Interpolación

En el campo matemático del análisis numérico, la interpolación es un tipo de estimación, un método para construir (encontrar) nuevos puntos de datos basados en el rango de un conjunto discreto de puntos de datos conocidos.

En ingeniería y ciencia, a menudo se tiene una cantidad de puntos de datos, obtenidos mediante muestreo o experimentación, que representan los valores de una función para una cantidad limitada de valores de la variable independiente. A menudo se requiere interpolar; es decir, estimar el valor de esa función para un valor intermedio de la variable independiente.

Un problema estrechamente relacionado es la aproximación de una función complicada por una función simple. Supongamos que se conoce la fórmula de alguna función dada, pero es demasiado complicada para evaluarla de manera eficiente. Se pueden interpolar algunos puntos de datos de la función original para producir una función más simple que aún se acerque bastante a la original. La ganancia resultante en simplicidad puede compensar la pérdida por error de interpolación y brindar un mejor rendimiento en el proceso de cálculo.

Interpolación de un conjunto finito de puntos en una epitrocóidea. Los puntos en rojo están conectados por curvas de especias interpoladas azules deducidas sólo desde los puntos rojos. Las curvas interpoladas tienen fórmulas polinómicas mucho más simples que las de la curva epitrocóide original.

Ejemplo

Esta tabla da algunos valores de una función desconocida ${displaystyle f(x)}$.

Plot of the data points as given in the table

	${displaystyle x}$		${displaystyle f(x)}$
	0		0
	1		0	.	8415
	2		0	.	9093
	3		0	.	1411
	4		−0	.	7568
	5		−0	.	9589
	6		−0	.	2794

La interpolación proporciona un medio para estimar la función en puntos intermedios, como ${displaystyle x=2.5.}$

Describimos algunos métodos de interpolación, que difieren en propiedades tales como: precisión, costo, número de puntos de datos necesarios y suavidad de la función de interpolación resultante.

Interpolación constante por partes

Interpolación constante pócica o interpolación vecinal más cercana

El método de interpolación más simple es ubicar el valor de datos más cercano y asignar el mismo valor. En problemas simples, es poco probable que se utilice este método, ya que la interpolación lineal (ver a continuación) es casi tan fácil, pero en la interpolación multivariante de mayor dimensión, esta podría ser una opción favorable por su velocidad y simplicidad.

Interpolación lineal

Parcela de los datos con interpolación lineal superpuesta

Uno de los métodos más simples es la interpolación lineal (a veces conocida como lerp). Considere el ejemplo anterior de estimación de f(2.5). Dado que 2,5 está a medio camino entre 2 y 3, es razonable tomar f(2,5) a medio camino entre f(2) = 0,9093 y f(3) = 0,1411, lo que da 0,5252.

Por lo general, la interpolación lineal toma dos puntos de datos, digamos (x_a,y_{< i>a}) y (x_b,y_{< i>b}), y el interpolante viene dado por:

${displaystyle Y=y_{a}+left(y_{b}-y_{a}right){frac {x-x_{a} {x_{b}} {text{ at the point }left(x,yright)}$

${fnMicroc} {y-y_{a} {y_{b}-y_{a}={frac} {x-x_{a} {x_{b}-x_{a}}}$

${fnMicroc} {y-y_{a}{x-x_{a}}={frac {y_{b}-y_{a} {x_{b}$

Esta ecuación anterior indica que la pendiente de la nueva línea entre ${displaystyle (x_{a},y_{a}}$ y ${displaystyle (x,y)}$ es el mismo que la pendiente de la línea entre ${displaystyle (x_{a},y_{a}}$ y ${displaystyle (x_{b},y_{b}}$

La interpolación lineal es rápida y fácil, pero no es muy precisa. Otra desventaja es que el interpolante no es diferenciable en el punto x_k.

La siguiente estimación del error muestra que la interpolación lineal no es muy precisa. Denote la función que queremos interpolar por g, y suponga que x se encuentra entre x_a y x_b y que g es dos veces diferenciable continuamente. Entonces el error de interpolación lineal es

${displaystyle Silenciof(x)-g(x) Previousleq C(x_{b}-x_{a}}quad {text{where}quad C={frac {1}max _{rin} [x_{a},x_{b}}$

En palabras, el error es proporcional al cuadrado de la distancia entre los puntos de datos. El error en algunos otros métodos, incluida la interpolación polinomial y la interpolación spline (descrita a continuación), es proporcional a potencias más altas de la distancia entre los puntos de datos. Estos métodos también producen interpoladores más suaves.

Interpolación de polinomios

Plot of the data with polynomial interpolation applied

La interpolación polinomial es una generalización de la interpolación lineal. Tenga en cuenta que el interpolante lineal es una función lineal. Ahora reemplazamos este interpolante con un polinomio de mayor grado.

Considere de nuevo el problema anterior. El siguiente polinomio de sexto grado pasa por los siete puntos:

${displaystyle f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.}$

Sustituyendo x = 2,5, encontramos que f(2,5) = ~0,59678.

Por lo general, si tenemos n puntos de datos, hay exactamente un polinomio de grado como máximo n−1 que pasa por todos los puntos de datos. El error de interpolación es proporcional a la distancia entre los puntos de datos a la potencia n. Además, el interpolante es un polinomio y, por tanto, infinitamente diferenciable. Entonces, vemos que la interpolación polinomial supera la mayoría de los problemas de la interpolación lineal.

Sin embargo, la interpolación de polinomios también tiene algunas desventajas. Calcular el polinomio de interpolación es computacionalmente costoso (ver complejidad computacional) en comparación con la interpolación lineal. Además, la interpolación de polinomios puede exhibir artefactos oscilatorios, especialmente en los puntos finales (ver el fenómeno de Runge).

La interpolación polinomial puede estimar máximos y mínimos locales que están fuera del rango de las muestras, a diferencia de la interpolación lineal. Por ejemplo, el interpolante anterior tiene un máximo local en x ≈ 1,566, f(x) ≈ 1,003 y un mínimo local en x ≈ 4,708, f(x) ≈ −1,003. Sin embargo, estos máximos y mínimos pueden exceder el rango teórico de la función; por ejemplo, una función que siempre es positiva puede tener un interpolante con valores negativos, y cuya inversa por lo tanto contiene asíntotas verticales falsas.

Más generalmente, la forma de la curva resultante, especialmente para valores muy altos o bajos de la variable independiente, puede ser contraria al sentido común; es decir, a lo que se sabe sobre el sistema experimental que ha generado los puntos de datos. Estas desventajas se pueden reducir utilizando la interpolación spline o restringiendo la atención a los polinomios de Chebyshev.

Interpolación de spline

Parcela de los datos con interpolación especiada aplicada

Recuerde que la interpolación lineal usa una función lineal para cada uno de los intervalos [x_k,x_k+1]. La interpolación spline utiliza polinomios de bajo grado en cada uno de los intervalos y elige las piezas del polinomio de modo que encajen entre sí sin problemas. La función resultante se llama spline.

Por ejemplo, la spline cúbica natural es cúbica por partes y dos veces diferenciable de forma continua. Además, su segunda derivada es cero en los puntos finales. La spline cúbica natural que interpola los puntos de la tabla anterior viene dada por

${displaystyle f(x)={begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x, recur{text{if }xin [0,1],-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396, {text{if}xin [1,2],$