Inverso aditivo

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Número que, cuando se añade al número original, produce cero

En matemáticas, el inverso aditivo de un número $a$ es el número que, cuando se suma a $a$ , arroja cero. Este número también se conoce como opuesto (número), cambio de signo y negación. Para un número real, invierte su signo: el inverso aditivo (número opuesto) de un número positivo es negativo y el inverso aditivo de un número negativo es positivo. El cero es el inverso aditivo de sí mismo.

El inverso aditivo de $a$ se denota por el menos unario: $- a$ (ver también § Relación con la resta a continuación). Por ejemplo, el inverso aditivo de 7 es −7, porque 7 + (−7) = 0, y el inverso aditivo de −0,3 es 0,3, porque −0.3 + 0.3 = 0.

Del mismo modo, el inverso aditivo de $a - b$ es $-(a - b)$ que se puede simplificar a $b - a . El inverso aditivo de 2 x - 3 es 3 - 2 x, porque 2 x - 3 + 3 - 2 x = 0 .$

El inverso aditivo se define como su elemento inverso en la operación binaria de suma (ver también § Definición formal a continuación), lo que permite una amplia generalización a objetos matemáticos distintos de los números. Como para cualquier operación inversa, el inverso doblemente aditivo no tiene efecto neto: $-(- x) = x$ .

Estos números complejos, dos de ocho valores de 8√1, son mutuamente opuestos

Ejemplos comunes

Para un número (y más generalmente en cualquier anillo), el inverso aditivo se puede calcular multiplicando por −1; es decir, $- n = -1 \times n$ . Ejemplos de anillos de números son los números enteros, los números racionales, los números reales y los números complejos.

Relación con la resta

El inverso aditivo está estrechamente relacionado con la resta, que puede verse como una suma del opuesto:

a - b = a + (- b)

Por el contrario, el inverso aditivo se puede considerar como una resta de cero:

- a = 0 - a

Por lo tanto, la notación del signo menos unario puede verse como una forma abreviada de restar (con el símbolo "0" omitido), aunque en una tipografía correcta, no debe haber espacio después de unario "− ".

Otras propiedades

Además de las identidades enumeradas anteriormente, la negación tiene las siguientes propiedades algebraicas:

$- a) a$ , es una operación Involution
$- a + b) = a) + (- b)$
$- a - b) b - a$
$a - b) a + b$
$() - a) \times b = a \times b - a \times b)$
() -a) ×b) a × b
- en particular, $() - a)2 = a 2$

Definición formal

La notación + generalmente se reserva para operaciones binarias conmutativas (operaciones donde $x + y = y + x$ para todos $x$ , $y$ ). Si tal operación admite un elemento de identidad $o$ (tal que $x + o ( = o + x) = x$ para todos los $x$ ), entonces este elemento es único ( $o' = o' + o = o$ ). Para una $x$ dada, si existe $x'$ tal que $x + x' ( = x' + x) = o$ , luego $x'$ se llama un inverso aditivo de $x$ .

Si + es asociativo, es decir, $(x + y) + z = x + (y + z)$ para todos $x$ , $y$ , $z$ , entonces un inverso aditivo es único. Para ver esto, vamos a $x'$ y $x″$ sean inversos aditivos de $x$ ; entonces

x . = x . + o = x . + x + x'') = x . + x) + x'' = o + x'' = x''

Por ejemplo, dado que la suma de números reales es asociativa, cada número real tiene un inverso aditivo único.

Otros ejemplos

Todos los siguientes ejemplos son de hecho grupos abelianos:

Números complejos: $- a + bi) = a) + (- b) i$ . En el plano complejo, esta operación gira un complejo número 180 grados alrededor del origen (ver la imagen anterior).
Adición de funciones de valor real y complejo: aquí, el inverso aditivo de una función $f$ es la función $- f$ definidas por $() - f) x) = - f () x)$ , para todos $x$ , tal que $f + (- f) o$ , la función cero ( $o () x) = 0$ para todos $x$ ).
Más generalmente, lo que precede a todas las funciones con valores en un grupo abeliano ('cero' significa entonces el elemento de identidad de este grupo):
Las secuencias, matrices y redes son también tipos especiales de funciones.
En un espacio vectorial, el inverso aditivo −v a menudo se llama el vector opuesto de v; tiene la misma magnitud que la dirección original y opuesta. La inversión aditiva corresponde a la multiplicación de escalar por −1. Para el espacio euclidiano, es el punto de reflexión en el origen. Los vectores en direcciones exactamente opuestas (multiplicados a números negativos) se denominan a veces antiparalela.
- funciones de valor espacial vectorial (no necesariamente lineales),
En aritmética modular, el aditivo modular inverso de $x$ se define también: es el número $a$ tales que $a + x (modelo) n)$ . Este inverso aditivo siempre existe. Por ejemplo, el inverso de 3 modulo 11 es 8 porque es la solución $3 + x (mod 11)$ .

No-ejemplos

Los números naturales, los números cardinales y los números ordinales no tienen inversos aditivos dentro de sus respectivos conjuntos. Así, se puede decir, por ejemplo, que los números naturales sí tienen inversos aditivos, pero debido a que estos inversos aditivos no son en sí mismos números naturales, el conjunto de números naturales no se cierra tomando inversos aditivos.

Notas y referencias

^ Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Elementary Algebra (5th ed.), Cengage Learning, p. 40, ISBN 9781133710790.
^ Brase, Corrinne Pellillo; Brase, Charles Henry (1976). Álgebra básica para estudiantes universitarios. Houghton Mifflin. p. 54. ISBN 978-0-395-20656-0. ...para tomar el inverso aditivo del miembro, cambiamos el signo del número.
^ El término "negación" lleva una referencia a números negativos, que pueden ser engañosos, porque el inverso aditivo de un número negativo es positivo.
^ Weisstein, Eric W. "Aditivo Inverso". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-27.
^ "Aditivo Inverso". www.learnalberta.ca. Retrieved 2020-08-27.

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