Isomorfismo

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En matemáticas, homomorfismo invertible

El grupo de quintas raíces de unidad bajo multiplicación es isomorfo al grupo de rotaciones del pentágono regular bajo composición.

En matemáticas, un isomorfismo es un mapeo que conserva la estructura entre dos estructuras del mismo tipo que se puede revertir mediante un mapeo inverso. Dos estructuras matemáticas son isomorfas si existe un isomorfismo entre ellas. La palabra isomorfismo se deriva del griego antiguo: ἴσος isos "igual", y μορφή morphe "forma" o "forma".

El interés en los isomorfismos radica en el hecho de que dos objetos isomorfos tienen las mismas propiedades (excluyendo información adicional como estructura adicional o nombres de objetos). Por lo tanto, las estructuras isomorfas no pueden distinguirse desde el punto de vista de la estructura solamente y pueden identificarse. En la jerga matemática, se dice que dos objetos son iguales salvo un isomorfismo.

Un automorfismo es un isomorfismo de una estructura a sí misma. Un isomorfismo entre dos estructuras es un isomorfismo canónico (una aplicación canónica que es un isomorfismo) si solo hay un isomorfismo entre las dos estructuras (como es el caso de las soluciones de una propiedad universal), o si el isomorfismo es mucho más natural (en algún sentido) que otros isomorfismos. Por ejemplo, para cada número primo $p$ , todos los campos con $p$ los elementos son canónicamente isomorfos, con un isomorfismo único. Los teoremas de isomorfismos proporcionan isomorfismos canónicos que no son únicos.

El término isomorfismo se utiliza principalmente para estructuras algebraicas. En este caso, las aplicaciones se denominan homomorfismos y un homomorfismo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo.

En varias áreas de las matemáticas, los isomorfismos han recibido nombres especializados, según el tipo de estructura que se considere. Por ejemplo:

Una isometría es un isomorfismo de los espacios métricos.
Un homeomorfismo es un isomorfismo de los espacios topológicos.
Un diffeomorfismo es un isomorfismo de espacios equipados con una estructura diferencial, típicamente diferentes manifolds.
Un símplectomorfismo es un isomorfismo de manifolds simpáticos.
Una permutación es un automorfismo de un conjunto.
En la geometría, los isomorfismos y los automorfismos son a menudo llamados transformaciones, por ejemplo transformaciones rígidas, transformaciones afines, transformaciones proyectivas.

La teoría de categorías, que puede verse como una formalización del concepto de mapeo entre estructuras, proporciona un lenguaje que puede usarse para unificar el enfoque de estos diferentes aspectos de la idea básica.

Ejemplos

Logaritmo y exponencial

Vamos $mathbb{R} ^{+}$ ser el grupo multiplicativo de números reales positivos, y dejar $mathbb {R}$ ser el grupo aditivo de números reales.

La función de logaritmo ${displaystyle log:mathbb {R} ^{+}to mathbb {R} }$ satisfizo $log(xy)=log x+log y$ para todos ${displaystyle x,yin mathbb {R} ^{+},}$ Así que es un homomorfismo grupal. La función exponencial ${displaystyle exp:mathbb {R} to mathbb {R} ^{+}}$ satisfizo ${displaystyle exp(x+y)=(exp x)(exp y)}$ para todos ${displaystyle x,yin mathbb {R}}$ Así que también es un homomorfismo.

Las identidades $log exp x=x$ y $exp log y=y$ mostrar que $log$ y $exp$ son inversos entre sí. Desde $log$ es un homomorfismo que tiene un inverso que también es un homomorfismo, $log$ es un isomorfismo de grupos.

El $log$ función es un isomorfismo que traduce la multiplicación de números reales positivos en adición de números reales. Esta instalación permite multiplicar los números reales utilizando un gobernante y una tabla de logaritmos, o usando una regla de diapositivas con una escala logarítmica.

Enteros módulo 6

Considerar el grupo ${displaystyle (mathbb {Z} _{6},+),}$ los enteros de 0 a 5 con modulo adicional 6. Considerar también el grupo ${displaystyle left(mathbb {Z} _{2}times mathbb {Z} _{3},+right),}$ los pares ordenados donde los x coordenadas pueden ser 0 o 1, y las coordenadas y pueden ser 0, 1, o 2, donde adicional en el x-coordinado es modulo 2 y además en el Sí.-coordinado es modulo 3.

