Íntimo y supremo

Un juego P{displaystyle P} de números reales (círculos huecos y llenos), un subconjunto S{displaystyle S. de P{displaystyle P} (círculos llenos), y el infimum de S.{displaystyle S.} Tenga en cuenta que para conjuntos finitos o totalmente ordenados, el infimum y el mínimo son iguales.

Un juego A{displaystyle A} de números reales (círculos azules), un conjunto de límites superiores de A{displaystyle A} (daño y círculos rojos), y el más pequeño de esos límites superiores, es decir, el supremum de A{displaystyle A} (daño rojo).

En matemáticas, la infimum (abbreviado) inf; plural infima) de un subconjunto S{displaystyle S. de un conjunto parcialmente ordenado P{displaystyle P} es un elemento más grande en P{displaystyle P} que es inferior o igual a cada elemento S,{displaystyle S,} si tal elemento existe. En consecuencia, el término mayor límite inferior (abbreviado como GLB) también se utiliza comúnmente.

El supremum (abbreviado) Sup; plural supremacía) de un subconjunto S{displaystyle S. de un conjunto parcialmente ordenado P{displaystyle P} es el elemento menos P{displaystyle P} que es mayor o igual a cada elemento S,{displaystyle S,} si tal elemento existe. En consecuencia, el supremum también se denomina el inferior al límite superior (o LUB).

El ínfimo es en un sentido preciso dual al concepto de un supremo. Íntimo y suprema de números reales son casos especiales comunes que son importantes en el análisis, y especialmente en la integración de Lebesgue. Sin embargo, las definiciones generales siguen siendo válidas en el marco más abstracto de la teoría del orden, donde se consideran conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados.

Los conceptos de infimum y supremum están cerca de mínimo y máximo, pero son más útiles en el análisis porque caracterizan mejor los conjuntos especiales que pueden tener no mínimo ni máximo. Por ejemplo, el conjunto de números reales positivos R+{displaystyle mathbb {R} (no incluido) 0{displaystyle 0}) no tiene un mínimo, porque cualquier elemento dado de R+{displaystyle mathbb {R} simplemente podría dividirse en la mitad dando lugar a un número más pequeño que todavía está R+.{displaystyle mathbb {R} ^{+} Sin embargo, hay exactamente un infimum de los números reales positivos relativos a los números reales: 0,{displaystyle 0,} que es más pequeño que todos los números reales positivos y mayor que cualquier otro número real que pueda ser utilizado como un límite inferior. Un infimum de un conjunto es siempre y sólo definido en relación con un superset del conjunto en cuestión. Por ejemplo, no hay infimum de los números reales positivos dentro de los números reales positivos (como su propio superset), ni ningún infimum de los números reales positivos dentro de los números complejos con parte real positiva.

Definición formal

supremum = menor límite superior

A inferior de un subconjunto S{displaystyle S. de un conjunto parcialmente ordenado ()P,≤ ≤ ){displaystyle (P,leq)} es un elemento a{displaystyle a} de P{displaystyle P} tales que

• a≤ ≤ x{displaystyle aleq x} para todos x▪ ▪ S.{displaystyle xin S.}

Un límite inferior a{displaystyle a} de S{displaystyle S. se llama infimum (o mayor límite inferior, o conocer) de S{displaystyle S. si

• para todos los límites inferiores Sí.{displaystyle y} de S{displaystyle S. dentro P,{displaystyle P,} Sí.≤ ≤ a{displaystyle yleq a} ()a{displaystyle a} es mayor o igual a cualquier otro límite inferior).

Análogamente, superior de un subconjunto S{displaystyle S. de un conjunto parcialmente ordenado ()P,≤ ≤ ){displaystyle (P,leq)} es un elemento b{displaystyle b} de P{displaystyle P} tales que

• b≥ ≥ x{displaystyle bgeq x} para todos x▪ ▪ S.{displaystyle xin S.}

Un borde superior b{displaystyle b} de S{displaystyle S. se llama supremum (o inferior al límite superior, o unirse) de S{displaystyle S. si

• para todos los límites superiores z{displaystyle z} de S{displaystyle S. dentro P,{displaystyle P,} z≥ ≥ b{displaystyle zgeq b} ()b{displaystyle b} es inferior o igual a cualquier otro límite superior).

