Intuicionismo

En la filosofía de las matemáticas, el intuicionismo o neointuicionismo (opuesto al preintuicionismo) es un enfoque en el que las matemáticas se consideran puramente el resultado de la actividad mental constructiva de los humanos en lugar del descubrimiento de principios fundamentales que se afirma que existen en una realidad objetiva. Es decir, la lógica y las matemáticas no se consideran actividades analíticas en las que se revelan y aplican propiedades profundas de la realidad objetiva, sino que se consideran la aplicación de métodos internamente consistentes utilizados para realizar construcciones mentales más complejas, independientemente de su posible existencia independiente en una realidad objetiva..

Verdad y prueba

La característica distintiva fundamental del intuicionismo es su interpretación de lo que significa que un enunciado matemático sea verdadero. En el intuicionismo original de Brouwer, la verdad de un enunciado matemático es una afirmación subjetiva: un enunciado matemático corresponde a una construcción mental, y un matemático puede afirmar la verdad de un enunciado solo verificando la validez de esa construcción mediante la intuición. La vaguedad de la noción intuicionista de la verdad a menudo conduce a malas interpretaciones sobre su significado. Kleene definió formalmente la verdad intuicionista desde una posición realista, pero Brouwer probablemente rechazaría esta formalización por carecer de sentido, dado su rechazo a la posición realista/platónica. Por lo tanto, la verdad intuicionista permanece algo mal definida. Sin embargo, Debido a que la noción intuicionista de la verdad es más restrictiva que la de las matemáticas clásicas, el intuicionista debe rechazar algunos supuestos de la lógica clásica para asegurarse de que todo lo que prueban sea de hecho intuicionistamente cierto. Esto da lugar a la lógica intuicionista.

Para un intuicionista, la afirmación de que existe un objeto con ciertas propiedades es la afirmación de que se puede construir un objeto con esas propiedades. Todo objeto matemático se considera producto de una construcción de una mente y, por tanto, la existencia de un objeto equivale a la posibilidad de su construcción. Esto contrasta con el enfoque clásico, que establece que la existencia de una entidad puede probarse refutando su inexistencia. Para el intuicionista, esto no es válido; la refutación de la inexistencia no significa que sea posible encontrar una construcción para el objeto putativo, como se requiere para afirmar su existencia. Como tal, el intuicionismo es una variedad del constructivismo matemático; pero no es el único tipo.

La interpretación de la negación es diferente en la lógica intuicionista que en la lógica clásica. En lógica clásica, la negación de un enunciado afirma que el enunciado es falso; para un intuicionista, significa que la declaración es refutable. Por lo tanto, existe una asimetría entre una declaración positiva y negativa en el intuicionismo. Si un enunciado P es demostrable, entonces P ciertamente no puede ser refutable. Pero incluso si se puede demostrar que P no puede ser refutado, esto no constituye una prueba de P. Por lo tanto, P es una declaración más fuerte que no-no-P.

De manera similar, para un intuicionista afirmar que A o B son válidos es afirmar que A o B pueden probarse. En particular, la ley del tercero excluido, " A o no A ", no se acepta como principio válido. Por ejemplo, si A es una afirmación matemática que un intuicionista aún no ha probado o refutado, entonces ese intuicionista no afirmará la verdad de " A o no A ". Sin embargo, el intuicionista aceptará que " A y no A" no puede ser verdadero. Por lo tanto, los conectivos "y" y "o" de la lógica intuicionista no satisfacen las leyes de Morgan como lo hacen en la lógica clásica.

La lógica intuicionista sustituye la verdad abstracta por la constructibilidad y está asociada con una transición de la demostración de la teoría del modelo a la verdad abstracta en las matemáticas modernas. El cálculo lógico preserva la justificación, en lugar de la verdad, a través de transformaciones que producen proposiciones derivadas. Se ha considerado que brinda apoyo filosófico a varias escuelas de filosofía, sobre todo al antirrealismo de Michael Dummett. Por lo tanto, contrariamente a la primera impresión que su nombre podría transmitir, y como se observa en enfoques y disciplinas específicos (por ejemplo, Conjuntos y Sistemas Borrosos), las matemáticas intuicionistas son más rigurosas que las matemáticas fundadas convencionalmente, donde, irónicamente, los elementos fundamentales que el Intuicionismo intenta construir /refutar/reencontrar se toman como dados intuitivamente.

Infinidad

Entre las diferentes formulaciones del intuicionismo, hay varias posiciones diferentes sobre el significado y la realidad del infinito.

El término infinito potencial se refiere a un procedimiento matemático en el que hay una serie interminable de pasos. Después de completar cada paso, siempre hay otro paso por realizar. Por ejemplo, considere el proceso de contar: 1, 2, 3,...

El término infinito real se refiere a un objeto matemático completo que contiene un número infinito de elementos. Un ejemplo es el conjunto de los números naturales, N = {1, 2,...}.

