormente.

Propiedades

El núcleo de un isomorfismo ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)} a ()H,⊙ ⊙ ){displaystyle (H,odot)} es siempre {e_G}, donde e_G es la identidad del grupo ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)}

Si ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)} y ()H,⊙ ⊙ ){displaystyle (H,odot)} son isomorfos, entonces G{displaystyle G. es abeliano si y sólo si H{displaystyle H. es abeliano.

Si f{displaystyle f} es un isomorfismo de ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)} a ()H,⊙ ⊙ ),{displaystyle (H,odot),} entonces para cualquier a▪ ▪ G,{displaystyle ain G,} el orden a{displaystyle a} iguala el orden f()a).{displaystyle f(a).}

Si ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)} y ()H,⊙ ⊙ ){displaystyle (H,odot)} son isomorfos, entonces ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)} es un grupo localmente finito si y sólo si ()H,⊙ ⊙ ){displaystyle (H,odot)} es localmente finito.

El número de grupos distintos (hasta el isomorfismo) del orden n{displaystyle n} se da por secuencia A000001 en el OEIS. Los primeros números son 0, 1, 1, 1 y 2 que significa que 4 es el orden más bajo con más de un grupo.

Grupos cíclicos

Todos los grupos cíclicos de un orden dado son isomorfos a ()Zn,+n),{displaystyle (mathbb {Z} _{n},+_{n})} Donde +n{displaystyle # denotes addition modulo n.{displaystyle n.}

Vamos G{displaystyle G. ser un grupo cíclico y n{displaystyle n} ser el orden G.{displaystyle G.} Letting x{displaystyle x} ser un generador de G{displaystyle G., G{displaystyle G. entonces es igual a .. x.. ={}e,x,...... ,xn− − 1}.{displaystyle langle xrangle =left{e,x,ldotsx^{n-1}right}.} Vamos a mostrar que

G.. ()Zn,+n).{displaystyle Gcong (mathbb {Z} _{n},+_{n}).

Definir

φ φ :G→ → Zn={}0,1,...... ,n− − 1},{displaystyle varphi: Gto mathbb [Z] _{n}={0,1,ldotsn-1}

φ φ ()xa)=a.{displaystyle varphi (x^{a})=a.}

φ φ {displaystyle varphi }

φ φ ()xa⋅ ⋅ xb)=φ φ ()xa+b)=a+b=φ φ ()xa)+nφ φ ()xb),{displaystyle varphi (x^{a}cdot x^{b}=varphi (x^{a+b})=a+b=varphi (x^{a})+_{n}varphi (x^{b}),}

G.. ()Zn,+n).{displaystyle Gcong (mathbb {Z} _{n},+_{n}).

Consecuencias

De la definición, sigue que cualquier isomorfismo f:G→ → H{displaystyle f:Gto H} mapa del elemento de identidad G{displaystyle G. al elemento de identidad H,{displaystyle H,}

f()eG)=eH,{displaystyle f(e_{G}=e_{H}

f()u− − 1)=f()u)− − 1para todosu▪ ▪ G,{displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}quad {text{ for all }uin G,}

n{displaystyle n}

n{displaystyle n}

f()un)=f()u)npara todosu▪ ▪ G,{displaystyle f(u^{n}=f(u)}quad {text{ for all }uin} G,}

f− − 1:H→ → G{displaystyle f^{-1}:Hto G}

La relación "ser isomorfa" satisfies es una relación de equivalencia. Si f{displaystyle f} es un isomorfismo entre dos grupos G{displaystyle G. y H,{displaystyle H,} entonces todo lo que es verdad G{displaystyle G. que sólo está relacionado con la estructura del grupo se puede traducir a través f{displaystyle f} en una verdadera ditto declaración sobre H,{displaystyle H,} y viceversa.

