Invariancia galileana

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aproximación de baja velocidad para la relatividad especial

Invariancia galileana o relatividad galileana establece que las leyes del movimiento son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales. Galileo Galilei describió por primera vez este principio en 1632 en su Diálogo sobre los dos principales sistemas mundiales usando el ejemplo de un barco que viaja a velocidad constante, sin balancearse, en un mar en calma; cualquier observador debajo de la cubierta no podría decir si el barco estaba en movimiento o inmóvil.

Formulación

Específicamente, el término invariancia galileana hoy en día generalmente se refiere a este principio aplicado a la mecánica newtoniana, es decir, las leyes de movimiento de Newton se mantienen en todos los marcos relacionados entre sí por un sistema galileano. transformación. En otras palabras, todos los marcos relacionados entre sí por tal transformación son inerciales (es decir, la ecuación de movimiento de Newton es válida en estos marcos). En este contexto, a veces se le llama relatividad newtoniana.

Entre los axiomas de la teoría de Newton se encuentran:

Existe una espacio absoluto, en la que las leyes de Newton son ciertas. Un marco inercial es un marco de referencia en movimiento uniforme relativo al espacio absoluto.
Todos los marcos inerciales comparten un tiempo universal.

La relatividad galileana se puede mostrar de la siguiente manera. Considere dos marcos inerciales S y S' . Un evento físico en S tendrá las coordenadas de posición r = (x, y, z) y tiempo t en S, y r' = (x' , y' , z' ) y tiempo t' en S' . Por el segundo axioma anterior, uno puede sincronizar el reloj en los dos marcos y asumir t = t' . Suponga que S' está en movimiento uniforme relativo a S con velocidad v. Considere un objeto puntual cuya posición viene dada por las funciones r' (t) en S' y r(t) en S. Vemos eso

r'(t) = r(t) - v t.,

La velocidad de la partícula viene dada por la derivada temporal de la posición:

u'(t) = frac{d}{d t} r'(t) = frac{d}{d t} r(t) - v = u(t) - v.

Otra diferenciación la da la aceleración en los dos fotogramas:

a'(t) = frac{d}{d t} u'(t) = frac{d}{d t} u(t) - 0 = a(t).

Es este resultado simple pero crucial el que implica la relatividad galileana. Suponiendo que la masa es invariable en todos los marcos inerciales, la ecuación anterior muestra que las leyes de la mecánica de Newton, si son válidas en un marco, deben cumplirse para todos los marcos. Pero se supone que se cumple en el espacio absoluto, por lo que se cumple la relatividad galileana.

La teoría de Newton frente a la relatividad especial

Se puede hacer una comparación entre la relatividad newtoniana y la relatividad especial.

Algunos de los supuestos y propiedades de la teoría de Newton son:

La existencia de marcos infinitamente inerciales. Cada marco es de tamaño infinito (el universo entero puede estar cubierto por muchos marcos linealmente equivalentes). Cualquier dos marcos puede estar en movimiento uniforme relativo. (La naturaleza relativista de la mecánica derivada de arriba muestra que la suposición espacial absoluta no es necesaria.)
Los marcos inerciales pueden entrar Todos posibles formas relativas de movimiento uniforme.
Hay una noción universal, o absoluta, del tiempo transcurrido.
Dos marcos inerciales están relacionados con una transformación Galileo.
En todos los marcos inerciales, las leyes de Newton, y la gravedad, sostienen.

En comparación, las declaraciones correspondientes de la relatividad especial son las siguientes:

La existencia, además, de infinitamente muchos marcos no inerciales, cada uno de los cuales se refiere a (y determina físicamente por) un conjunto único de coordenadas espacio-tiempo. Cada marco puede ser de tamaño infinito, pero su definición siempre se determina localmente por condiciones físicas contextuales. Cualquier dos marcos puede estar en movimiento relativo no uniforme (si se supone que esta condición de movimiento relativo implica un efecto dinámico relativista – y más tarde, efecto mecánico en la relatividad general – entre ambos marcos).
En lugar de permitir libremente todas las condiciones de movimiento uniforme relativo entre los marcos de referencia, la velocidad relativa entre dos marcos inerciales se ata a la velocidad de la luz.
En lugar del tiempo transcurrido universal, cada marco inercial posee su propia noción de tiempo transcurrido.
Las transformaciones de Galilea son reemplazadas por transformaciones de Lorentz.
En todos los marcos inerciales, Todos las leyes de la física son las mismas.

Ambas teorías asumen la existencia de marcos inerciales. En la práctica, el tamaño de los marcos en los que quedan válidos difieren mucho, dependiendo de las fuerzas de marea gravitatorias.

En el contexto apropiado, un marco de inercia newtoniano local, donde la teoría de Newton sigue siendo un buen modelo, se extiende a aproximadamente 10⁷ años luz.

En relatividad especial, se consideran las cabinas de Einstein, cabinas que caen libremente en un campo gravitatorio. De acuerdo con el experimento mental de Einstein, un hombre en una cabina de este tipo experimenta (en una buena aproximación) ninguna gravedad y, por lo tanto, la cabina es un marco inercial aproximado. Sin embargo, hay que suponer que el tamaño de la cabina es lo suficientemente pequeño para que el campo gravitatorio sea aproximadamente paralelo en su interior. Esto puede reducir en gran medida los tamaños de dichos marcos aproximados, en comparación con los marcos newtonianos. Por ejemplo, un satélite artificial que orbita alrededor de la Tierra puede verse como una cabina. Sin embargo, instrumentos razonablemente sensibles podrían detectar "microgravedad" en tal situación porque las "líneas de fuerza" del campo gravitatorio de la Tierra convergen.

