Isometría

En matemáticas, una isometría (o congruencia, o transformación congruente) es una transformación que preserva la distancia entre espacios métricos, generalmente se supone que ser biyectivo. La palabra isometría se deriva del griego antiguo: ἴσος isos que significa "igual", y μέτρον metron que significa "medida".

Una composición de dos isometrías opuestas es una isometría directa. Una reflexión en una línea es una isometría opuesta, como R ₁ o R ₂ en la imagen. Traducción T es una isometría directa: un movimiento rígido.

Introducción

Dado un espacio métrico (en términos generales, un conjunto y un esquema para asignar distancias entre elementos del conjunto), una isometría es una transformación que asigna elementos al mismo u otro espacio métrico tal que la distancia entre los elementos de la imagen en el nuevo espacio métrico es igual a la distancia entre los elementos en el espacio métrico original. En un espacio euclidiano bidimensional o tridimensional, dos figuras geométricas son congruentes si están relacionadas por una isometría; la isometría que los relaciona es un movimiento rígido (traslación o rotación) o una composición de un movimiento rígido y una reflexión.

Las imágenes se utilizan a menudo en construcciones donde un espacio está incrustado en otro espacio. Por ejemplo, la terminación de un espacio métrico M{displaystyle M } implica una isometría de M{displaystyle M } en M.,{displaystyle M'} un conjunto cociente del espacio de secuencias Cauchy en M.{displaystyle M.} El espacio original M{displaystyle M } es así isométrico isomorfo a un subespacio de un espacio métrico completo, y generalmente se identifica con este subespacio. Otras construcciones de embedding muestran que cada espacio métrico es isomorfo a un subconjunto cerrado de algún espacio vectorial normalizado y que cada espacio métrico completo es isomorfo a un subconjunto cerrado de algún espacio de Banach.

Un operador lineal sobreyectivo isométrico en un espacio de Hilbert se denomina operador unitario.

Definición

Vamos X{displaystyle X } y Y{displaystyle ~ Y ser espacios métricos con métricas (por ejemplo, distancias) dX{displaystyle d_{X}} y dY.{fnMicrosoft Sans Serif} A map f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Yse llama isometría o distancia si para cualquier a,b▪ ▪ X{displaystyle a,bin X}uno tiene

dX()a,b)=dY()f()a),f()b)).{displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}!left(f(a),f(b)right). }

Una isometría es automáticamente inyectiva; de lo contrario, dos puntos distintos, a y b, podrían asignarse al mismo punto, contradiciendo así el axioma de coincidencia de la métrica d. Esta prueba es similar a la prueba de que un orden incrustado entre conjuntos parcialmente ordenados es inyectivo. Claramente, cada isometría entre espacios métricos es una incrustación topológica.

Una isometría global, isomorfismo isométrico o mapeo de congruencia es una isometría biyectiva. Como cualquier otra biyección, una isometría global tiene una función inversa. La inversa de una isometría global es también una isometría global.

Dos espacios métricos X e Y se denominan isométricos si existe una isometría biyectiva de X a Y. El conjunto de isometrías biyectivas de un espacio métrico a sí mismo forma un grupo con respecto a la composición de funciones, denominado grupo de isometrías.

También existe la noción más débil de isometría de trayectoria o isometría de arco:

Una isometría de trayectoria o isometría de arco es un mapa que conserva las longitudes de las curvas; tal mapa no es necesariamente una isometría en el sentido de preservación de la distancia, y no necesita ser necesariamente biyectiva, ni siquiera inyectiva. Este término a menudo se abrevia a simplemente isometría, por lo que se debe tener cuidado de determinar por el contexto qué tipo se pretende.

Ejemplos

• Cualquier reflexión, traducción y rotación es una isometría global en los espacios euclidianos. Vea también el grupo euclidiano y el espacio euclidiano.
• El mapa x↦ ↦ SilencioxSilencio{displaystyle xmapsto Silencioso dentro R{displaystyle 'mathbb {R} } es un ruta isometría pero no una isometría (general). Tenga en cuenta que a diferencia de una isometría, esta isometría no necesita ser inyectable.

Isometrías entre espacios normados

El siguiente teorema se debe a Mazur y Ulam.

Definición: El punto medio de dos elementos x y Sí. en un espacio vectorial es el vector 1/2()x + Sí.).

Isometría lineal

Dados dos espacios vectoriales no autorizados V{displaystyle V} y W,{displaystyle W,} a isometría lineal es un mapa lineal A:V→ → W{displaystyle A:Vto W} que preserva las normas:

.. Av.. =.. v.. {displaystyle "Principalmente"

para todos v▪ ▪ V.{displaystyle vin V} Las isometrías lineales son mapas de observación de distancia en el sentido anterior. Son isometrías globales si y sólo si son subjetivos.

