Invariancia de dominio

Invariancia del dominio es un teorema en topología sobre subconjuntos homeomorfos del espacio Euclideano Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}. Afirma:

Si U{displaystyle U} es un subconjunto abierto de Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} y f:U→ → Rn{displaystyle f:Urightarrow mathbb {R} {n} es un mapa continuo inyectable, entonces V:=f()U){displaystyle V:=f(U)} está abierto Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} y f{displaystyle f} es un homeomorfismo entre U{displaystyle U} y V{displaystyle V}.

El teorema y su demostración se deben a L. E. J. Brouwer, publicado en 1912. La prueba utiliza herramientas de topología algebraica, en particular el teorema del punto fijo de Brouwer.

Consecuencias

Una consecuencia importante del teorema de invariancia de dominio es que Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} no puede ser homeomorfo Rm{displaystyle mathbb {R} {} {m} si mل ل n.{displaystyle mneq n.} De hecho, ningún subconjunto abierto no vacío Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} puede ser homeomorfo a cualquier subconjunto abierto de Rm{displaystyle mathbb {R} {} {m} en este caso.

Generalizaciones

El teorema de la invariancia de dominio puede ser generalizado para múltiples: si M{displaystyle M} y N{displaystyle N} son topológicos n- múltiples sin límites y f:M→ → N{displaystyle f:Mto N} es un mapa continuo que es localmente uno a uno (que significa que cada punto en M{displaystyle M} tiene un vecindario así f{displaystyle f} restringida a este barrio es inyectable), entonces f{displaystyle f} es un mapa abierto (que significa que f()U){displaystyle f(U)} está abierto N{displaystyle N} siempre U{displaystyle U} es un subconjunto abierto de M{displaystyle M}) y un homeomorfismo local.

Notas