Automorfismos

Un isomorfismo de un grupo ()G,Alternativa Alternativa ){displaystyle (G,*)} a sí mismo se llama automorfismo del grupo. Así es una bijeción f:G→ → G{displaystyle f:Gto G} tales que

f()u)Alternativa Alternativa f()v)=f()uAlternativa Alternativa v).{displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v). }

La imagen bajo un automorfismo de una clase de conjugación es siempre una clase de conjugación (la misma u otra).

La composición de dos automorfismos es otra vez un automorfismo, y con esta operación el conjunto de todos los automorfismos de un grupo G,{displaystyle G,} denotado por Aut⁡ ⁡ ()G),{displaystyle operatorname {Aut} (G),} forma un grupo, el grupo automorfismo de G.{displaystyle G.}

Para todos los grupos abelianos hay al menos el automorfismo que reemplaza los elementos del grupo por sus inversos. Sin embargo, en grupos donde todos los elementos son iguales a sus inversos este es el automorfismo trivial, por ejemplo en el grupo Klein. Para ese grupo todas las permutaciones de los tres elementos no-identitarios son automorfismos, por lo que el grupo automorfismo es isomorfo a S3{displaystyle S_{3} (que en sí es isomorfo a Dih3{displaystyle operatorname {fnK}).

In Zp{displaystyle mathbb {Z} _{p} para un número primo p,{displaystyle p,} un elemento no-identitario puede ser reemplazado por cualquier otro, con cambios correspondientes en los otros elementos. El grupo automorfismo es isomorfo a Zp− − 1{displaystyle mathbb {Z} _{p-1} Por ejemplo, n=7,{displaystyle n=7,} multiplicando todos los elementos Z7{displaystyle mathbb {Z} _{7} por 3, modulo 7, es un automorfismo del orden 6 en el grupo automorfismo, porque 36↑ ↑ 1()mod7),{displaystyle 3^{6}equiv 1{pmod {7}} mientras que los poderes inferiores no dan 1. Así, este automorfismo genera Z6.{displaystyle mathbb {Z} _{6} Hay un automorfismo más con esta propiedad: multiplicando todos los elementos Z7{displaystyle mathbb {Z} _{7} por 5, modulo 7. Por lo tanto, estos dos corresponden a los elementos 1 y 5 de Z6,{displaystyle mathbb {Z} _{6},} en ese orden o al revés.

El grupo de automorfismo Z6{displaystyle mathbb {Z} _{6} es isomorfo a Z2,{displaystyle mathbb {Z} _{2},} porque sólo cada uno de los dos elementos 1 y 5 generan Z6,{displaystyle mathbb {Z} _{6},} así que aparte de la identidad sólo podemos intercambiarlas.

El grupo de automorfismo Z2⊕ ⊕ Z2⊕ ⊕ ⊕ ⊕ Z2=Dih2⊕ ⊕ Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2}oplus mathbb {Z} _{2}oplus oplus mathbb ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Dih} _{2}oplus mathbb {Z} _{2} tiene orden 168, como se puede encontrar a continuación. Los 7 elementos no-identitarios juegan el mismo papel, así que podemos elegir cuál juega el papel de ()1,0,0).{displaystyle (1,0,0). } Cualquiera de los 6 restantes puede ser elegido para desempeñar el papel de (0,1,0). Esto determina qué elemento corresponde a ()1,1,0).{displaystyle (1,0).} Para ()0,0,1){displaystyle (0,0,1)} podemos elegir de 4, que determina el resto. Así tenemos 7× × 6× × 4=168{displaystyle 7times 6times 4=168} automorfismos. Corresponden a los del plano Fano, de los cuales los 7 puntos corresponden a los 7 no-identidad elementos. Las líneas que conectan tres puntos corresponden a la operación del grupo: a,b,{displaystyle a,b,} y c{displaystyle c} en una línea significa a+b=c,{displaystyle a+b=c,} a+c=b,{displaystyle a+c=b,} y b+c=a.{displaystyle b+c=a.} Vea también grupo lineal general sobre campos finitos.

Para los grupos abelianos, todos los automorfismos no triviales son automorfismos externos.

Los grupos no abelianos tienen un grupo de automorfismos internos no triviales y posiblemente también automorfismos externos.