Estas estructuras son isomorfas bajo adición, bajo el siguiente esquema:

{displaystyle {begin{alignedat}{4}(0,0)&mapsto 0\(1,1)&mapsto 1\(0,2)&mapsto 2\(1,0)&mapsto 3\(0,1)&mapsto 4\(1,2)&mapsto 5\end{alignedat}}}

{displaystyle (a,b)mapsto (3a+4b)mod 6.}

Por ejemplo, ${displaystyle (1,1)+(1,0)=(0,1),}$ que se traduce en el otro sistema como ${displaystyle 1+3=4.}$

Aunque estos dos grupos "miran" diferentes en que los conjuntos contienen diferentes elementos, son de hecho isomorfo: sus estructuras son exactamente iguales. Más generalmente, el producto directo de dos grupos cíclicos ${displaystyle mathbb {Z} _{m}}$ y ${displaystyle mathbb {Z} _{n}}$ es isomorfo a ${displaystyle (mathbb {Z} _{mn},+)}$ si m y n son coprime, por el resto chino teorema.

Isomorfismo que conserva la relación

Si un objeto consiste en un conjunto X con una relación binaria R y el otro objeto consiste en un conjunto Y con una relación binaria S entonces un isomorfismo de X a Y es una función bijeactiva $f:Xto Y$ tal que:

{displaystyle operatorname {S} (f(u),f(v))quad {text{ if and only if }}quad operatorname {R} (u,v)}

S es reflexivo, irreflexivo, simétrico, antisimétrico, asimétrico, transitivo, total, tricotómico, orden parcial, orden total, orden bueno, orden débil estricto, preorden total (orden débil), una relación de equivalencia o una relación con cualquier otra propiedad especial, si y sólo si R lo es.

Por ejemplo, R es un pedido ≤ y S un pedido ${displaystyle scriptstyle sqsubseteq}$ entonces un isomorfismo de X a Y es una función bijeactiva $f:Xto Y$ tales que

{displaystyle f(u)sqsubseteq f(v)quad {text{ if and only if }}quad uleq v.}

orden isomorfismoisomorfismo

Si ${displaystyle X=Y,}$ entonces esto es un automorfismo que conserva relación.

Aplicaciones

En álgebra, los isomorfismos se definen para todas las estructuras algebraicas. Algunos se estudian más específicamente; por ejemplo:

isomorfismos lineales entre espacios vectoriales; se especifican por matrices invertibles.
isomorfismos de grupo entre grupos; la clasificación de clases de isomorfismo de grupos finitos es un problema abierto.
Anillo isomorfismo entre anillos.
Los isomorfismos de campo son los mismos que el isomorfismo de anillo entre campos; su estudio, y más específicamente el estudio de los automorfismos de campo es una parte importante de la teoría de Galois.

Así como los automorfismos de una estructura algebraica forman un grupo, los isomorfismos entre dos álgebras que comparten una estructura común forman un montón. Permitir que un isomorfismo particular identifique las dos estructuras convierte este montón en un grupo.

En el análisis matemático, la transformada de Laplace es un isomorfismo que transforma ecuaciones diferenciales complejas en ecuaciones algebraicas más sencillas.

En la teoría del gráfico, un isomorfismo entre dos gráficos G y H es un mapa bijetivo f de los vértices G a los vértices H que preserva la "edge structure" en el sentido de que hay un borde del vértice u a vertex v dentro G si y sólo si hay un borde de $f(u)$ a $f(v)$ dentro H. Vea el isomorfismo gráfico.

En el análisis matemático, un isomorfismo entre dos espacios de Hilbert es una biyección que conserva la suma, la multiplicación escalar y el producto interno.

En las primeras teorías del atomismo lógico, Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein teorizaron que la relación formal entre los hechos y las proposiciones verdaderas era isomorfa. Un ejemplo de esta línea de pensamiento se puede encontrar en la Introducción a la filosofía matemática de Russell.

En cibernética, el buen regulador o teorema de Conant-Ashby se establece "Todo buen regulador de un sistema debe ser un modelo de ese sistema". Ya sea regulado o autorregulado, se requiere un isomorfismo entre el regulador y las partes de procesamiento del sistema.

