Integral múltiple

En matemáticas (específicamente cálculo multivariable), una integral múltiple es una integral definida de una función de varias variables reales, por ejemplo, f(x, y) o f(x, y, z). Interpretación física (filosofía natural): S cualquier superficie, V cualquier volumen, etc. Incl. variable al tiempo, posición, etc.

Integrales de una función de dos variables sobre una región en ${\displaystyle \mathbb {R} {2}}$ (el avión número real) se llaman doble integrales, e integrales de una función de tres variables sobre una región en ${\displaystyle \mathbb {R} } {}} {}displaystyle \mathbb {R} }$ (espacio 3D en número real) triple integrales. Para múltiples integrales de una función única, vea la fórmula Cauchy para la integración repetida.

Introducción

Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa el área de la región entre la gráfica de la función y la x< /span>-eje, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función (en el plano cartesiano tridimensional donde z = f(x, y)) y el plano que contiene su dominio. Si hay más variables, una integral múltiple producirá hipervolúmenes de funciones multidimensionales.

Integración múltiple de una función en n variables: f(x₁, x₂,..., x_n) sobre un dominio D se representa más comúnmente por signos integrales anidados en el orden inverso de ejecución (el signo integral más a la izquierda se calcula en último lugar), seguidos de la función y los argumentos del integrando en el orden adecuado (la integral con respecto al argumento más a la derecha se calcula en último lugar). El dominio de integración se representa simbólicamente para cada argumento sobre cada signo integral o se abrevia mediante una variable en el signo integral más a la derecha:

${\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D}\,f(x_{1},x_{2},\ldotsx_{n})\,dx_{1}\!\cdots Dx.$

Dado que el concepto de un antiderivativo sólo se define para las funciones de una sola variable real, la definición habitual de la integral indefinida no se extiende inmediatamente a la integral múltiple.

Definición matemática

Para n > 1, considere un llamado "semiabierto" dominio hiperrectangular n-dimensional T, definido como:

${\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

Particionar cada intervalo [a_j, b _j) en una familia finita I_j< /span> de subintervalos no superpuestos i_jα, con cada subintervalo se cierra en el extremo izquierdo y se abre en el extremo derecho.

Entonces la familia finita de subrectángulos C dada por

${\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$

es una partición de T; es decir, los subrectángulos C_k no se superponen y su unión es T.

Sea f: T → R una función definida en T. Considere una partición C de T como se definió anteriormente, de manera que C es una familia de m subrectángulos C_m y

${\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}$

Podemos aproximar el volumen (n + 1)dimensional total delimitado a continuación por el nhiperrectángulo dimensional T y superiores por n-gráfico dimensional de f con el siguiente Riemann suma:

${\displaystyle \sum _{k=1}{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

donde P_k es un punto en C_k y m(C_k) es el producto de las longitudes de los intervalos cuyo producto cartesiano es C_k, también conocida como la medida de C_k.

El diámetro de un subrectángulo C_k es el mayor de las longitudes de los intervalos cuyo producto cartesiano es C_k. El diámetro de una partición determinada de T se define como el mayor de los diámetros de los subrectángulos de la partición. Intuitivamente, a medida que el diámetro de la partición C se restringe a ser cada vez más pequeño, el número de subrectángulos m se hace más grande y la medida m(C_k) de cada subrectángulo se hace más pequeño. La función f se dice que es integrable de Riemann si el límite

${\displaystyle S=\lim _{\delta\to 0}\sum _{k=1}{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k}}}$

existe, donde el límite se toma sobre todas las particiones posibles de T de diámetro como máximo δ.

Si f es integrable con Riemann, S se llama integral de Riemann de f sobre T y se denota

${\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldotsx_{n})\,dx_{1}\cdots Dx.$

Con frecuencia esta notación se abrevia como

${\displaystyle \int _{T}\f(\mathbf {x})\,d^{n}\mathbf {x}.$

donde x representa el n -tupla (x₁,..., x_n)< /span> y dⁿ< /span>x es el diferencial de volumen ndimensional.

