Interpolación spline

En el campo matemático del análisis numérico, la interpolación spline es una forma de interpolación en la que el interpolante es un tipo especial de polinomio por partes llamado spline. Es decir, en lugar de ajustar un único polinomio de alto grado a todos los valores a la vez, la interpolación spline ajusta polinomios de bajo grado a pequeños subconjuntos de valores, por ejemplo, ajustando nueve polinomios cúbicos entre cada uno de los pares de diez puntos., en lugar de ajustar un solo polinomio de grado nueve a todos ellos. La interpolación spline a menudo se prefiere a la interpolación polinómica porque el error de interpolación puede reducirse incluso cuando se utilizan polinomios de bajo grado para la spline. La interpolación spline también evita el problema del fenómeno de Runge, en el que pueden producirse oscilaciones entre puntos al interpolar utilizando polinomios de alto grado.

Introducción

Originalmente, spline era un término para reglas elásticas que se doblaban para pasar por una serie de puntos predefinidos, o nudos. Con ellos se realizaron a mano dibujos técnicos para la construcción naval y la construcción, como se ilustra en la figura.

Deseamos modelar tipos similares de curvas usando un conjunto de ecuaciones matemáticas. Supongamos que tenemos una secuencia de ${displaystyle n+1}$ nudos, ${displaystyle (x_{0},y_{0}}$ a través de ${displaystyle (x_{n},y_{n}}$. Habrá un polinomio cúbico ${displaystyle q_{i}(x)=y}$ entre cada par sucesivo de nudos ${displaystyle (x_{i-1},y_{i-1}}$ y ${displaystyle (x_{i},y_{i}}$ conectando a ambos, donde ${displaystyle i=1,2,dotsn}$. Así que habrá ${displaystyle n}$ polinomios, con el primer polinomio ${displaystyle (x_{0},y_{0}}$, y el último final polinomio en ${displaystyle (x_{n},y_{n}}$.

La curvatura de cualquier curva ${displaystyle y=y(x)}$ se define como

${displaystyle kappa ={frac {y'}{(1+y'^{2}}}}}}$

Donde ${displaystyle y'}$ y ${displaystyle y'}$ son los derivados primero y segundo de ${displaystyle y(x)}$ con respecto a ${displaystyle x}$. Para hacer que la espola tome una forma que minimiza la flexión (bajo la limitación de pasar a través de todos los nudos), definiremos ambos ${displaystyle y'}$ y ${displaystyle y'}$ ser continuo en todas partes, incluyendo en los nudos. Cada polinomio sucesivo debe tener valores iguales (que son iguales al valor y del punto de datos correspondiente), derivados y segundos derivados en sus nudos de unión, es decir que

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f}f}fnMicros}f}f}f}fnMicrosoft SansiguenMicrosoft Sansigues}fnMicros}fnMicros}fnMicrosoft Sans}fnun}fnMicrosigues}}fnMicros}fnMicros}fnMicros}fnMicrosoft Sansiguesigues}}fnun}fnMicrosoft Sansiguesigues}fnMicrosoft Sans}f}f}fnMicro 1leq ileq n-1.}$

Esto sólo se puede lograr si se utilizan polinomios de grado 3 (polinomios cúbicos) o superiores. El enfoque clásico es utilizar polinomios de exactamente grado 3: splines cúbicos.

Además de las tres condiciones anteriores, un 'escuadra cúbica natural' tiene la condición de que ${displaystyle q''_{1}(x_{0}=q''_{n}(x_{n}=0}$.

Además de las tres condiciones principales arriba, un 'pinza cúbica sujetada' tiene las condiciones ${displaystyle q'_{1}(x_{0})=f'(x_{0}$ y ${displaystyle q'_{n}(x_{n})=f'(x_{n}$ Donde ${displaystyle f'(x)}$ es el derivado de la función interpolada.

Además de las tres condiciones principales arriba, un 'no-a-knot spline' tiene las condiciones ${displaystyle q'''_{1}(x_{1})=q'''_{2}(x_{1}}$ y ${displaystyle q''''_{n-1}(x_{n-1}=q'''''_{n}(x_{n-1})}$.

Algoritmo para encontrar el spline cúbico de interpolación

Deseamos encontrar cada polinomio ${displaystyle q_{i}(x)}$ dados los puntos ${displaystyle (x_{0},y_{0}}$ a través de ${displaystyle (x_{n},y_{n}}$. Para hacer esto, consideraremos sólo una sola pieza de la curva, ${displaystyle q(x)}$, que se interpone ${displaystyle (x_{1},y_{1}}$ a ${displaystyle (x_{2},y_{2}}$. Esta pieza tendrá pendientes ${displaystyle K_{1}$ y ${displaystyle K_{2}$ en sus puntos finales. O, más precisamente,

${displaystyle q(x_{1})=y_{1}$

${displaystyle q(x_{2}=y_{2}$

${displaystyle q'(x_{1})=k_{1}$

${displaystyle q'(x_{2})=k_{2}$

La ecuación completa ${displaystyle q(x)}$ se puede escribir en la forma simétrica

