Integrales

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En matemáticas, una integral asigna números a funciones de una manera que describe el desplazamiento, el área, el volumen y otros conceptos que surgen al combinar datos infinitesimales. El proceso de encontrar integrales se llama integración. Junto con la diferenciación, la integración es una operación fundamental y esencial del cálculo y sirve como herramienta para resolver problemas matemáticos y físicos que involucran el área de una forma arbitraria, la longitud de una curva y el volumen de un sólido, entre otros.

Las integrales enumeradas aquí son las denominadas integrales definidas, que pueden interpretarse como el área con signo de la región en el plano que está delimitada por la gráfica de una función dada entre dos puntos en la línea real. Convencionalmente, las áreas por encima del eje horizontal del plano son positivas mientras que las áreas por debajo son negativas. Las integrales también se refieren al concepto de antiderivada, una función cuya derivada es la función dada. En este caso, se llaman integrales indefinidas. El teorema fundamental del cálculo relaciona las integrales definidas con la diferenciación y proporciona un método para calcular la integral definida de una función cuando se conoce su antiderivada.

Aunque los métodos para calcular áreas y volúmenes datan de las matemáticas griegas antiguas, los principios de integración fueron formulados de forma independiente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz a fines del siglo XVII, quienes pensaron en el área bajo una curva como una suma infinita de rectángulos de ancho infinitesimal.. Bernhard Riemann más tarde dio una definición rigurosa de integrales, que se basa en un procedimiento de limitación que aproxima el área de una región curvilínea dividiendo la región en losas verticales infinitesimalmente delgadas. A principios del siglo XX, Henri Lebesgue generalizó la formulación de Riemann al introducir lo que ahora se conoce como integral de Lebesgue; es más robusto que el de Riemann en el sentido de que una clase más amplia de funciones son integrables con Lebesgue.

Las integrales pueden generalizarse según el tipo de función y el dominio sobre el que se realiza la integración. Por ejemplo, una integral de línea se define para funciones de dos o más variables, y el intervalo de integración se reemplaza por una curva que conecta los dos extremos del intervalo. En una integral de superficie, la curva se reemplaza por una parte de una superficie en un espacio tridimensional.

Historia

Integración de precálculo

La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de agotamiento del antiguo astrónomo griego Eudoxo (ca. 370 a. C.), que buscaba encontrar áreas y volúmenes dividiéndolos en un número infinito de divisiones para las cuales el área o volumen se conocía. Arquímedes desarrolló y empleó este método en el siglo III a. C. y lo utilizó para calcular el área de un círculo, el área de la superficie y el volumen de una esfera, el área de una elipse, el área bajo una parábola, el volumen de un segmento de un paraboloide de revolución, el volumen de un segmento de un hiperboloide de revolución y el área de una espiral.

Un método similar fue desarrollado de forma independiente en China alrededor del siglo III dC por Liu Hui, quien lo usó para encontrar el área del círculo. Este método fue utilizado más tarde en el siglo V por los matemáticos chinos padre e hijo Zu Chongzhi y Zu Geng para encontrar el volumen de una esfera.

En el Medio Oriente, Hasan Ibn al-Haytham, latinizado como Alhazen (c. 965 - c. 1040 dC) derivó una fórmula para la suma de las cuartas potencias. Usó los resultados para llevar a cabo lo que ahora se llamaría una integración de esta función, donde las fórmulas de las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide.

Los siguientes avances significativos en cálculo integral no comenzaron a aparecer hasta el siglo XVII. En este momento, el trabajo de Cavalieri con su método de Indivisibles y el trabajo de Fermat comenzaron a sentar las bases del cálculo moderno, con Cavalieri calculando las integrales de x hasta el grado n = 9 en la fórmula de cuadratura de Cavalieri. Barrow y Torricelli dieron otros pasos a principios del siglo XVII, quienes proporcionaron los primeros indicios de una conexión entre integración y diferenciación. Barrow proporcionó la primera prueba del teorema fundamental del cálculo. Wallis generalizó el método de Cavalieri, calculando integrales de xa una potencia general, incluidas potencias negativas y potencias fraccionarias.

Leibniz y Newton

El mayor avance en la integración se produjo en el siglo XVII con el descubrimiento independiente del teorema fundamental del cálculo por parte de Leibniz y Newton. El teorema demuestra una conexión entre integración y diferenciación. Esta conexión, combinada con la relativa facilidad de diferenciación, puede aprovecharse para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase de problemas mucho más amplia. De igual importancia es el amplio marco matemático que desarrollaron tanto Leibniz como Newton. Dado el nombre de cálculo infinitesimal, permitió un análisis preciso de funciones dentro de dominios continuos. Este marco eventualmente se convirtió en cálculo moderno, cuya notación para integrales se extrae directamente del trabajo de Leibniz.

Formalización

Si bien Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemático de la integración, su trabajo careció de cierto grado de rigor. El obispo Berkeley atacó memorablemente los incrementos que se desvanecen utilizados por Newton, llamándolos "fantasmas de cantidades que se han ido". El cálculo adquirió una base más firme con el desarrollo de los límites. La integración fue formalizada rigurosamente por primera vez, usando límites, por Riemann.Aunque todas las funciones continuas acotadas por partes son Riemann-integrables en un intervalo acotado, posteriormente se consideraron funciones más generales, particularmente en el contexto del análisis de Fourier, a las que no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de integral, fundada en la medida teoría (un subcampo del análisis real). Se propusieron otras definiciones de integral, extendiendo los enfoques de Riemann y Lebesgue. Estos enfoques basados en el sistema de números reales son los más comunes hoy en día, pero existen enfoques alternativos, como una definición de integral como la parte estándar de una suma infinita de Riemann, basada en el sistema de números hiperreales.