En un espacio de producto interno, la definición anterior se reduce a

.. v,v.. =.. Av,Av.. {displaystyle langle v,vrangle =langle Av,Avrangle }

para todos v▪ ▪ V,{displaystyle vin V} que equivale a decir que A† † A=IV⁡ ⁡ .{displaystyle A^{dagger }A=operatorname {I} _{V}.} Esto también implica que las isometrías preservan los productos internos, como

.. Au,Av.. =.. u,A† † Av.. =.. u,v.. .{displaystyle langle Au,Avrangle =langle u,A^{dagger }Avrangle =langle u,vrangle .}

Sin embargo, las isometrías lineales no siempre son operadores unitarios, ya que los que requieren además que V=W{displaystyle V=W! y AA† † =IV⁡ ⁡ .{displaystyle AA^{dagger }=operatorname {I} _{V}.}

Por el teorema de Mazur-Ulam, cualquier isometría de espacios vectoriales ordenados sobre R{displaystyle mathbb {R} es Affine.

Ejemplos

• Un mapa lineal desde Cn{displaystyle mathbb {C} {n}} a sí mismo es una isometría (para el producto del punto) si y sólo si su matriz es unitaria.

Múltiple

Una isometría de una variedad es cualquier mapeo (suave) de esa variedad en sí misma, o en otra variedad que conserva la noción de distancia entre puntos. La definición de una isometría requiere la noción de una métrica en la variedad; una variedad con una métrica (definida positiva) es una variedad riemanniana, una con una métrica indefinida es una variedad pseudo-riemanniana. Así, las isometrías se estudian en la geometría de Riemann.

Una isometría local de una variedad (pseudo-)riemanniana a otra es un mapa que hace retroceder el tensor métrico de la segunda variedad al tensor métrico de la primera. Cuando dicho mapa es también un difeomorfismo, dicho mapa se denomina isometría (o isomorfismo isométrico), y proporciona una noción de isomorfismo ("igualdad") en la categoría Rm de las variedades de Riemann.

Definición

Vamos R=()M,g){displaystyle R=(M,g)} y R.=()M.,g.){displaystyle R'=(M',g') } ser dos (pseudo-) Manifolds ginecinos, y dejar f:R→ → R.{displaystyle f:Rto R} ser un diffeomorfismo. Entonces... f{displaystylef} se llama isometría (o isométrico isomorfismoSi

g=fAlternativa Alternativa g.,{displaystyle g=f^{*}g', }

Donde fAlternativa Alternativa g.{displaystyle f^{*}g'} denota la retirada del rango (0, 2) tensor métrico g.{displaystyle g' } por f.{displaystyle f.} Equivalentemente, en términos del avance fAlternativa Alternativa ,{displaystyle f_{*}} tenemos eso para cualquier dos campos vectoriales v,w{displaystyle v,w} on M{displaystyle M } (es decir, secciones del paquete tangente TM{displaystyle mathrm {T} M }),

g()v,w)=g.()fAlternativa Alternativa v,fAlternativa Alternativa w).{displaystyle g(v,w)=g'left(f_{*}v,f_{*}wright).}

Si f{displaystylef} es un diffeomorfismo local tal que g=fAlternativa Alternativa g.,{displaystyle g=f^{*}g'} entonces f{displaystyle f} se llama isometría local.

Propiedades

Una colección de isometrías suele formar un grupo, el grupo de isometrías. Cuando el grupo es un grupo continuo, los generadores infinitesimales del grupo son los campos vectoriales Killing.

El teorema de Myers-Steenrod establece que toda isometría entre dos variedades riemannianas conectadas es suave (diferenciable). Una segunda forma de este teorema establece que el grupo de isometría de una variedad de Riemann es un grupo de Lie.

Las variedades de Riemann que tienen isometrías definidas en cada punto se denominan espacios simétricos.

Generalizaciones

• Dado un número real positivo ε, un ε-isometry o casi isometría (también llamado a aproximación de Hausdorff) es un mapa f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y} entre los espacios métricos tal que
  1. para x,x.▪ ▪ X{displaystyle x,x'in X} uno tiene <math alttext="{displaystyle |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|SilenciodY()f()x),f()x.))− − dX()x,x.)Silencio.ε ε ,{displaystyle Silencio_{Y}(f(x),f(x')-d_{X}(x,x')<img alt="{displaystyle |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')| y
  2. para cualquier punto Sí.▪ ▪ Y{displaystyle yin Y} existe un punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} con <math alttext="{displaystyle d_{Y}(y,f(x))dY()Sí.,f()x)).ε ε {displaystyle (y,f(x))<img alt="{displaystyle d_{Y}(y,f(x))

Eso es, un ε-isometry conserva distancias hacia dentro ε y no deja ningún elemento del codomain más allá que ε lejos de la imagen de un elemento del dominio. Note que ε- No se supone que las isómetrías sean continuas.

• El propiedad de isometría restringida caracteriza matrices casi isométricas para vectores escasos.
• Cuasi-isometry es otra generalización útil.
• Uno también puede definir un elemento en un álgebra unitaria abstracta C* para ser una isometría:

  a▪ ▪ A{displaystyle ain {fn}fn} es una isometría si y sólo si aAlternativa Alternativa ⋅ ⋅ a=1.{displaystyle a^{*}cdot a=1.}

Tenga en cuenta que como se menciona en la introducción esto no es necesariamente un elemento unitario porque uno no tiene en general que el inverso izquierdo es un inverso derecho.

• En un espacio pseudo-euclidiano, el término isometría significa una bijeción lineal preservando la magnitud. Vea también espacios cuadráticos.