Existencia y unicidad

La infima y la supremacía no existen necesariamente. Existencia de un infimum de un subconjunto S{displaystyle S. de P{displaystyle P} puede fallar si S{displaystyle S. no tiene límite inferior en absoluto, o si el conjunto de límites inferiores no contiene un elemento más grande. Sin embargo, si existe un infimum o supremum, es único.

En consecuencia, los conjuntos parcialmente ordenados para los que se sabe que existen ciertos ínfimos se vuelven especialmente interesantes. Por ejemplo, un retículo es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos finitos no vacíos tienen un supremo y un ínfimo, y un retículo completo es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos tienen tanto un supremo como un ínfimo. Más información sobre las diversas clases de conjuntos parcialmente ordenados que surgen de tales consideraciones se encuentran en el artículo sobre propiedades de completitud.

Si el supremum de un subconjunto S{displaystyle S. existe, es único. Si S{displaystyle S. contiene un elemento más grande, entonces ese elemento es el supremum; de lo contrario, el supremum no pertenece a S{displaystyle S. (o no existe). Del mismo modo, si el infimum existe, es único. Si S{displaystyle S. contiene un elemento menos, entonces ese elemento es el infimum; de lo contrario, el infimum no pertenece a S{displaystyle S. (o no existe).

Relación con elementos máximos y mínimos

El infimum de un subconjunto S{displaystyle S. de un conjunto parcialmente ordenado P,{displaystyle P,} suponiendo que exista, no pertenece necesariamente a S.{displaystyle S.} Si lo hace, es un elemento mínimo o menos importante S.{displaystyle S.} Del mismo modo, si el supremum de S{displaystyle S. pertenece S,{displaystyle S,} es un elemento máximo o mayor S.{displaystyle S.}

Por ejemplo, considere el conjunto de números reales negativos (excluyendo cero). Este conjunto no tiene un elemento más grande, ya que para cada elemento del conjunto, hay otro elemento más grande. Por ejemplo, para cualquier número real negativo x,{displaystyle x,} hay otro número real negativo x2,{displaystyle {tfrac {x}{2}}} que es mayor. Por otro lado, cada número real mayor o igual a cero es ciertamente un límite superior en este conjunto. Por lo tanto, 0{displaystyle 0} es el límite inferior superior de los reinos negativos, por lo que el supremum es 0. Este conjunto tiene un supremum pero ningún elemento más grande.

Sin embargo, la definición de elementos máximos y mínimos es más general. En particular, un conjunto puede tener muchos elementos máximos y mínimos, mientras que infima y suprema son únicos.

Mientras que los máximos y los mínimos deben ser miembros del subconjunto que se está considerando, el mínimo y el supremo de un subconjunto no necesitan ser miembros de ese subconjunto.

Límites superiores mínimos

Finalmente, un conjunto parcialmente ordenado puede tener muchos límites superiores mínimos sin tener un límite superior mínimo. Los límites superiores mínimos son aquellos límites superiores para los que no hay un elemento estrictamente más pequeño que también sea un límite superior. Esto no significa que cada límite superior mínimo sea menor que todos los demás límites superiores, simplemente no es mayor. La distinción entre "mínimo" y "menos" sólo es posible cuando el orden dado no es total. En un conjunto totalmente ordenado, como los números reales, los conceptos son los mismos.

Como ejemplo, dejemos S{displaystyle S. ser el conjunto de todos los subconjuntos finitos de números naturales y considerar el conjunto parcialmente ordenado obtenido tomando todos los conjuntos de S{displaystyle S. junto con el conjunto de enteros Z{displaystyle mathbb {Z} y el conjunto de números reales positivos R+,{displaystyle mathbb {R} ^{+} ordenado por la inclusión del subconjunto como arriba. Entonces claramente ambos Z{displaystyle mathbb {Z} y R+{displaystyle mathbb {R} son más grandes que todos los conjuntos finitos de números naturales. Sin embargo, tampoco lo es R+{displaystyle mathbb {R} más pequeño que Z{displaystyle mathbb {Z} ni es el verdadero contrario: ambos conjuntos son límites superiores mínimos pero ninguno es un supremum.