Notación histórica

La notación para la integral indefinida fue introducida por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675. Adaptó el símbolo integral, ∫, de la letra ſ (s larga), que representa summa (escrito como ſumma; en latín, "suma" o "total").. La notación moderna para la integral definida, con límites por encima y por debajo del signo integral, fue utilizada por primera vez por Joseph Fourier en Mémoires of the French Academy alrededor de 1819-20, reimpreso en su libro de 1822.

Isaac Newton usó una pequeña barra vertical sobre una variable para indicar la integración, o colocó la variable dentro de un cuadro. La barra vertical se confundía fácilmente con.Xo x ′, que se utilizan para indicar diferenciación, y la notación de caja era difícil de reproducir para los impresores, por lo que estas notaciones no se adoptaron ampliamente.

Primer uso del término

El término fue impreso por primera vez en latín por Jacob Bernoulli en 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur".

Terminología y notación

En general, la integral de una función real f (x) con respecto a una variable real x en un intervalo [ a, b ] se escribe como ${ estilo de visualización int _ {a}^ {b} f (x) , dx.}$

El signo integral ∫ representa integración. El símbolo dx, llamado diferencial de la variable x, indica que la variable de integración es x. La función f (x) se denomina integrando, los puntos a y b se denominan límites (o cotas) de integración, y se dice que la integral está sobre el intervalo [ a, b ], denominado intervalo de integración. Se dice que una función es integrablesi su integral sobre su dominio es finita. Si se especifican límites, la integral se llama integral definida.

Cuando se omiten los límites, como en $int f(x),dx,$

la integral se llama integral indefinida, que representa una clase de funciones (la antiderivada) cuya derivada es el integrando. El teorema fundamental del cálculo relaciona la evaluación de integrales definidas con integrales indefinidas. Hay varias extensiones de la notación para integrales para abarcar la integración en dominios ilimitados y/o en múltiples dimensiones (ver secciones posteriores de este artículo).

En configuraciones avanzadas, no es raro omitir dx cuando solo se usa la integral de Riemann simple, o el tipo exacto de integral es irrelevante. Por ejemplo, uno podría escribir ${estilo de texto int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}int _{a}^{b}f+c_{2}int _ {a}^{b}g}$ para expresar la linealidad de la integral, una propiedad compartida por la integral de Riemann y todas sus generalizaciones.

Interpretaciones

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Por ejemplo, a partir del largo, ancho y profundidad de una piscina rectangular con fondo plano, se puede determinar el volumen de agua que puede contener, el área de su superficie y la longitud de su borde. Pero si es ovalado con el fondo redondeado, se requieren integrales para encontrar valores exactos y rigurosos para estas cantidades. En cada caso, uno puede dividir la cantidad buscada en infinitas partes infinitesimales y luego sumar las partes para lograr una aproximación precisa.

Por ejemplo, para encontrar el área de la región acotada por la gráfica de la función f (x) = √ x entre x = 0 y x = 1, uno puede cruzar el intervalo en cinco pasos (0, 1/5, 2/ 5,..., 1), luego llene un rectángulo usando la altura del extremo derecho de cada pieza (por lo tanto, √ 0, √ 1/5, √ 2/5,..., √ 1) y sume sus áreas para obtener un aproximación de ${displaystyle textstyle {sqrt {frac {1}{5}}}left({frac {1}{5}}-0right)+{sqrt {frac {2}{5} }}left({frac {2}{5}}-{frac {1}{5}}right)+cdots +{sqrt {frac {5}{5}}}left({frac {5}{5}}-{frac {4}{5}}right)approx 0.7497,}$

que es mayor que el valor exacto. Alternativamente, al reemplazar estos subintervalos por unos con la altura del extremo izquierdo de cada pieza, la aproximación que se obtiene es demasiado baja: con doce subintervalos de este tipo, el área aproximada es solo 0.6203. Sin embargo, cuando el número de piezas aumenta hasta el infinito, llegará a un límite que es el valor exacto del área buscada (en este caso, 2/3). uno escribe ${displaystyle int _{0}^{1}{sqrt {x}},dx={frac {2}{3}},}$

lo que significa que 2/3 es el resultado de una suma ponderada de los valores de la función, √ x, multiplicada por los anchos de paso infinitesimales, indicados por dx, en el intervalo [0, 1].Sumas de Darboux

Darboux sumas superiores de la función

y = x

Darboux sumas inferiores de la función

y = x

Definiciones formales

Hay muchas formas de definir formalmente una integral, y no todas son equivalentes. Las diferencias existen principalmente para tratar casos especiales diferentes que pueden no ser integrables bajo otras definiciones, pero también ocasionalmente por razones pedagógicas. Las definiciones más utilizadas son integrales de Riemann e integrales de Lebesgue.