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {b}b}bb}b}bb}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}bb}b}b}b}b}b}b}b}b}b}{b}{b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}b}$

()1)

dónde

${displaystyle t(x)={frac {x-x_{1}{x_{2}-x_{1}}}} {x_}} {cH} {cH00}}$

()2)

${displaystyle a=k_{1}(x_{2}-x_{1}-(y_{2}-y_{1}),}$

()3)

${displaystyle b=-k_{2}(x_{2}-x_{1})+(y_{2}-y_{1}). }$

()4)

Pero ¿qué ${displaystyle K_{1}$ y ${displaystyle K_{2}$? Para obtener estos valores críticos, debemos considerar que

${displaystyle q'={frac {dq}{dx}={frac} {dq}{dt}{frac} {dt}{dx}={frac} {dq}{dt}{frac} {1}{x_{2}-x_{1}}}$

De ello se deduce que

${displaystyle q'={frac {y_{2}-y_{1}{x_{2}}+(1-2t){a(1-t)+bt}{x_{2}-x_{1}}}+t(1-t){frac {B-a}{2}-x_{1}}}}$

()5)

${displaystyle q'=2{frac {b-2a+(a-b)3t}{(x_{2}-x_{1}} {2}}}}}} {b-2a+(a-b)3t}{(x_{2}$

()6)

Configuración de t = 0 y t = 1 respectivamente en las ecuaciones (5) y (6), se obtiene de (2) que efectivamente primeras derivadas q′(x₁) = k< sub>1 y q′(x₂) = k₂, y también segundas derivadas

${displaystyle q'(x_{1})=2{frac {b-2a}{(x_{2}-x_{1}}} {2}}}}}}}$

()7)

${displaystyle q'(x_{2})=2{frac {a-2b}{(x_{2}-x_{1}}}} {2}}}}}} {ccccH0}$

()8)

Si ahora (x_i, y_i), < i>i = 0, 1,..., n son n + 1 puntos, y

${displaystyle q_{i}=(1-t),y_{i-1}+t,y_{i}+t(1-t){big (}(1-t),a_{i}+t,b_{i}{big)}}}$

()9)

Donde i = 1, 2,... n, y ${displaystyle t={tfrac {x-x_{i-1}{x_}-x_{i-1}}$ son n polinomios de tercer grado interpolando Sí. en el intervalo x_i−1 ≤ x ≤ x_i para i = 1,... n tales que q_i ()x_i) q_{i+ 1}()x_i) para i = 1,... n- 1, entonces n polinomios juntos definen una función diferenciable en el intervalo x₀ ≤ x ≤ x_n, y

${displaystyle a_{i}=k_{i-1}(x_{i}-x_{i-1}-(y_{i}-y_{i-1}),}$

()10)

${displaystyle b_{i}=-k_{i}(x_{i}-x_{i-1})+(y_{i}-y_{i-1})}$

()11)

para i = 1,..., n, donde

${displaystyle k_{0}=q_{1}'(x_{0}}$

()12)

${displaystyle k_{i}=q_{i}'(x_{i})=q_{i+1}'(x_{i}),qquad i=1,dotsn-1,}$

()13)

${displaystyle k_{n}=q_{n}'(x_{n}).}$

()14)

Si la secuencia k₀, k₁,..., k_n es tal que, además, q′′_i(x_i) = q′′_i+1(x_i) se cumple para i = 1,..., n − 1, entonces la función resultante tendrá incluso una segunda derivada continua.

De (7), (8), (10) y (11) se deduce que este es el caso si y sólo si

${fnMicroc} {k_{i-1}{x_}-x_{i-1}+left({frac} {1}{x_{i}-x_{i-1}}+{frac {1}{x_{i+1}-x_{i}}right)2k_{i}+{frac} {k_{i+1}{x_{i+1}-x_{i}=3left({frac} {i}=0}=3left({i} {i} {i} {i}} {i} {i} {i} {i} {i}} {i}} {i}} {i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cci}}}}}}}}}} {i}}}}} {ci} {i} {i}}}}}}}}}}}}} {\\\\\cccccci}}} {ccccccccci}}}}}} {ccccccccccci}}}}}}}}} {y_{i}-y_{i-1}{(x_{i}-x_{i-1}}{2}}}}+{frac {y_{i+1}-y_{i}{(x_{i+1}-x_{i}}}}}}right)}$

()15)

para i = 1,..., n − 1. Las relaciones (15) son n − 1 ecuaciones lineales para los valores n + 1 k₀, k₁,..., k_n .

Para que las reglas elásticas sean el modelo para la interpolación spline, uno tiene eso a la izquierda del "nudo" y a la derecha del "nudo" la regla puede moverse libremente y por lo tanto tomará la forma de una línea recta con q′′ = 0. Como q′′ debería ser una función continua de x, "splines naturales" además de las n − 1 ecuaciones lineales (15) deberían tener

${displaystyle q''_{1}(x_{0})=2{frac {3(y_{1}-y_{0})-(k_{1}+2k_{0})(x_{1}-x_{0}{(x_{1}-x_{0}} {0}}}} {0}}} {0}}} {}}} {}}}}}} {$