Propiedad del límite superior mínimo

La propiedad del límite superior mínimo es un ejemplo de las propiedades de integridad antes mencionadas, que es típica para el conjunto de números reales. Esta propiedad a veces se denomina completitud de Dedekind.

Si un set ordenado S{displaystyle S. tiene la propiedad que cada subconjunto no vacío S{displaystyle S. tener un límite superior también tiene un límite mínimo superior, entonces S{displaystyle S. se dice que tiene la propiedad menos alta. Como se señaló anteriormente, el conjunto R{displaystyle mathbb {R} de todos los números reales tiene la propiedad menos alta. Del mismo modo, el conjunto Z{displaystyle mathbb {Z} de los enteros tiene la propiedad menos elevada; si S{displaystyle S. es un subconjunto no vacío Z{displaystyle mathbb {Z} y hay un número n{displaystyle n} tal que cada elemento s{displaystyle s} de S{displaystyle S. es menor o igual a n,{displaystyle n,} entonces hay un límite inferior u{displaystyle u} para S,{displaystyle S,} un entero que es un límite superior para S{displaystyle S. y es inferior o igual a cualquier otro límite superior para S.{displaystyle S.} Un conjunto bien ordenado también tiene la propiedad menos alta, y el subconjunto vacío tiene también un límite mínimo superior: el mínimo de todo el conjunto.

Un ejemplo de un conjunto que carencias la propiedad menos alta es Q,{displaystyle mathbb {Q} el conjunto de números racionales. Vamos S{displaystyle S. ser el conjunto de todos los números racionales q{displaystyle q} tales que <math alttext="{displaystyle q^{2}q2.2.{displaystyle q^{2}traducido2.}<img alt="{displaystyle q^{2} Entonces... S{displaystyle S. tiene un límite superior (1000,{displaystyle 1000,} por ejemplo, o 6{displaystyle 6}) pero no menos el límite superior en Q{displaystyle mathbb {Q}: Si supusimos p▪ ▪ Q{displaystyle pin mathbb {Q} es el límite más alto, una contradicción se deduce inmediatamente porque entre dos reales x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} (incluidas 2{displaystyle {sqrt {2}} y p{displaystyle p}) existe algo racional r,{displaystyle r,} que en sí mismo tendría que ser el límite más alto (si {sqrt {2}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p■2{displaystyle p confía{sqrt {2}}{sqrt {2}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76bad2c26405baa845ca0228e6e011525a57d492" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.456ex; height:3.009ex;"/>) o un miembro de S{displaystyle S. más grande que p{displaystyle p} (si <math alttext="{displaystyle pp.2{displaystyle p made{sqrt {2}}<img alt="{displaystyle p). Otro ejemplo es el hiperreal; no hay menor límite superior del conjunto de infinitos positivos.

Hay una propiedad de límite superior-inferior correspondiente; un conjunto ordenado posee la propiedad del límite inferior mayor si y solo si también posee la propiedad del límite superior mínimo; el límite superior mínimo del conjunto de límites inferiores de un conjunto es el límite inferior mayor, y el límite inferior mayor del conjunto de límites superiores de un conjunto es el límite superior mínimo del conjunto.

Si en un conjunto parcialmente ordenado P{displaystyle P} cada subconjunto atado tiene un supremum, esto también aplica, para cualquier conjunto X,{displaystyle X. en el espacio de funciones que contiene todas las funciones X{displaystyle X} a P,{displaystyle P,} Donde f≤ ≤ g{displaystyle fleq g} si f()x)≤ ≤ g()x){displaystyle f(x)leq g(x)} para todos x▪ ▪ X.{displaystyle xin X.} Por ejemplo, se aplica para funciones reales, y, puesto que éstas pueden considerarse casos especiales de funciones, para reales n{displaystyle n}-tuples y secuencias de números reales.

La propiedad de límite superior mínimo es un indicador de suprema.