Integral de Riemann

La integral de Riemann se define en términos de sumas de funciones de Riemann con respecto a particiones etiquetadas de un intervalo. Una partición etiquetada de un intervalo cerrado [ a, b ] en la línea real es una secuencia finita $a=x_{0}leq t_{1}leq x_{1}leq t_{2}leq x_{2}leq cdots leq x_{n-1}leq t_{n}leq x_{n}=b.,!$

Esto divide el intervalo [ a, b ] en n subintervalos [ x _{i −1}, x _i ] indexados por i, cada uno de los cuales está "etiquetado" con un punto distinguido t _i ∈ [ x _{i −1}, x _i ]. Una suma de Riemann de una función f con respecto a dicha partición etiquetada se define como ${displaystyle sum_{i=1}^{n}f(t_{i}),Delta_{i};}$

por lo tanto, cada término de la suma es el área de un rectángulo con una altura igual al valor de la función en el punto distinguido del subintervalo dado, y un ancho igual al ancho del subintervalo, Δ _i = x _i − x _{i −1}. La malla de dicha partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande formado por la partición, max _{i =1... n} Δ _i. La integral de Riemann de una función f en el intervalo [ a, b ] es igual a S si:Para todo $varepsilon >0$ existe $delta > 0$ tal que, para cualquier partición etiquetada $[a,b]$ con malla menor que $delta$ , ${displaystyle left|S-sum _{i=1}^{n}f(t_{i}),Delta _{i}right|<varepsilon.}$

Cuando las etiquetas elegidas dan el valor máximo (respectivamente, mínimo) de cada intervalo, la suma de Riemann se convierte en una suma de Darboux superior (respectivamente, inferior), lo que sugiere la estrecha conexión entre la integral de Riemann y la integral de Darboux.

Integral de Lebesgue

A menudo es de interés, tanto en teoría como en aplicaciones, poder pasar al límite bajo la integral. Por ejemplo, con frecuencia se puede construir una secuencia de funciones que se aproxime, en un sentido adecuado, a la solución de un problema. Entonces la integral de la función solución debe ser el límite de las integrales de las aproximaciones. Sin embargo, muchas funciones que se pueden obtener como límites no son integrables de Riemann, por lo que tales teoremas de límites no se cumplen con la integral de Riemann. Por lo tanto, es de gran importancia tener una definición de integral que permita integrar una clase más amplia de funciones.

Tal integral es la integral de Lebesgue, que explota el siguiente hecho para ampliar la clase de funciones integrables: si los valores de una función se reorganizan en el dominio, la integral de una función debe permanecer igual. Así Henri Lebesgue introdujo la integral que lleva su nombre, explicando así esta integral en una carta a Paul Montel:

Tengo que pagar cierta suma, que he recogido en mi bolsillo. Saco los billetes y las monedas de mi bolsillo y se los doy al acreedor en el orden en que los encuentro hasta llegar a la suma total. Esta es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera. Después de haber sacado todo el dinero de mi bolsillo ordeno los billetes y las monedas según valores idénticos y luego pago los varios montones uno tras otro al acreedor. Esta es mi integral.

Como dice Folland, "Para calcular la integral de Riemann de f, uno divide el dominio [ a, b ] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "en efecto, uno está dividiendo el rango de f ". La definición de la integral de Lebesgue comienza así con una medida, μ. En el caso más simple, la medida de Lebesgue μ (A) de un intervalo A = [ a, b ] es su ancho, b − a, de modo que la integral de Lebesgue concuerda con la integral de Riemann (propia) cuando ambas existen.En casos más complicados, los conjuntos que se miden pueden estar muy fragmentados, sin continuidad y sin semejanza con los intervalos.

Usando la filosofía de "partición del rango de f ", la integral de una función no negativa f: R → R debe ser la suma sobre t de las áreas entre una franja horizontal delgada entre y = t y y = t + dt. Esta área es simplemente μ { x: f (x) > t } dt. Sea f (t) = μ { x: f (x) >t }. La integral de Lebesgue de f se define entonces por $int f=int _{0}^{infty}f^{*}(t),dt$

donde la integral de la derecha es una integral de Riemann ordinaria impropia (fes una función positiva estrictamente decreciente, y por lo tanto tiene una integral de Riemann impropia bien definida). Para una clase adecuada de funciones (las funciones medibles) esto define la integral de Lebesgue.

Una función medible general f es Lebesgue-integrable si la suma de los valores absolutos de las áreas de las regiones entre la gráfica de f y el eje x es finita: $int _{E}|f|,dmu <+infty.$

En ese caso, la integral es, como en el caso de Riemann, la diferencia entre el área por encima del eje x y el área por debajo del eje x: $int _{E}f,dmu =int _{E}f^{+},dmu -int _{E}f^{-},dmu$

dónde ${displaystyle {begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}max{f(x),0}&&{}={}{begin{casos} f(x),&{text{si }}f(x)>0,\0,&{text{de lo contrario,}}end{casos}}\&f^{-}(x)&& {}={}max{-f(x),0}&&{}={}{begin{casos}-f(x),&{text{si }}f(x)<0,\0,&{text{de lo contrario.}}end{casos}}end{alineado en}}}$

Otras integrales

Aunque las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones de integral más utilizadas, existen otras, entre ellas:

