Intervalo unitario

El intervalo de unidad como subconjunto de la línea real

En matemáticas, el intervalo unitario es el intervalo cerrado [0,1], es decir, el conjunto de todos los números reales que son mayores mayor o igual a 0 y menor o igual a 1. A menudo se denota I (letra mayúscula I). Además de su papel en el análisis real, el intervalo unitario se utiliza para estudiar la teoría de la homotopía en el campo de la topología.

En la literatura, el término "intervalo unitario" a veces se aplica a las otras formas que podría tomar un intervalo de 0 a 1: (0,1], [0,1) y (0,1). Sin embargo, la notación I suele reservarse para el intervalo cerrado [0,1].

Propiedades

El intervalo unitario es un espacio métrico completo, homeomorfo a la recta de números reales extendida. Como espacio topológico, es compacto, contráctil, conectado por caminos y localmente conectado por caminos. El cubo de Hilbert se obtiene tomando un producto topológico de muchas copias contables del intervalo unitario.

En el análisis matemático, el intervalo unitario es una variedad analítica unidimensional cuyo límite consiste en los dos puntos 0 y 1. Su orientación estándar va de 0 a 1.

El intervalo unitario es un conjunto totalmente ordenado y un retículo completo (todo subconjunto del intervalo unitario tiene un supremo y un ínfimo).

Cardinalidad

El tamaño o cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene.

El intervalo de unidad es un subconjunto de los números reales R{displaystyle mathbb {R}. Sin embargo, tiene el mismo tamaño que todo el conjunto: la cardinalidad del continuum. Dado que los números reales se pueden utilizar para representar puntos a lo largo de una línea infinitamente larga, esto implica que un segmento de línea de longitud 1, que es parte de esa línea, tiene el mismo número de puntos en toda la línea. Además, tiene el mismo número de puntos como un cuadrado de área 1, como un cubo de volumen 1, e incluso como un sin límites n-dimensional Espacio euclidiano Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} (ver curva de llenado espacial).

La cantidad de elementos (ya sean números reales o puntos) en todos los conjuntos mencionados anteriormente es incontable, ya que es estrictamente mayor que la cantidad de números naturales.

Generalizaciones

El intervalo [-1,1], con la longitud dos, demarcada por las unidades positivas y negativas, ocurre con frecuencia, como en el rango de las funciones trigonométricas sine y cosine y la función hiperbólica tanh. Este intervalo se puede utilizar para el dominio de funciones inversas. Por ejemplo, cuando θ está restringido a [π−/2, π/2] entonces pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio {displaystyle sin theta } está en este intervalo y el arcsine se define allí.

A veces, el término "intervalo de unidad" se utiliza para referirse a objetos que juegan un papel en varias ramas de las matemáticas análogas al papel que [0,1] juega en la teoría del homotopy. Por ejemplo, en la teoría de los quivers, el intervalo de unidad (analogo del) es el gráfico cuyo conjunto de vértice es {}0,1}{displaystyle {0,1}} y que contiene un solo borde e cuya fuente es 0 y cuyo objetivo es 1. A continuación se puede definir una noción de homotopy entre homomorfismos de quiver análogos a la noción de homotopy entre mapas continuos.

Lógica difusa

En lógica, el intervalo unitario [0,1] puede interpretarse como una generalización del dominio booleano {0,1}, en cuyo caso, en lugar de solo tomar valores 0 o 1, se puede asumir cualquier valor entre 0 y 1 inclusive. Algebraicamente, la negación (NOT) se reemplaza con 1 − x; la conjunción (AND) se reemplaza con la multiplicación (xy); y la disyunción (OR) se define, según las leyes de De Morgan, como 1 − (1 − x)(1 − y).

La interpretación de estos valores como valores de verdad lógicos produce una lógica multivaluada, que constituye la base de la lógica difusa y la lógica probabilística. En estas interpretaciones, un valor se interpreta como el "grado" de verdad: hasta qué punto una proposición es verdadera, o la probabilidad de que la proposición sea verdadera.