Interpolación de Hermite

En análisis numérico, la interpolación de Hermite, llamada así en honor a Charles Hermite, es un método de interpolación polinomial, que generaliza la interpolación de Lagrange. La interpolación de Lagrange permite calcular un polinomio de grado menor que n que toma el mismo valor en n puntos dados como una función dada. En cambio, la interpolación de Hermite calcula un polinomio de grado menor que mn tal que el polinomio y su primer Las derivadas m − 1 tienen los mismos valores en n puntos dados como una función dada y sus primeras m − 1 derivadas.

El método de interpolación de Hermite está estrechamente relacionado con el método de interpolación de Newton, en el sentido de que ambos se derivan del cálculo de diferencias divididas. Sin embargo, existen otros métodos para calcular un polinomio de interpolación de Hermite. Se puede utilizar álgebra lineal, tomando los coeficientes del polinomio de interpolación como incógnitas y escribiendo como ecuaciones lineales las restricciones que debe satisfacer el polinomio de interpolación. Para conocer otro método, consulte el teorema del resto chino § Interpolación de Hermite.

Declaración del problema

La interpolación de Hermite consiste en calcular un polinomio de grado lo más bajo posible que coincida con una función desconocida tanto en el valor observado como en el valor observado de su primer m<. /span> derivados. Esto significa que los valores n(m + 1)

$${0} {0}} {0}} {0}} {0})} {0}}} {0}}}} {\n1})} {\n1}}} {\n1}}} {\n1}}} {\n1}} {\n1}}} {\n1}} {\n1}} {\n1}}} {\n}}}} {\n}}}}}}} {\n}\n\n}}}}\n\n\n\n\n}}}\n\n\n}}\n\n\n\n\n\n}\n}\n\n\n\n}}\n\n\n\n}\n\n\n}}\n\n}\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n}\n\n\n\n\n}\n}\n\n}\n\n}\n\n$$

Consideremos un polinomio P(x) de grado menor que n(m + 1) con coeficientes indeterminados; es decir, los coeficientes de P(x) son n(m + 1) nuevas variables. Luego, al escribir las restricciones que debe satisfacer el polinomio de interpolación, se obtiene un sistema de n(m + 1) ecuaciones lineales en n(m + 1) incógnitas.

En general, un sistema de este tipo tiene exactamente una solución. Charles Hermite demostró que este es efectivamente el caso aquí, tan pronto como los x_i son pares diferentes , y proporcionó un método para calcularlo, que se describe a continuación.

Método

Caso sencillo

Al utilizar diferencias divididas para calcular el polinomio hermita de una función f, el primer paso es copiar cada punto m veces. (Aquí vamos a considerar el caso más simple ${\displaystyle m=1}$ para todos los puntos.) Por lo tanto, dado ${\displaystyle n+1}$ puntos de datos ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldotsx_{n}$, y valores ${\displaystyle f(x_{0}),f(x_{1}),\ldotsf(x_{n}}$ y ${\displaystyle f'(x_{0}),f'(x_{1}),\ldotsf'(x_{n}}$ para una función ${\displaystyle f}$ que queremos interpolar, creamos un nuevo conjunto de datos

$${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldotsz_{2n+1}$$

$${\displaystyle z_{2i}=z_{2i+1}=x_{i}$$

Ahora, creamos una tabla de diferencias divididas para los puntos ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldotsz_{2n+1}$. Sin embargo, para algunas diferencias divididas,

$${\displaystyle z_{i}=z_{i+1}\implies f[z_{i},z_{i+1}={\frac {f(z_{i+1})-f(z_{i})}{z_{i+1}-z_{i}={\frac}=\frac {0} {0}}$$

${\displaystyle f'(z_{i})}$

Caso general

En el caso general, suponga un punto dado ${\displaystyle x_{i}}$ tiene k derivados. Luego el conjunto de datos ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldotsz_{N}$ contiene k copias idénticas ${\displaystyle x_{i}}$. Al crear la tabla, diferencias divididas ${\displaystyle j=2,3,\ldotsk}$ valores idénticos se calcularán como

$${\displaystyle {\frac {\f}(x_{i}} {j!}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}$$

Por ejemplo,

$${\displaystyle f[x_{i},x_{i}={\frac {f'''(x_{i}}{2}}}$$

$${\displaystyle f[x_{i},x_{i},x_{i},x_{i}={\frac {f^{(3)}(x_{i}}{6}}}} {}} {}} {}}} {}} {}} {}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}} {}} {}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}} {}}} {}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Ejemplo

Considerar la función ${\displaystyle f(x)=x^{8}+1}$. Evaluando la función y sus dos primeros derivados en ${\displaystyle x\in \{-1,0,1\}$, obtenemos los siguientes datos:

Puesto que tenemos dos derivados con los que trabajar, construimos el conjunto ${\displaystyle {\fnMicrosoft Sans}$. Nuestra tabla de diferencia dividida es entonces:

$${\displaystyle {\begin{llcclrrrrrr}z_{0}=-1 "f[z_{0}]=2 limitándose a crecer mutuamente, caerían juntos\\\c\s_\frac {f'(z_{0}{1}}{1}=-8 Pulsando choctando concéntrándose mutuamente [z_{1}]=2 limitada{\frac {f''''(z_{1}{2}}=28 limitada tendrían que aceptar\\\\\\\\\\f'(f'(z_{1})} {1}}=8 golpef[z_{3},z_{2},z_{0} {0} {0}} {2}}}=-21 {2}{4} {2}$$

$${x+0} {3}\c\fn1}\c\fn1}\c\fn1}\c\fn1}\c\c\fn1}\c\c\cH3}\c\cH3}\c\cH3}\c\cH3}\c\c\cH3}\cH3\c\cH3\cH3} {}+45x^{3}-30x^{3}+4x^{3}+x^{3}+x^{3}+15x^{4}-30x^{4}+12x^{4}+2x^{4}+x^{4}\4}\\\\\\\\\q\\\qd\quad\\ {}-10x^{5}+12x^{5}-2x^{5}+4x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-x^{6}+x^{6}-x^{7}+x^{7}+x^{8}\\\\\\\\=x^{8}+1.$$

${\textstyle \prod ¿Por qué?$

Interpolación de Quintic Hermite

La interpolación hermita quintica basada en la función (${\displaystyle f}$), su primera (${\displaystyle f'}$) y segundos derivados (${\displaystyle f'}$) en dos puntos diferentes (${\displaystyle x_{0}$ y ${\displaystyle x_{1}}$) se puede utilizar por ejemplo para interponer la posición de un objeto basado en su posición, velocidad y aceleración. La forma general es dada por

$${x}{0} {x}$$

Error

Llame al polinomio calculado H y función original f. Evaluación de un punto ${\displaystyle x\in [x_{0},x_{n}}$, la función de error es

$${\displaystyle f(x)-H(x)={\frac {\f}(c)}{K}}\prod _{i}(x-x_{i})}{k_{i}}}}$$

${\displaystyle [x_{0},x_{N}$

${\displaystyle K_{i}$

${\displaystyle x_{i}}$