La integral de Darboux, que se define mediante sumas de Darboux (sumas de Riemann restringidas), pero es equivalente a la integral de Riemann: una función es integrable en Darboux si y solo si es integrable en Riemann. Las integrales de Darboux tienen la ventaja de ser más fáciles de definir que las integrales de Riemann.
La integral de Riemann-Stieltjes, una extensión de la integral de Riemann que se integra con respecto a una función en lugar de una variable.
La integral de Lebesgue-Stieltjes, desarrollada por Johann Radon, que generaliza las integrales de Riemann-Stieltjes y Lebesgue.
La integral de Daniell, que subsume la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin depender de medidas.
La integral de Haar, utilizada para la integración en grupos topológicos localmente compactos, introducida por Alfréd Haar en 1933.
La integral de Henstock-Kurzweil, definida de diversas formas por Arnaud Denjoy, Oskar Perron y (más elegantemente, como la integral de calibre) Jaroslav Kurzweil, y desarrollada por Ralph Henstock.
La integral de Itô y la integral de Stratonovich, que definen la integración con respecto a semimartingalas como el movimiento browniano.
La integral de Young, que es una especie de integral de Riemann-Stieltjes con respecto a ciertas funciones de variación ilimitada.
La integral de ruta aproximada, que se define para funciones equipadas con alguna estructura adicional de "ruta aproximada" y generaliza la integración estocástica frente a semimartingalas y procesos como el movimiento browniano fraccional.
La integral de Choquet, una integral subaditiva o superaditiva creada por el matemático francés Gustave Choquet en 1953.

Propiedades

Linealidad

La colección de funciones integrables de Riemann en un intervalo cerrado [ a, b ] forma un espacio vectorial bajo las operaciones de suma puntual y multiplicación por un escalar, y la operación de integración $fmapstoint _{a}^{b}f(x);dx$

es un funcional lineal en este espacio vectorial. Así, el conjunto de funciones integrables se cierra tomando combinaciones lineales, y la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales: $int _{a}^{b}(alpha f+beta g)(x),dx=alpha int _{a}^{b}f(x),dx+beta int_{ a}^{b}g(x),dx.,$

De manera similar, el conjunto de funciones integrables de Lebesgue de valor real en un espacio de medida dado E con medida μ se cierra tomando combinaciones lineales y, por lo tanto, forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue $fmapstoint _{E}f,dmu$

es un funcional lineal en este espacio vectorial, tal que: $int _{E}(alpha f+beta g),dmu =alpha int _{E}f,dmu +beta int _{E}g,dmu.$

Más generalmente, considere el espacio vectorial de todas las funciones medibles en un espacio de medida (E, μ), tomando valores en un espacio vectorial topológico completo localmente compacto V sobre un campo topológico localmente compacto K, f: E → V. Entonces uno puede definir un mapa de integración abstracto asignando a cada función f un elemento de V o el símbolo ∞, $fmapstoint _{E}f,dmu,,$

que es compatible con combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se cumple para el subespacio de funciones cuya integral es un elemento de V (es decir, "finito"). Los casos especiales más importantes surgen cuando K es R, C, o una extensión finita del campo Q _p de números p-ádicos, y V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, y cuando K = C y V es un complejo Espacio de Hilbert.

La linealidad, junto con algunas propiedades de continuidad natural y la normalización para una cierta clase de funciones "simples", pueden usarse para dar una definición alternativa de la integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones con valores reales en un conjunto X, generalizado por Nicolas Bourbaki a funciones con valores en un espacio vectorial topológico localmente compacto. Ver Hildebrandt 1953 para una caracterización axiomática de la integral.

Desigualdades

Varias desigualdades generales son válidas para las funciones integrables de Riemann definidas en un intervalo cerrado y acotado [ a, b ] y pueden generalizarse a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

Límites superior e inferior. Una función integrable f en [ a, b ], está necesariamente acotada en ese intervalo. Por lo tanto, hay números reales m y M de modo que m ≤ f (x) ≤ M para todo x en [ a, b ]. Dado que las sumas inferior y superior de f sobre [ a, b ] están acotadas por, respectivamente, m (b − a)y M (b − a), se sigue que ${displaystyle m(ba)leq int _{a}^{b}f(x),dxleq M(ba).}$
Desigualdades entre funciones. Si f (x) ≤ g (x) para cada x en [ a, b ] entonces cada una de las sumas superior e inferior de f está limitada por arriba por las sumas superior e inferior, respectivamente, de g. De este modo ${displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxleq int _{a}^{b}g(x),dx.}$ Esta es una generalización de las desigualdades anteriores, ya que M (b − a) es la integral de la función constante con valor M sobre [ a, b ]. Además, si la desigualdad entre funciones es estricta, entonces la desigualdad entre integrales también es estricta. Es decir, si f (x) < g (x) para cada x en [ a, b ], entonces ${displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx<int _{a}^{b}g(x),dx.}$
Subintervalos. Si [ c, d ] es un subintervalo de [ a, b ] y f (x) no es negativo para todo x, entonces ${displaystyle int _{c}^{d}f(x),dxleq int _{a}^{b}f(x),dx.}$
Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, entonces podemos considerar sus potencias y productos puntuales, y valores absolutos: ${displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),;f^{2}(x)=(f(x))^{2},;|f|(x)= |f(x)|.}$ Si f es Riemann-integrable en [ a, b ] entonces lo mismo es cierto para | f |, y ${displaystyle left|int _{a}^{b}f(x),dxright|leq int _{a}^{b}|f(x)|,dx.}$ Además, si f y g son ambas integrables de Riemann, entonces fg también es integrable de Riemann, y ${displaystyle left(int _{a}^{b}(fg)(x),dxright)^{2}leq left(int _{a}^{b}f(x))^{2},dxderecha)izquierda(int _{a}^{b}g(x)^{2},dxderecha).}$ Esta desigualdad, conocida como la desigualdad de Cauchy-Schwarz, juega un papel destacado en la teoría del espacio de Hilbert, donde el lado izquierdo se interpreta como el producto interno de dos funciones f y g integrables al cuadrado en el intervalo [ a, b ].
Desigualdad de Hölder. Supongamos que p y q son dos números reales, 1 ≤ p, q ≤ ∞ con1/pags+1/q= 1, y f y g son dos funciones integrables de Riemann. Entonces las funciones | f | y | gramo | son también integrables y se cumple la siguiente desigualdad de Hölder: ${displaystyle left|int f(x)g(x),dxright|leq left(int left|f(x)right|^{p},dxright)^ {1/p}left(int left|g(x)right|^{q},dxright)^{1/q}.}$ Para p = q = 2, la desigualdad de Hölder se convierte en la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Desigualdad de Minkowski. Suponga que p ≥ 1 es un número real y f y g son funciones integrables de Riemann. entonces | f |, | gramo | y | f + sol | son también integrables de Riemann y se cumple la siguiente desigualdad de Minkowski: ${displaystyle left(int left|f(x)+g(x)right|^{p},dxright)^{1/p}leq left(int left|f (x)right|^{p},dxright)^{1/p}+left(int left|g(x)right|^{p},dxright)^{ 1/p}.}$ Un análogo de esta desigualdad para la integral de Lebesgue se usa en la construcción de L espacios.