Infima y suprema de los números reales

En análisis, infima y supremacía de subconjuntos S{displaystyle S. de los números reales son particularmente importantes. Por ejemplo, los números reales negativos no tienen un elemento más grande, y su supremum es 0{displaystyle 0} (que no es un número real negativo). La integridad de los números reales implica (y es equivalente a) que cualquier subconjunto no vacío consolidado S{displaystyle S. de los números reales tiene un infimum y un supremum. Si S{displaystyle S. no está atado a continuación, uno a menudo escrito formalmente infS=− − JUEGO JUEGO .{displaystyle inf - Está bien. Si S{displaystyle S. está vacío, uno escribe infS=+JUEGO JUEGO .{displaystyle inf _{}S=+infty.}

Propiedades

Las siguientes fórmulas dependen de una notación que generalice convenientemente las operaciones aritméticas en conjuntos: Deja que los sets A,B⊆ ⊆ R,{displaystyle A,Bsubseteq mathbb {R} and scalar r▪ ▪ R.{displaystyle rin mathbb {R}.} Define

• rA={}r⋅ ⋅ a:a▪ ▪ A}{displaystyle rA=cdot a:ain A}; el producto escalar de un conjunto es sólo el escalar multiplicado por cada elemento en el conjunto. El caso r=− − 1{displaystyle R=-1} es denotado por − − A:=()− − 1)A={}− − a:a▪ ▪ A}.{displaystyle -A:=(-1)A={-a:a A}
• A+B={}a+b:a▪ ▪ A,b▪ ▪ B}{displaystyle A+B={a+b:ain A,bin B}; llamada la suma de Minkowski, es la suma aritmética de dos conjuntos es la suma de todos los pares posibles de números, uno de cada conjunto.
• A⋅ ⋅ B={}a⋅ ⋅ b:a▪ ▪ A,b▪ ▪ B}{displaystyle Acdot B={acdot b:ain A,bin B}; el producto aritmético de dos conjuntos es todos los productos de pares de elementos, uno de cada conjunto.

En aquellos casos en que el infima y la supremacía de los conjuntos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} existen las siguientes identidades:

• Aل ل ∅ ∅ {displaystyle Aneq varnothing } si SupA≥ ≥ infA,{displaystyle sup Ageq inf A,} y de otro modo <math alttext="{displaystyle -infty =sup varnothing − − JUEGO JUEGO =Sup∅ ∅ .inf∅ ∅ =JUEGO JUEGO .{displaystyle -infty =sup varnothing =inf varnothing =infty.}<img alt="{displaystyle -infty =sup varnothing
• Si ∅ ∅ ل ل S⊆ ⊆ R{displaystyle varnothing neq Ssubseteq mathbb {R} entonces existe una secuencia s∙ ∙ =()sn)n=1JUEGO JUEGO {displaystyle s_{bullet }=left(s_{n}right)_{n=1} {infty } dentro S{displaystyle S. tales que limn→ → JUEGO JUEGO sn=SupS.{displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=sup S.} Del mismo modo, existirá una secuencia (posiblemente diferente) s∙ ∙ {displaystyle s_{bullet } dentro S{displaystyle S. tales que limn→ → JUEGO JUEGO sn=infS.{displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=inf S.} En consecuencia, si el límite limn→ → JUEGO JUEGO sn=SupS{displaystyle lim _{nto infty }s_{n}=sup S. es un número real y si f:R→ → X{displaystyle f:mathbb {R} to X} es una función continua, entonces f()SupS){displaystyle fleft(sup Sright)} es necesariamente un punto adherente f()S).{displaystyle f(S).}
• p=infA{displaystyle p=inf A} si p{displaystyle p} es un límite inferior y para cada 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle epsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/> hay un aε ε ▪ ▪ A{displaystyle a_{epsilon}in A} con <math alttext="{displaystyle a_{epsilon }

  aε ε .p+ε ε .{displaystyle a_{epsilon - ¿Qué?<img alt="{displaystyle a_{epsilon }

