Interior (topología)

El punto x es un punto interior S. El punto Sí. está en el límite S.

En matemáticas, específicamente en topología, el interior de un subconjunto S de un espacio topológico X es la unión de todos los subconjuntos de S que están abiertos en X. Un punto que está en el interior de S es un punto interior de S.

El interior de S es el complemento del cierre del complemento de S. En este sentido interior y clausura son nociones duales.

El exterior de un conjunto S es el complemento del cierre de S; consta de los puntos que no están ni en el conjunto ni en su frontera. El interior, el límite y el exterior de un subconjunto juntos dividen todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de estos están vacíos).

Definiciones

Punto interior

Si S{displaystyle S. es un subconjunto de un espacio euclidiano, entonces x{displaystyle x} es un punto interior S{displaystyle S. si existe una bola abierta centrada en x{displaystyle x} que está completamente contenida en S.{displaystyle S.}(Esto se ilustra en la sección introductoria de este artículo.)

Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto S{displaystyle S. de un espacio métrico X{displaystyle X} con métrica d{displaystyle d}: x{displaystyle x} es un punto interior S{displaystyle S. si existe un número real 0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0,{displaystyle r confía0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ee1bdad381ab757caae14bc628dd1f9005fa5f" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.956ex; height:2.509ex;"/> tales que Sí.{displaystyle y} está dentro S{displaystyle S. cada vez que la distancia <math alttext="{displaystyle d(x,y)d()x,Sí.).r.{displaystyle d(x,y)cantador.}<img alt="{displaystyle d(x,y)

Esta definición se generaliza en los espacios topológicos reemplazando la "bola abierta" por "marcha abierta". Si S{displaystyle S. es un subconjunto de un espacio topológico X{displaystyle X} entonces x{displaystyle x} es un interior punto de S{displaystyle S. dentro X{displaystyle X} si x{displaystyle x} está contenida en un subconjunto abierto de X{displaystyle X} que está completamente contenido en S.{displaystyle S.}(Equivalentemente, x{displaystyle x} es un punto interior S{displaystyle S. si S{displaystyle S. es un barrio x.{displaystyle x.})

Interior de un plató

El interior de un subconjunto S{displaystyle S. de un espacio topológico X,{displaystyle X. denotado por intX⁡ ⁡ S{displaystyle operatorname {int} ¿Qué? o por intX⁡ ⁡ S{displaystyle operatorname {int} ¿Qué? o S∘ ∘ ,{displaystyle S^{circ },} puede definirse en cualquiera de las siguientes formas equivalentes:

1. int⁡ ⁡ S{displaystyle operatorname {int} S. es el subconjunto abierto más grande X{displaystyle X} contenido (como subconjunto) en S.{displaystyle S.}
2. int⁡ ⁡ S{displaystyle operatorname {int} S. es la unión de todos los conjuntos abiertos de X{displaystyle X} contenidas en S.{displaystyle S.}
3. int⁡ ⁡ S{displaystyle operatorname {int} S. es el conjunto de todos los puntos interiores de S.{displaystyle S.}

Si el espacio X{displaystyle X} se entiende desde el contexto entonces el subscript X{displaystyle X} a menudo se deja caer de la notación.

Ejemplos

a{displaystyle a} es un punto interior M{displaystyle M} porque hay un ε-neighbourhood of a which is a subset of M.{displaystyle M.}

• En cualquier espacio, el interior del conjunto vacío es el conjunto vacío.
• En cualquier espacio X,{displaystyle X. si S⊆ ⊆ X,{displaystyle Ssubseteq X,} entonces int⁡ ⁡ S⊆ ⊆ S.{displaystyle operatorname {int} Ssubseteq S.}
• Si X{displaystyle X} es la línea real R{displaystyle mathbb {R} (con la topología estándar), entonces int⁡ ⁡ ()[0,1])=()0,1){displaystyle operatorname {int} ([0,1])=(0,1)} mientras que el interior del conjunto Q{displaystyle mathbb {Q} de números racionales está vacío: int⁡ ⁡ Q=∅ ∅ {displaystyle operatorname {int} mathbb No hay nada.
• Si X{displaystyle X} es el plano complejo C,{displaystyle mathbb {C} entonces <math alttext="{displaystyle operatorname {int} ({zin mathbb {C}:|z|leq 1})={zin mathbb {C}:|z|int⁡ ⁡ (){}z▪ ▪ C:SilenciozSilencio≤ ≤ 1})={}z▪ ▪ C:SilenciozSilencio.1}.{displaystyle operatorname {int} ({zin mathbb {C}: Torturaz eternaleq 1})={zin mathbb {C}:<img alt="{displaystyle operatorname {int} ({zin mathbb {C}:|z|leq 1})={zin mathbb {C}:|z|
• En cualquier espacio euclidiano, el interior de cualquier conjunto finito es el conjunto vacío.