Convenciones

En esta sección, f es una función integrable de Riemann de valor real. la integral $int _{a}^{b}f(x),dx$

sobre un intervalo [ a, b ] se define si a < b. Esto significa que las sumas superior e inferior de la función f se evalúan en una partición a = x ₀ ≤ x ₁ ≤... ≤ x _n = b cuyos valores x _i son crecientes. Geométricamente, esto significa que la integración tiene lugar "de izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos [ x _i , x _i₊₁ ]donde un intervalo con un índice más alto se encuentra a la derecha de uno con un índice más bajo. Los valores a y b, los extremos del intervalo, se denominan límites de integración de f. Las integrales también se pueden definir si a > b: $int _{a}^{b}f(x),dx=-int _{b}^{a}f(x),dx.$

Con a = b, esto implica: $int _{a}^{a}f(x),dx=0.$

La primera convención es necesaria en consideración de tomar integrales sobre subintervalos de [ a, b ]; el segundo dice que una integral tomada sobre un intervalo degenerado, o un punto, debe ser cero. Una razón para la primera convención es que la integrabilidad de f en un intervalo [ a, b ] implica que f es integrable en cualquier subintervalo [ c, d ], pero en particular las integrales tienen la propiedad de que si c es cualquier elemento de [ a, b ], entonces: $int _{a}^{b}f(x),dx=int _{a}^{c}f(x),dx+int _{c}^{b}f(x),dx.$

Con la primera convención, la relación resultante ${begin{alineado}int _{a}^{c}f(x),dx&{}=int _{a}^{b}f(x),dx-int _{c} ^{b}f(x),dx\&{}=int _{a}^{b}f(x),dx+int _{b}^{c}f(x), dxend{alineado}}$

entonces está bien definida para cualquier permutación cíclica de a, b y c.

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la diferenciación y la integración son operaciones inversas: si una función continua se integra primero y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, a veces llamada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales usando una antiderivada de la función a integrar.

Primer teorema

Sea f una función continua de valores reales definida en un intervalo cerrado [ a, b ]. Sea F la función definida, para todo x en [ a, b ], por $F(x)=int _{a}^{x}f(t),dt.$

Entonces, F es continua en [ a, b ], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y $F'(x)=f(x)$

para todo x en (a, b).

Segundo teorema

Sea f una función de valor real definida en un intervalo cerrado [ a, b ] que admite una antiderivada F en [ a, b ]. Es decir, f y F son funciones tales que para todo x en [ a, b ], $f(x)=F'(x).$

Si f es integrable en [ a, b ] entonces $int _{a}^{b}f(x),dx=F(b)-F(a).$

Extensiones

Integrales impropias

Una integral de Riemann "propia" supone que el integrando está definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, delimitado por los límites de integración. Una integral impropia ocurre cuando una o más de estas condiciones no se cumplen. En algunos casos, tales integrales pueden definirse considerando el límite de una secuencia de integrales de Riemann propias en intervalos progresivamente mayores.

Si el intervalo no está acotado, por ejemplo en su extremo superior, entonces la integral impropia es el límite cuando ese extremo tiende a infinito: ${displaystyle int _{a}^{infty }f(x),dx=lim _{bto infty }int _{a}^{b}f(x),dx. }$

Si el integrando solo está definido o es finito en un intervalo semiabierto, por ejemplo (a, b ], nuevamente un límite puede proporcionar un resultado finito: ${displaystyle int_{a}^{b}f(x),dx=lim_{varepsilon to 0}int_{a+epsilon}^{b}f(x),dx.}$

Es decir, la integral impropia es el límite de las integrales propias cuando un punto final del intervalo de integración se aproxima a un número real específico, o ∞, o −∞. En casos más complicados, se requieren límites en ambos extremos o en puntos interiores.