• p=SupA{displaystyle p=sup A} si p{displaystyle p} es un límite superior y si por cada 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle epsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/> hay un aε ε ▪ ▪ A{displaystyle a_{epsilon}in A} con p-epsilon }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">aε ε ■p− − ε ε {displaystyle a_{epsilon } {epsilon }p-epsilon }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641d64518f5d567781b37b4307079a4a2d85ddd7" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.182ex; height:2.343ex;"/>
• Si A⊆ ⊆ B{displaystyle Asubseteq B} y luego infA≥ ≥ infB{displaystyle inf Ageq inf B} y SupA≤ ≤ SupB.{displaystyle sup Aleq sup B.}
• Si r≥ ≥ 0{displaystyle rgeq 0} entonces inf()r⋅ ⋅ A)=r()infA){displaystyle inf(rcdot A)=rleft(inf Aright)} y Sup()r⋅ ⋅ A)=r()SupA).{displaystyle sup(rcdot A)=rleft(sup Aright).}
• Si r≤ ≤ 0{displaystyle rleq 0} entonces inf()r⋅ ⋅ A)=r()SupA){displaystyle inf(rcdot A)=rleft(sup Aright)} y Sup()r⋅ ⋅ A)=r()infA).{displaystyle sup(rcdot A)=rleft(inf Aright).} En particular, inf()− − A)=− − SupA{displaystyle inf(-A)=-sup A} y Sup()− − A)=− − infA.{displaystyle sup(-A)=-inf A.}
• inf()A+B)=()infA)+()infB){displaystyle inf(A+B)=left(inf Aright)+left(inf Bright)} y Sup()A+B)=()SupA)+()SupB).{displaystyle sup(A+B)=left(sup Aright)+left(sup Bright). }
• Si A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son conjuntos no vacíos de números reales positivos entonces inf()A⋅ ⋅ B)=()infA)⋅ ⋅ ()infB){displaystyle inf(Acdot B)=left(inf Aright)cdot left(inf Bright)} y similarmente por la supremacía Sup()A⋅ ⋅ B)=()SupA)⋅ ⋅ ()SupB).{displaystyle sup(Acdot B)=left(sup Aright)cdot left(sup Bright). }
• Si S⊆ ⊆ ()0,JUEGO JUEGO ){displaystyle Ssubseteq (0,infty)} no es vacía y si 1S:={}1s:s▪ ▪ S},{displaystyle {frac {}{S}=left{frac} {1}{s}:sin Sright},} entonces 1SupS=inf1S{displaystyle {frac}{sup} ¿Qué? {1}{S}} donde esta ecuación también sostiene cuando SupS=JUEGO JUEGO {displaystyle sup _{}S=infty } si la definición 1JUEGO JUEGO :=0{displaystyle {frac}{infty} }=0} se utiliza. Esta igualdad puede ser escrita como alternativa 1Sups▪ ▪ Ss=infs▪ ▪ S1s.{displaystyle {frac}{displaystyle sup _{sin S}=inf ¿Por qué? {1} {}}} Además, infS=0{displaystyle inf _{}S=0} si Sup1S=JUEGO JUEGO ,{displaystyle sup _{}{frac {1}=infty} ¿Dónde? 0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">infS■0,{displaystyle inf _{}S confía0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1747d9cb728d6deb9f7ff6d966662c15e40215" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.445ex; height:3.676ex;"/> entonces 1infS=Sup1S.{displaystyle {frac}{inf} ¿Qué? {1} {S}}

Dualidad

Si uno denota por Poperaciones{displaystyle P^{operatorname {op} el conjunto de orden parcial P{displaystyle P} con la relación del orden opuesto; es decir, para todos xySí.,{displaystyle x{text{ y}}y,} Declarar:

x≤ ≤ Sí.dentroPoperacionessix≥ ≥ Sí.dentroP,{displaystyle xleq y{text{ in }P^{operatorname {op}quad {text{ if and only if }quad xgeq y{text{ in }P,}

S{displaystyle S.

P{displaystyle P}

S{displaystyle S.