Vista teórica de categorías

En la teoría de la categoría, dada una categoría C, un isomorfismo es un morfismo ${displaystyle f:ato b}$ que tiene un morfismo inverso ${displaystyle g:bto a,}$ es decir, ${displaystyle fg=1_{b}}$ y ${displaystyle gf=1_{a}.}$ Por ejemplo, un mapa lineal bijetivo es un isomorfismo entre espacios vectoriales, y una función continua bijeactiva cuyo inverso también es continuo es un isomorfismo entre espacios topológicos, llamado homeomorfismo.

Dos categorías $C$ y $D$ son isomorfos si existen functores $F:Cto D$ y ${displaystyle G:Dto C}$ que son mutuamente inversos entre sí, es decir, ${displaystyle FG=1_{D}}$ (el functor de identidad en $D$ ) y ${displaystyle GF=1_{C}}$ (el functor de identidad en $C$ ).

Isomorfismo versus morfismo biyectivo

En una categoría concreta (más o menos, una categoría cuyos objetos son conjuntos (quizás con estructura adicional) y cuyos morfismos son funciones que preservan la estructura), como la categoría de espacios topológicos o categorías de objetos algebraicos (como la categoría de grupos, la categoría de los anillos y la categoría de los módulos), un isomorfismo debe ser biyectivo en los conjuntos subyacentes. En categorías algebraicas (específicamente, categorías de variedades en el sentido de álgebra universal), un isomorfismo es lo mismo que un homomorfismo que es biyectivo en conjuntos subyacentes. Sin embargo, existen categorías concretas en las que los morfismos biyectivos no son necesariamente isomorfismos (como la categoría de espacios topológicos).

Relación con la igualdad

En ciertas áreas de las matemáticas, especialmente en la teoría de categorías, es valioso distinguir entre igualdad por un lado y isomorfismo por el otro. La igualdad es cuando dos objetos son exactamente iguales, y todo lo que es cierto sobre un objeto es cierto sobre el otro, mientras que un isomorfismo implica que todo lo que es cierto sobre una parte designada de la estructura de un objeto es cierto sobre el otro. 39; s. Por ejemplo, los conjuntos

<math alttext="{displaystyle A=left{xin mathbb {Z} mid x^{2}A={}x▪ ▪ Z▪ ▪ x2.2}yB={}− − 1,0,1}{displaystyle A=left{xin mathbb {Z}mid x^{2} {fnK}f}quad B={-1,0,1}}<img alt="{displaystyle A=left{xin mathbb {Z} mid x^{2}

iguales

{A, B, C}

{displaystyle {1,2,3}}

iguales

text{A} mapsto 1, text{B} mapsto 2, text{C} mapsto 3,

mientras que otro

text{A} mapsto 3, text{B} mapsto 2, text{C} mapsto 1,

y ningún isomorfismo es intrínsecamente mejor que otro. Desde este punto de vista y en este sentido, estos dos conjuntos no son iguales porque uno no puede considerarlos idénticos: uno puede elegir un isomorfismo entre ellos, pero esa es una afirmación más débil que la identidad, y válida solo en el contexto del isomorfismo elegido.

Otro ejemplo es más formal y ilustra directamente la motivación para distinguir la igualdad del isomorfismo: la distinción entre un espacio vectorial de dimensiones finitas V y su espacio dual ${displaystyle V^{*}=left{varphi:Vto mathbf {K} right}}$ de mapas lineales de V a su campo de escalares ${displaystyle mathbf {K}.}$ Estos espacios tienen la misma dimensión, y por lo tanto son isomorfos como espacios vectoriales abstractos (ya que algebraicamente, los espacios vectores se clasifican por dimensión, tal como los conjuntos son clasificados por la cardinalidad), pero no hay opción "natural" del isomorfismo ${displaystyle Vmathrel {overset {sim }{to }} V^{*}.}$ Si uno elige una base para V, entonces esto produce un isomorfismo: Para todos ${displaystyle u,vin V,}$

{displaystyle vmathrel {overset {sim }{mapsto }} phi _{v}in V^{*}quad {text{ such that }}quad phi _{v}(u)=v^{mathrm {T} }u.}

Esto corresponde a transformar un vector de columna (elemento de V) a un vector de fila (elemento de V*) por transposición, pero una elección diferente de la base da un isomorfismo diferente: el isomorfismo "depende de la elección de la base". Más sutil, ahí. es a mapa de un espacio vectorial V a su doble dual ${displaystyle V^{**}=left{x:V^{*}to mathbf {K} right}}$ que no depende de la elección de la base: Para todos ${displaystyle vin V{text{ and }}varphi in V^{*},}$