Integración múltiple

Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa el área de la región entre la gráfica de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. Por ejemplo, una función en dos dimensiones depende de dos variables reales, x e y, y la integral de una función f sobre el rectángulo R dada como el producto cartesiano de dos intervalos $R=[a,b]veces [c,d]$ se puede escribir $int _{R}f(x,y),dA$

donde el diferencial dA indica que la integración se toma con respecto al área. Esta integral doble se puede definir usando sumas de Riemann y representa el volumen (con signo) bajo el gráfico de z = f (x, y) sobre el dominio R. En condiciones adecuadas (p. ej., si f es continua), el teorema de Fubini establece que esta integral se puede expresar como una integral iterada equivalente $int _{a}^{b}left[int _{c}^{d}f(x,y),dyright],dx.$

Esto reduce el problema de calcular una integral doble a calcular integrales unidimensionales. Debido a esto, otra notación para la integral sobre R usa un signo de integral doble: ${ estilo de visualización iint _ {R} f (x, y) , dA.}$

Es posible la integración sobre dominios más generales. La integral de una función f, con respecto al volumen, sobre una región D de n dimensiones se denota mediante símbolos como: $mathbb{R} ^{n}$ ${displaystyle int _{D}f(mathbf {x})d^{n}mathbf {x} =int _{D}f,dV.}$

Integrales de línea e integrales de superficie

El concepto de integral se puede extender a dominios más generales de integración, como líneas curvas y superficies dentro de espacios de dimensiones superiores. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie, respectivamente. Estos tienen importantes aplicaciones en física, como cuando se trata de campos vectoriales.

Una integral de línea (a veces llamada integral de trayectoria) es una integral en la que la función que se va a integrar se evalúa a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales de línea diferentes. En el caso de una curva cerrada también se le llama integral de contorno.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral de línea es la suma de los valores del campo en todos los puntos de la curva, ponderados por alguna función escalar en la curva (comúnmente longitud de arco o, para un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial con un diferencial vector en la curva). Esta ponderación distingue la integral de línea de integrales más simples definidas en intervalos. Muchas fórmulas simples en física tienen análogos continuos naturales en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza, F, multiplicada por el desplazamiento, s, puede expresarse (en términos de cantidades vectoriales) como: $W=mathbf {F} cdot mathbf {s}.$

Para un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria C en un campo vectorial F, como un campo eléctrico o un campo gravitacional, el trabajo total realizado por el campo sobre el objeto se obtiene sumando el trabajo diferencial realizado al moverse de s a s + d s. Esto da la integral de línea $W=int _{C}mathbf {F} cdot dmathbf {s}.$

Una integral de superficie generaliza las integrales dobles a la integración sobre una superficie (que puede ser un conjunto curvo en el espacio); se puede considerar como la integral doble análoga a la integral de línea. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral de superficie es la suma del campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede lograr dividiendo la superficie en elementos de superficie, que proporcionan la partición para las sumas de Riemann.

Para un ejemplo de aplicaciones de integrales de superficie, considere un campo vectorial v en una superficie S; es decir, para cada punto x en S, v (x) es un vector. Imagine que un fluido fluye a través de S, tal que v (x) determina la velocidad del fluido en x. El flujo se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S en la unidad de tiempo. Para encontrar el flujo, uno necesita tomar el producto escalar de v con la superficie unitaria normal a Sen cada punto, lo que dará un campo escalar, que se integra sobre la superficie: ${displaystyle int _{S}{mathbf {v} }cdot ,d{mathbf {S} }.}$

El flujo de fluido en este ejemplo puede provenir de un fluido físico como agua o aire, o de un flujo eléctrico o magnético. Así, las integrales de superficie tienen aplicaciones en física, particularmente con la teoría clásica del electromagnetismo.

Integrales de contorno

En el análisis complejo, el integrando es una función de valor complejo de una variable compleja z en lugar de una función real de una variable real x. Cuando una función compleja se integra a lo largo de una curva $gama$ en el plano complejo, la integral se denota de la siguiente manera ${ estilo de visualización int _ { gamma} f (z) , dz.}$

Esto se conoce como integral de contorno.

Integrales de formas diferenciales

Una forma diferencial es un concepto matemático en los campos del cálculo multivariable, la topología diferencial y los tensores. Las formas diferenciales están organizadas por grado. Por ejemplo, una forma única es una suma ponderada de los diferenciales de las coordenadas, como: $E(x,y,z),dx+F(x,y,z),dy+G(x,y,z),dz$

donde E, F, G son funciones en tres dimensiones. Una forma única diferencial se puede integrar sobre un camino orientado, y la integral resultante es solo otra forma de escribir una integral de línea. Aquí las diferenciales básicas dx, dy, dz miden longitudes orientadas infinitesimales paralelas a los tres ejes de coordenadas.