En el conjunto de números reales, se pueden poner otras topologías en lugar de la estándar:

• Si X{displaystyle X} es el número real R{displaystyle mathbb {R} con la topología límite inferior, entonces int⁡ ⁡ ()[0,1])=[0,1).{displaystyle operatorname {int} ([0,1])=[0,1). }
• Si uno lo considera R{displaystyle mathbb {R} la topología en la que cada conjunto está abierto, entonces int⁡ ⁡ ()[0,1])=[0,1].{displaystyle operatorname {int} ([0,1])=[0,1].}
• Si uno lo considera R{displaystyle mathbb {R} la topología en la que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y R{displaystyle mathbb {R} entonces int⁡ ⁡ ()[0,1]){displaystyle operatorname {int} ([0,1]} es el set vacío.

Estos ejemplos muestran que el interior de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.

• En cualquier espacio discreto, ya que cada conjunto está abierto, cada conjunto es igual a su interior.
• En cualquier espacio indiscreto X,{displaystyle X. ya que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío X{displaystyle X} en sí, int⁡ ⁡ X=X{displaystyle operatorname {int} X=X} y para cada subconjunto adecuado S{displaystyle S. de X,{displaystyle X. int⁡ ⁡ S{displaystyle operatorname {int} S. es el set vacío.

Propiedades

Vamos X{displaystyle X} ser un espacio topológico y dejar S{displaystyle S. y T{displaystyle T} ser subconjuntos de X.{displaystyle X.}

• int ⁡ S {displaystyle operatorname {int} S} is open in X . {displaystyle X.}
• If T {displaystyle T} is open in X {displaystyle X} then T ⊆ S {displaystyle Tsubseteq S} if and only if T ⊆ int ⁡ S . {displaystyle Tsubseteq operatorname {int} S.}
• int ⁡ S {displaystyle operatorname {int} S} is an open subset of S {displaystyle S} when S {displaystyle S} is given the subspace topology.
• S {displaystyle S} is an open subset of X {displaystyle X} if and only if int ⁡ S = S . {displaystyle operatorname {int} S=S.}
• Intensive: int ⁡ S ⊆ S . {displaystyle operatorname {int} Ssubseteq S.}
• Idempotence: int ⁡ ( int ⁡ S ) = int ⁡ S . {displaystyle operatorname {int} (operatorname {int} S)=operatorname {int} S.}
• Preserves/distributes over binary intersection: int ⁡ ( S ∩ T ) = ( int ⁡ S ) ∩ ( int ⁡ T ) . {displaystyle operatorname {int} (Scap T)=(operatorname {int} S)cap (operatorname {int} T).}
  • However, the interior operator does not distribute over unions since only int ⁡ ( S ∪ T ) ⊇ ( int ⁡ S ) ∪ ( int ⁡ T ) {displaystyle operatorname {int} (Scup T)~supseteq ~(operatorname {int} S)cup (operatorname {int} T)} is guaranteed in general and equality might not hold. For example, if X = R , S = ( − ∞ , 0 ] , {displaystyle X=mathbb {R}S=(-infty0],} and T = ( 0 , ∞ ) {displaystyle T=(0,infty)} then ( int ⁡ S ) ∪ ( int ⁡ T ) = ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) = R ∖ { 0 } {displaystyle (operatorname {int} S)cup (operatorname {int} T)=(-infty0)cup (0,infty)=mathbb {R} setminus {0}} is a proper subset of int ⁡ ( S ∪ T ) = int ⁡ R = R . {displaystyle operatorname {int} (Scup T)=operatorname {int} mathbb {R} =mathbb {R}.}
• Monotone/nondecreasing with respect to ⊆ {displaystyle subseteq } : If S ⊆ T {displaystyle Ssubseteq T} then int ⁡ S ⊆ int ⁡ T . {displaystyle operatorname {int} Ssubseteq operatorname {int} T.}

Otras propiedades incluyen:

• Si S{displaystyle S. está cerrado X{displaystyle X} y int⁡ ⁡ T=∅ ∅ {displaystyle operatorname {int} T=varnothing } entonces int⁡ ⁡ ()S∪ ∪ T)=int⁡ ⁡ S.{displaystyle operatorname {int} (Scup T)=operatorname {int} S.}

Relación con el cierre

Las afirmaciones anteriores seguirán siendo verdaderas si todas las instancias de los símbolos/palabras

"interior", "int", "abierto", "subset", y "grande"

son reemplazados respectivamente por

"closure", "cl", "cerrado", "superset", y "smallest"

y se intercambian los siguientes símbolos:

1. "⊆ ⊆ {displaystyle subseteq }"Cambiado con "⊇ ⊇ {displaystyle supseteq }"
2. "∪ ∪ {displaystyle cup }"Cambiado con "∩ ∩ {displaystyle cap }"

Para obtener más detalles sobre este asunto, consulte el operador interior a continuación o el artículo Axiomas de cierre de Kuratowski.

Operador interior

El operador interior intX{displaystyle operatorname {int} ¿Qué? es dual al operador de cierre, que es denotado por clX{displaystyle operatorname {cl} ¿Qué? o por una línea ^—, en el sentido de que

intX⁡ ⁡ S=X∖ ∖ ()X∖ ∖ S)̄ ̄ {displaystyle operatorname {int} S=Xsetminus {overline {(Xsetminus S)}}}

S̄ ̄ =X∖ ∖ intX⁡ ⁡ ()X∖ ∖ S),{displaystyle {overline {S}=Xsetminus operatorname {int} _{X}(Xsetminus S),}

X{displaystyle X}

S,{displaystyle S,}

∖ ∖ {displaystyle ,setminus ,}

X.{displaystyle X.}

En general, el operador interior no se desplaza con los sindicatos. Sin embargo, en un espacio métrico completo se cumple el siguiente resultado:

El resultado anterior implica que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire.

Exterior de un decorado

El exterior de un subconjunto S{displaystyle S. de un espacio topológico X,{displaystyle X. denotado por extX⁡ ⁡ S{displaystyle operatorname {ext} _{X}S} o simplemente ext⁡ ⁡ S,{displaystyle operatorname {ext} S,} es el mayor conjunto abierto de S,{displaystyle S,} es decir, es la unión de todos los conjuntos abiertos en X{displaystyle X} que están descompuestos S.{displaystyle S.} El exterior es el interior del complemento, que es el mismo que el complemento del cierre; en fórmulas,

ext⁡ ⁡ S=int⁡ ⁡ ()X∖ ∖ S)=X∖ ∖ S̄ ̄ .{displaystyle operatorname {ext} S=operatorname {int} (Xsetminus S)=Xsetminus {overline {S}}

Del mismo modo, el interior es el exterior del complemento:

int⁡ ⁡ S=ext⁡ ⁡ ()X∖ ∖ S).{displaystyle operatorname {int} S=operatorname {ext} (Xsetminus S).}

El interior, la frontera y el exterior de un conjunto S{displaystyle S. juntos dividir todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de estos está vacío):

X=int⁡ ⁡ S∪ ∪ ∂ ∂ S∪ ∪ ext⁡ ⁡ S,{displaystyle X=operatorname {int} Scup partial Scup operatorname {ext} S,}

∂ ∂ S{displaystyle partial S}

S.{displaystyle S.}

Algunas de las propiedades del operador exterior son diferentes a las del operador interior:

• El operador exterior revierte las inclusiones; si S⊆ ⊆ T,{displaystyle Ssubseteq T,} entonces ext⁡ ⁡ T⊆ ⊆ ext⁡ ⁡ S.{displaystyle operatorname {ext} Tsubseteq operatorname {ext} S.}
• El operador exterior no es idempotente. Tiene la propiedad que int⁡ ⁡ S⊆ ⊆ ext⁡ ⁡ ()ext⁡ ⁡ S).{displaystyle operatorname {int} Ssubseteq operatorname {ext} left(operatorname {ext} Sright).}

Interior-formas disjuntas

Las formas rojas no son interiores-disjoint con el Triángulo azul. Las formas verdes y amarillas son interior-disjoint con el Triángulo azul, pero sólo la forma amarilla está completamente descompuesto desde el Triángulo azul.

Dos formas a{displaystyle a} y b{displaystyle b} se llaman interior-disjoint si la intersección de sus interiores está vacía. Las formas disyuntivas del interior pueden o no interseccionar en su límite.