{displaystyle vmathrel {overset {sim }{mapsto }} x_{v}in V^{**}quad {text{ such that }}quad x_{v}(phi)=phi (v).}

Esto conduce a una tercera noción, la de un isomorfismo natural: mientras $V$ y $V^{{**}}$ son diferentes conjuntos, hay una opción "natural" del isomorfismo entre ellos. Esta noción intuitiva de "un isomorfismo que no depende de una elección arbitraria" se formaliza en la noción de una transformación natural; brevemente, que uno puede sistemáticamente identificar, o más generalmente mapa de, un espacio vectorial finito-dimensional a su doble dual, ${displaystyle Vmathrel {overset {sim }{to }} V^{**},}$ para cualquiera espacio vectorial de una manera consistente. Formalizar esta intuición es una motivación para el desarrollo de la teoría de la categoría.

Sin embargo, hay un caso en el que generalmente no se hace la distinción entre isomorfismo natural e igualdad. Eso es para los objetos que pueden caracterizarse por una propiedad universal. De hecho, existe un isomorfismo único, necesariamente natural, entre dos objetos que comparten la misma propiedad universal. Un ejemplo típico es el conjunto de números reales, que puede definirse a través de expansión decimal infinita, expansión binaria infinita, secuencias de Cauchy, cortes de Dedekind y muchas otras formas. Formalmente, estas construcciones definen diferentes objetos que son todos soluciones con la misma propiedad universal. Como estos objetos tienen exactamente las mismas propiedades, uno puede olvidar el método de construcción y considerarlos como iguales. Esto es lo que todo el mundo hace cuando se refiere a "el conjunto de los números reales". Lo mismo ocurre con los espacios cocientes: comúnmente se construyen como conjuntos de clases de equivalencia. Sin embargo, referirse a un conjunto de conjuntos puede ser contradictorio, por lo que los espacios de cociente se consideran comúnmente como un par de un conjunto de objetos indeterminados, a menudo llamados "puntos", y un mapa sobreyectivo en este conjunto.

Si uno desea distinguir entre un isomorfismo arbitrario (uno que depende de una elección) y un isomorfismo natural (uno que se puede hacer consistentemente), se puede escribir ${displaystyle ,approx ,}$ para un isomorfismo antinatural y $.$ para un isomorfismo natural, como en ${displaystyle Vapprox V^{*}}$ y ${displaystyle Vcong V^{**}.}$ Esta convención no es universalmente seguida, y los autores que deseen distinguir entre isomorfismos no naturales y isomorfismos naturales generalmente indicarán explícitamente la distinción.

Por lo general, decir que dos objetos son iguales se reserva para cuando existe la noción de un espacio (ambiental) más grande en el que viven estos objetos. La mayoría de las veces, se habla de la igualdad de dos subconjuntos de un conjunto dado (como en el ejemplo anterior del conjunto de enteros), pero no de dos objetos presentados de manera abstracta. Por ejemplo, la esfera unitaria bidimensional en un espacio tridimensional

{displaystyle S^{2}:=left{(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1right}}

{displaystyle {widehat {mathbb {C} }}}

{displaystyle mathbb {C} cup {infty }}

{displaystyle mathbf {P} _{mathbb {C} }^{1}:=left(mathbb {C} ^{2}setminus {(0,0)}right)/left(mathbb {C} ^{*}right)}

iguales

{displaystyle mathbb {R} ^{3},}

{displaystyle mathbb {C} cong mathbb {R} ^{2}}

{displaystyle mathbb {C} ^{2}.}

En el contexto de la teoría de la categoría, los objetos suelen estar en la mayoría de los isomorfos —de hecho, una motivación para el desarrollo de la teoría de la categoría mostró que diferentes construcciones en la teoría de la homología rindieron grupos equivalentes (isomorfos). Dados mapas entre dos objetos X y Y, sin embargo, se pregunta si son iguales o no (son ambos elementos del conjunto ${displaystyle hom(X,Y),}$ Por lo tanto, la igualdad es la relación adecuada), particularmente en los diagramas conmutativos.

Véase también: teoría del tipo de homotopía, en la que los isomorfismos pueden tratarse como clases de igualdad.

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