Una forma diferencial de dos es una suma de la forma ${displaystyle G(x,y,z),dxcuña dy+E(x,y,z),dycuña dz+F(x,y,z),dzcuña dx.}$

Aquí, las dos formas básicas $dxcuña dy,dzcuña dx,dycuña dz$ miden áreas orientadas paralelas a los dos planos de coordenadas. El símbolo $cuña$ denota el producto cuña, que es similar al producto cruz en el sentido de que el producto cuña de dos formas que representan longitudes orientadas representa un área orientada. Una forma de dos se puede integrar sobre una superficie orientada, y la integral resultante es equivalente a la integral de superficie que da el flujo de $Emathbf {i} +Fmathbf {j} +Gmathbf {k}$ .

A diferencia del producto vectorial y el cálculo vectorial tridimensional, el producto cuña y el cálculo de formas diferenciales tienen sentido en dimensiones arbitrarias y en variedades más generales (curvas, superficies y sus análogos de dimensiones superiores). La derivada exterior juega el papel del gradiente y rotacional del cálculo vectorial, y el teorema de Stokes generaliza simultáneamente los tres teoremas del cálculo vectorial: el teorema de la divergencia, el teorema de Green y el teorema de Kelvin-Stokes.

Sumatorias

El equivalente discreto de la integración es la sumatoria. Las sumas y las integrales se pueden poner sobre los mismos fundamentos utilizando la teoría de las integrales de Lebesgue o el cálculo de escala de tiempo.

Integrales funcionales

Una integración que no se realiza sobre una variable (o, en física, sobre una dimensión espacial o temporal), sino sobre un espacio de funciones, se denomina integral funcional.

Aplicaciones

Las integrales se utilizan ampliamente en muchas áreas. Por ejemplo, en la teoría de la probabilidad, las integrales se utilizan para determinar la probabilidad de que alguna variable aleatoria se encuentre dentro de un cierto rango. Además, la integral bajo una función de densidad de probabilidad completa debe ser igual a 1, lo que proporciona una prueba de si una función sin valores negativos podría ser una función de densidad o no.

Las integrales se pueden usar para calcular el área de una región bidimensional que tiene un límite curvo, así como para calcular el volumen de un objeto tridimensional que tiene un límite curvo. El área de una región bidimensional se puede calcular usando la integral definida antes mencionada. El volumen de un objeto tridimensional, como un disco o una arandela, se puede calcular mediante la integración del disco usando la ecuación para el volumen de un cilindro ${ estilo de visualización pi r ^ {2} h}$ , donde $r$ es el radio. En el caso de un disco simple creado al girar una curva alrededor del eje x, el radio está dado por f (x), y su altura es el diferencial dx. Usando una integral con límites a y b, el volumen del disco es igual a:

{displaystyle pi int _{a}^{b}f^{2}(x),dx.}

Las integrales también se usan en física, en áreas como la cinemática para encontrar cantidades como el desplazamiento, el tiempo y la velocidad. Por ejemplo, en movimiento rectilíneo, el desplazamiento de un objeto en el intervalo de tiempo $[a,b]$ viene dado por: ${displaystyle x(b)-x(a)=int _{a}^{b}v(t),dt,}$

donde $Vermont)$ es la velocidad expresada en función del tiempo. El trabajo realizado por una fuerza $F(x)$ (dada en función de la posición) desde una posición inicial $A$ hasta una posición final $B$ es: ${displaystyle W_{Arightarrow B}=int _{A}^{B}F(x),dx.}$

Las integrales también se usan en termodinámica, donde la integración termodinámica se usa para calcular la diferencia de energía libre entre dos estados dados.

Cálculo

Analítico

La técnica más básica para calcular integrales definidas de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo. Sea f (x) la función de x a integrar en un intervalo dado [ a, b ]. Luego, encuentra una antiderivada de f; es decir, una función F tal que F ′ = f en el intervalo. Siempre que el integrando y la integral no tengan singularidades en el camino de la integración, por el teorema fundamental del cálculo, ${displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx=F(b)-F(a).}$

A veces es necesario utilizar una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de estas técnicas reescriben una integral como una diferente que, con suerte, es más manejable. Las técnicas incluyen integración por sustitución, integración por partes, integración por sustitución trigonométrica e integración por fracciones parciales.

Existen métodos alternativos para calcular integrales más complejas. Muchas integrales no elementales pueden expandirse en una serie de Taylor e integrarse término por término. Ocasionalmente, la serie infinita resultante se puede sumar analíticamente. También se puede usar el método de convolución usando las funciones G de Meijer, asumiendo que el integrando se puede escribir como un producto de las funciones G de Meijer. También hay muchas formas menos comunes de calcular integrales definidas; por ejemplo, la identidad de Parseval se puede utilizar para transformar una integral sobre una región rectangular en una suma infinita. Ocasionalmente, una integral puede evaluarse mediante un truco; para ver un ejemplo de esto, consulte Integral de Gauss.

Los cálculos de volúmenes de sólidos de revolución generalmente se pueden realizar con integración de disco o integración de capa.

Los resultados específicos que se han obtenido mediante diversas técnicas se recopilan en la lista de integrales.

Simbólico

Muchos problemas en matemáticas, física e ingeniería involucran integración donde se desea una fórmula explícita para la integral. Se han compilado y publicado extensas tablas de integrales a lo largo de los años para este propósito. Con la difusión de las computadoras, muchos profesionales, educadores y estudiantes han recurrido a los sistemas de álgebra computacional que están específicamente diseñados para realizar tareas difíciles o tediosas, incluida la integración. La integración simbólica ha sido una de las motivaciones para el desarrollo de los primeros sistemas de este tipo, como Macsyma y Maple.