En general, la convergencia de los campos gravitatorios en el universo dicta la escala a la que uno podría considerar dichos marcos inerciales (locales). Por ejemplo, una nave espacial que cae en un agujero negro o una estrella de neutrones (a cierta distancia) estaría sujeta a fuerzas de marea lo suficientemente fuertes como para aplastarla en anchura y desgarrarla en longitud. Sin embargo, en comparación, tales fuerzas podrían ser incómodas para los astronautas que se encuentran dentro (comprimiendo sus articulaciones, lo que dificulta extender sus extremidades en cualquier dirección perpendicular al campo de gravedad de la estrella). Reduciendo aún más la escala, las fuerzas a esa distancia podrían no tener casi ningún efecto en un ratón. Esto ilustra la idea de que todos los marcos de caída libre son localmente inerciales (sin aceleración ni gravedad) si la escala se elige correctamente.

Electromagnetismo

Hay dos transformaciones galileanas consistentes que se pueden usar con campos electromagnéticos en ciertas situaciones.

Una transformación ${displaystyle T{*,v}}$ no es consistente si ${displaystyle T{*,v_{1}+v_{2}}neq T{*,v_{1}}+T{*,v_{2}}}$ Donde ${displaystyle v_{1}}$ y ${displaystyle v_{2}}$ son velocidades. Una transformación consistente producirá los mismos resultados al transformarse a una nueva velocidad en un paso o varios pasos. No es posible tener una transformación Galileo consistente que transforma tanto los campos magnéticos como eléctricos. Hay transformaciones Galileas consistentes útiles que pueden aplicarse cuando el campo magnético o el campo eléctrico es dominante.

Sistema de campo magnético

Los sistemas de campo magnético son aquellos sistemas en los que el campo eléctrico en el marco inicial de referencia es insignificante, pero el campo magnético es fuerte. Cuando el campo magnético es dominante y la velocidad relativa, ${displaystyle v^{mathbf {r} }}$ , es bajo, entonces la siguiente transformación puede ser útil:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {H^{'}} &=mathbf {H} \mathbf {J_{f}^{'}} &=mathbf {J_{f}} \mathbf {B^{'}} &=mathbf {B} \mathbf {M^{'}} &=mathbf {M} \mathbf {E^{'}} &=mathbf {E} +v^{mathbf {r} }times mathbf {B} \end{aligned}}}

{displaystyle mathbf {J_{f}} }

mathbf {M}

Sistema de campo eléctrico

Los sistemas de campo eléctrico son aquellos sistemas en los que el campo magnético en el marco inicial de referencia es insignificante, pero el campo eléctrico es fuerte. Cuando el campo eléctrico es dominante y la velocidad relativa, ${displaystyle v^{r}}$ , es bajo, entonces la siguiente transformación puede ser útil:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {E^{'}} &=mathbf {E} \mathbf {D^{'}} &=mathbf {D} \mathbf {rho _{f}^{'}} &=mathbf {rho _{f}} \mathbf {P^{'}} &=mathbf {P} \mathbf {H^{'}} &=mathbf {H} -v^{mathbf {r} }times mathbf {D} \mathbf {J_{f}^{'}} &=mathbf {J_{f}} -rho _{mathbf {f} }v^{mathbf {r} }\end{aligned}}}

Donde ${displaystyle rho _{mathbf {f} }}$ es la densidad de carga gratuita, $mathbf {P}$ es densidad de polarización. El campo magnético y la densidad de corriente libre se transforman bajo esta transformación al cambiar los marcos de referencia, pero el campo eléctrico y las cantidades conexas no cambian

Trabajo, energía cinética y cantidad de movimiento

Porque la distancia recorrida mientras se aplica una fuerza a un objeto depende del marco de referencia inercial, por lo que depende del trabajo realizado. Debido a la ley de acciones recíprocas de Newton, existe una fuerza de reacción; funciona dependiendo del marco de referencia inercial de manera opuesta. El trabajo total realizado es independiente del marco de referencia inercial.

En consecuencia, la energía cinética de un objeto, e incluso el cambio en esta energía debido a un cambio en la velocidad, depende del marco de referencia inercial. La energía cinética total de un sistema aislado también depende del marco de referencia inercial: es la suma de la energía cinética total en un marco de centro de momento y la energía cinética que tendría la masa total si estuviera concentrada en el centro. de masa Debido a la conservación del momento, este último no cambia con el tiempo, por lo que los cambios con el tiempo de la energía cinética total no dependen del marco de referencia inercial.

Por el contrario, mientras que el momento de un objeto también depende del marco de referencia inercial, su cambio debido a un cambio en la velocidad no lo hace.

Notas y referencias

^ McComb, W. D. (1999). Dinámica y relatividad. Oxford [etc.]: Oxford University Press. pp. 22–24. ISBN 0-19-850112-9.
^ a b Taylor and Wheeler's Exploring Black Holes - Introducción a la Relatividad General, Capítulo 2, 2000, p. 2:6.
^ a b c Woodson, Herbert H.; Melcher, James R. (1968). Dinámica electromecánica (PDF) (1 ed.). Nueva York: Wiley. pp. 251–329.

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