Poperaciones{displaystyle P^{operatorname {op}

Para subconjuntos de los números reales, otro tipo de dualidad sostiene: infS=− − Sup()− − S),{displaystyle inf S=-sup(-S),} Donde − − S:={}− − s:s▪ ▪ S}.{displaystyle - Sí. S}

Ejemplos

Íntima

• El infimum del conjunto de números {}2,3,4}{displaystyle {2,3,4}} es 2.{displaystyle 2.} El número 1{displaystyle 1} es un límite inferior, pero no el límite más bajo, y por lo tanto no el infimum.
• Más generalmente, si un conjunto tiene un elemento más pequeño, entonces el elemento más pequeño es el infimum para el conjunto. En este caso, también se llama el mínimo del conjunto.
• inf{}1,2,3,...... }=1.{displaystyle inf{1,2,3,ldots}=1.}
• <math alttext="{displaystyle inf{xin mathbb {R}:0<xinf{}x▪ ▪ R:0.x.1}=0.{displaystyle inf{xin mathbb {R}:0 obtenidos1}=0}<img alt="{displaystyle inf{xin mathbb {R}:0<x
• 2right}={sqrt[{3}]{2}}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">inf{}x▪ ▪ Q:x3■2}=23.{displaystyle inf left{xin mathbb {Q}:x^{3} {={sqrt [{3} {2}}.}2right}={sqrt[{3}]{2}}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426d2eb56064e9fe795284a944ced4ac871473c8" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.153ex; height:3.343ex;"/>
• inf{}()− − 1)n+1n:n=1,2,3,...... }=− − 1.{displaystyle inf left{(-1)^{n}+{tfrac {1} {n}:n=1,2,3,ldots right}=-1.}
• Si ()xn)n=1JUEGO JUEGO {displaystyle left(x_{n}right)_{n=1}{infty } es una secuencia decreciente con límite x,{displaystyle x,} entonces infxn=x.{displaystyle inf x_{n}=x.}

Supremo

• El supremum del conjunto de números {}1,2,3}{displaystyle {1,2,3}} es 3.{displaystyle 3.} El número 4{displaystyle 4} es un límite superior, pero no es el límite inferior superior, y por lo tanto no es el supremum.
• <math alttext="{displaystyle sup{xin mathbb {R}:0<xSup{}x▪ ▪ R:0.x.1}=Sup{}x▪ ▪ R:0≤ ≤ x≤ ≤ 1}=1.{displaystyle sup{xin mathbb {R}:0 se hizo realidad1}=sup{xin mathbb {R}:0leq xleq 1}=1.}<img alt="{displaystyle sup{xin mathbb {R}:0<x
• Sup{}()− − 1)n− − 1n:n=1,2,3,...... }=1.{displaystyle sup left{(-1)^{n}-{tfrac {1} {n}:n=1,2,3,ldots right}=1.}
• Sup{}a+b:a▪ ▪ A,b▪ ▪ B}=SupA+SupB.{displaystyle sup{a+b:ain A,bin B}=sup A+sup B.}
• <math alttext="{displaystyle sup left{xin mathbb {Q}:x^{2}Sup{}x▪ ▪ Q:x2.2}=2.{displaystyle sup left{xin mathbb [Q]:x^{2} 0}={sqrt {2}}<img alt="{displaystyle sup left{xin mathbb {Q}:x^{2}

En el último ejemplo, el supremo de un conjunto de racionales es irracional, lo que significa que los racionales están incompletos.

Una propiedad básica del supremo es

Sup{}f()t)+g()t):t▪ ▪ A}≤ ≤ Sup{}f()t):t▪ ▪ A}+Sup{}g()t):t▪ ▪ A}{displaystyle sup{f(t)+g(t):tin A}~leq ~sup{f(t):tin A}+sup{g(t):tin A}}

f{displaystyle f}

g.{displaystyle g.}

El supremum de un subconjunto S{displaystyle S. de ()N,▪ ▪ ){displaystyle (mathbb {N}mid ,)} Donde ▪ ▪ {displaystyle ,mid ,} denota "divides", es el múltiplo común más bajo de los elementos S.{displaystyle S.}

El supremum de un conjunto S{displaystyle S. que contiene subconjuntos de algunos conjuntos X{displaystyle X} es la unión de los subconjuntos al considerar el conjunto parcialmente ordenado ()P()X),⊆ ⊆ ){displaystyle (P(X),subseteq)}, donde P{displaystyle P} es el conjunto de poder X{displaystyle X} y ⊆ ⊆ {displaystyle ,subseteq ,} es subconjunto.