En la formulación de la teoría de conjuntos de Cantor, hay muchos conjuntos infinitos diferentes, algunos de los cuales son más grandes que otros. Por ejemplo, el conjunto de todos los números reales R es mayor que N, porque cualquier procedimiento que intente utilizar para poner los números naturales en correspondencia biunívoca con los números reales siempre fallará: siempre habrá un número infinito de números reales "sobrantes". Cualquier conjunto infinito que se pueda colocar en correspondencia biunívoca con los números naturales se dice que es "contable" o "numerable". Se dice que los conjuntos infinitos más grandes que este son "incontables".

La teoría de conjuntos de Cantor condujo al sistema axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), ahora la base más común de las matemáticas modernas. El intuicionismo se creó, en parte, como una reacción a la teoría de conjuntos de Cantor.

La teoría de conjuntos constructiva moderna incluye el axioma del infinito de ZFC (o una versión revisada de este axioma) y el conjunto N de números naturales. La mayoría de los matemáticos constructivos modernos aceptan la realidad de los conjuntos contables infinitos (sin embargo, véase Alexander Esenin-Volpin para un contraejemplo).

Brouwer rechazó el concepto de infinito actual, pero admitió la idea de infinito potencial."Según Weyl 1946, 'Brouwer dejó en claro, creo que más allá de cualquier duda, que no hay evidencia que apoye la creencia en el carácter existencial de la totalidad de todos los números naturales... la secuencia de números que crece más allá de cualquier etapa ya alcanzado al pasar al siguiente número, es una multiplicidad de posibilidades abiertas hacia el infinito, permanece para siempre en el estado de creación, pero no es un reino cerrado de cosas existentes en sí mismas. Que ciegamente convertimos una en la otra es la verdadera fuente de nuestras dificultades, incluidas las antinomias, una fuente de naturaleza más fundamental que la que indicaba el principio del círculo vicioso de Russell. realización,va más allá de las declaraciones que pueden reclamar un significado real y una verdad basada en la evidencia.” (Kleene (1952):Introducción a las Metamatemáticas, p. 48-49)

Historia

La historia del intuicionismo se remonta a dos controversias en las matemáticas del siglo XIX.

El primero de ellos fue la invención de la aritmética transfinita por parte de Georg Cantor y su posterior rechazo por parte de varios matemáticos destacados, incluido el más famoso de ellos su maestro Leopold Kronecker, un finitista empedernido.

El segundo de ellos fue el esfuerzo de Gottlob Frege por reducir todas las matemáticas a una formulación lógica a través de la teoría de conjuntos y su descarrilamiento por un joven Bertrand Russell, el descubridor de la paradoja de Russell. Frege había planeado un trabajo definitivo de tres volúmenes, pero justo cuando el segundo volumen iba a imprimirse, Russell le envió a Frege una carta describiendo su paradoja, que demostraba que una de las reglas de autorreferencia de Frege era contradictoria. En un apéndice del segundo volumen, Frege reconoció que uno de los axiomas de su sistema de hecho conducía a la paradoja de Russell.

Frege, cuenta la historia, se hundió en la depresión y no publicó el tercer volumen de su obra como había planeado. Para obtener más información, consulte Davis (2000), capítulos 3 y 4: Frege: From Breakthrough to Despair y Cantor: Detour through Infinity. Ver van Heijenoort para las obras originales y el comentario de van Heijenoort.

Estas controversias están fuertemente vinculadas ya que los métodos lógicos utilizados por Cantor para probar sus resultados en aritmética transfinita son esencialmente los mismos que los utilizados por Russell para construir su paradoja. Por lo tanto, la forma en que uno elige resolver la paradoja de Russell tiene implicaciones directas sobre el estatus otorgado a la aritmética transfinita de Cantor.

A principios del siglo XX, LEJ Brouwer representaba la posición intuicionista y David Hilbert la posición formalista (ver van Heijenoort). Kurt Gödel ofreció opiniones denominadas platónicas (ver varias fuentes sobre Gödel). Alan Turing considera: "sistemas lógicos no constructivos en los que no todos los pasos de una demostración son mecánicos, siendo algunos intuitivos". (Turing 1939, reimpreso en Davis 2004, p. 210) Posteriormente, Stephen Cole Kleene presentó una consideración más racional del intuicionismo en su Introducción a las metamatemáticas (1952).

Nicolas Gisin está adoptando las matemáticas intuicionistas para reinterpretar la indeterminación cuántica, la teoría de la información y la física del tiempo.

Colaboradores

• Henri Poincaré (preintuicionismo/convencionalismo)
• Navegador LEJ
• Michael Dummett
• arend heyting
• Esteban Kleene

Ramas de las matemáticas intuicionistas

• lógica intuicionista
• aritmética intuicionista
• Teoría de tipos intuicionista
• Teoría de conjuntos intuicionista
• Análisis intuicionista