Una dificultad matemática importante en la integración simbólica es que, en muchos casos, una función relativamente simple no tiene integrales que puedan expresarse en forma cerrada que involucren solo funciones elementales, incluyen funciones racionales y exponenciales, logaritmo, funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas, y la operaciones de multiplicación y composición. El algoritmo de Risch proporciona un criterio general para determinar si la antiderivada de una función elemental es elemental y calcularla si lo es. Sin embargo, las funciones con expresiones cerradas de antiderivadas son la excepción y, en consecuencia, los sistemas de álgebra computarizados no tienen ninguna esperanza de poder encontrar una antiderivada para una función elemental construida al azar. En el lado positivo, si los 'bloques de construcción' para las antiderivadas se fijan de antemano, aún puede ser posible decidir si la antiderivada de una función dada se puede expresar usando estos bloques y operaciones de multiplicación y composición, y encontrar la respuesta simbólica siempre que exista. El algoritmo de Risch, implementado en Mathematica, Maple y otros sistemas de álgebra computacional, hace precisamente eso para funciones y antiderivadas construidas a partir de funciones racionales, radicales, logaritmos y funciones exponenciales.

Algunos integrandos especiales ocurren con la suficiente frecuencia como para merecer un estudio especial. En particular, puede ser útil tener, en el conjunto de antiderivadas, las funciones especiales (como las funciones de Legendre, la función hipergeométrica, la función gamma, la función gamma incompleta, etc.). Extender el algoritmo de Risch para incluir tales funciones es posible pero desafiante y ha sido un tema de investigación activo.

Más recientemente, ha surgido un nuevo enfoque que utiliza funciones D -finitas, que son las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinómicos. La mayoría de las funciones elementales y especiales son D -finitas, y la integral de una función D - finita también es una función D -finita. Esto proporciona un algoritmo para expresar la antiderivada de una función D -finita como la solución de una ecuación diferencial. Esta teoría también permite calcular la integral definida de una función D como la suma de una serie dada por los primeros coeficientes y proporciona un algoritmo para calcular cualquier coeficiente.

Numérico

Las integrales definidas se pueden aproximar usando varios métodos de integración numérica. El método del rectángulo se basa en dividir la región debajo de la función en una serie de rectángulos correspondientes a los valores de la función y multiplicar por el ancho del paso para encontrar la suma. Un mejor enfoque, la regla trapezoidal, reemplaza los rectángulos usados en una suma de Riemann con trapezoides. La regla trapezoidal pondera el primer y el último valor a la mitad, luego se multiplica por el ancho del paso para obtener una mejor aproximación. La idea detrás de la regla trapezoidal, que las aproximaciones más precisas a la función producen mejores aproximaciones a la integral, se puede llevar más allá: la regla de Simpson aproxima el integrando por una función cuadrática por partes.

Las sumas de Riemann, la regla trapezoidal y la regla de Simpson son ejemplos de una familia de reglas de cuadratura llamadas fórmulas de Newton-Cotes. La regla de cuadratura de Newton-Cotes de grado n aproxima el polinomio en cada subintervalo mediante un polinomio de grado n. Este polinomio se elige para interpolar los valores de la función en el intervalo. Las aproximaciones de Newton-Cotes de mayor grado pueden ser más precisas, pero requieren más evaluaciones de funciones y pueden sufrir imprecisiones numéricas debido al fenómeno de Runge. Una solución a este problema es la cuadratura de Clenshaw-Curtis, en la que el integrando se aproxima expandiéndolo en términos de polinomios de Chebyshev.

El método de Romberg reduce a la mitad los anchos de los pasos de forma incremental, dando aproximaciones trapezoidales indicadas por T (h ₀), T (h ₁), y así sucesivamente, donde h _{k +1} es la mitad de h _k. Para cada nuevo tamaño de paso, solo es necesario calcular la mitad de los nuevos valores de la función; los demás se transfieren del tamaño anterior. Luego interpola un polinomio a través de las aproximaciones y extrapola a T (0). La cuadratura gaussiana evalúa la función en las raíces de un conjunto de polinomios ortogonales. Un método gaussiano de n puntos es exacto para polinomios de grado hasta2 norte - 1.

El cálculo de integrales de dimensiones superiores (por ejemplo, cálculos de volumen) hace un uso importante de alternativas como la integración de Monte Carlo.

Mecánico

El área de una forma bidimensional arbitraria se puede determinar usando un instrumento de medición llamado planímetro. El volumen de objetos irregulares se puede medir con precisión por el fluido desplazado cuando el objeto se sumerge.

Geométrico

El área a veces se puede encontrar a través de construcciones geométricas de regla y compás de un cuadrado equivalente.

Integración por diferenciación

Kempf, Jackson y Morales demostraron relaciones matemáticas que permiten calcular una integral por diferenciación. Su cálculo implica la función delta de Dirac y el operador de derivada parcial $parcial _{x}$ . Esto también se puede aplicar a integrales funcionales, lo que les permite calcularse mediante diferenciación funcional.

Ejemplos

Usando el Teorema Fundamental del Cálculo

El teorema fundamental del cálculo permite cálculos sencillos de funciones básicas.

{displaystyle int _{0}^{pi }sin(x)dx=-cos(x)mid _{x=0}^{x=pi }=-cos(pi) -(-cos(0))=2}

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