La integral de Riemann de una función definida sobre un conjunto n-dimensional acotado arbitrario se puede definir extendiendo esa función a un función definida sobre un rectángulo medio abierto cuyos valores son cero fuera del dominio de la función original. Entonces la integral de la función original sobre el dominio original se define como la integral de la función extendida sobre su dominio rectangular, si existe.

En lo que sigue, la integral de Riemann en n dimensiones se denominará integral múltiple.

Propiedades

Las integrales múltiples tienen muchas propiedades comunes a las de las integrales de funciones de una variable (linealidad, conmutatividad, monotonicidad, etc.). Una propiedad importante de las integrales múltiples es que el valor de una integral es independiente del orden de los integrandos bajo ciertas condiciones. Esta propiedad se conoce popularmente como teorema de Fubini.

Casos particulares

En el caso de ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} } {2}$, la integral

${\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}$

es doble integral de f on TY si ${\displaystyle T\subseteq \mathbb [R] ^{3}$ la integral

${\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

es triple integral de f on T.

Observe que, por convención, la doble integral tiene dos signos integrales, y la triple integral tiene tres; esta es una convención notacional que es conveniente al computar una integral múltiple como una integral iterada, como se muestra más adelante en este artículo.

Métodos de integración

La resolución de problemas con integrales múltiples consiste, en la mayoría de los casos, en encontrar una manera de reducir la integral múltiple a una integral iterada, una serie de integrales de una variable, siendo cada una directamente solucionable. Para funciones continuas, esto está justificado por el teorema de Fubini. A veces es posible obtener el resultado de la integración mediante examen directo sin ningún cálculo.

Los siguientes son algunos métodos simples de integración:

Integrando funciones constantes

Cuando el integrando es una función constante c, la integral es igual al producto de c y la medida del dominio de integración. Si c = 1 y el dominio es una subregión de R² , la integral da el área de la región, mientras que si el dominio es una subregión de R³ , la integral da el volumen de la región.

Ejemplo. Vamos. f()x, Sí.) = 2 y

${\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\:\ 2\leq x\leq 4\;\ 3\leq y\leq 6\right}}$

en qué caso

${\displaystyle \int _{3}{6}\int _{2}{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{6}\int _{2}\4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area}(D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,}$

ya que por definición tenemos:

${\displaystyle \int _{3}\int _{2}\4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D).}$

Uso de la simetría

Cuando el dominio de la integración es simétrico sobre el origen con respecto a al menos una de las variables de integración y el integrado es extraño con respecto a esta variable, la integral es igual a cero, ya que las integrales sobre las dos mitades del dominio tienen el mismo valor absoluto pero los signos opuestos. Cuando el integrado es incluso con respecto a esta variable, la integral es igual al doble de la integral sobre la mitad del dominio, ya que las integrales sobre las dos mitades del dominio son iguales.

Ejemplo 1. Considerar la función f()x,Sí.) = 2 pecado(x) − 3Sí.³ + 5 integrado sobre el dominio

${\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\:\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right}}$

un disco con radio 1 centrado en el origen con el límite incluido.

Utilizando la propiedad linealidad, la integral se puede descomponer en tres piezas:

${\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}$

La función 2 pecado(x) es una función extraña en la variable x y el disco T es simétrico con respecto a Sí.-eje, por lo que el valor de la primera integral es 0. Del mismo modo, la función 3Sí.³ es una función extraña Sí., y T es simétrico con respecto a x-eje, y por lo tanto la única contribución al resultado final es la de la tercera integral. Por lo tanto la integral original es igual a la zona del disco tiempos 5, o 5π.

Ejemplo 2. Considerar la función f()x, Sí., z) x exp(Sí.² + z²) y como región de integración la bola con radio 2 centrado en el origen,

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\:\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right}$

El "ball" es simétrico sobre los tres ejes, pero es suficiente para integrarse con respecto a x-eje para demostrar que la integral es 0, porque la función es una función extraña de esa variable.

Dominios normales en R2

Este método es aplicable a cualquier dominio D para los cuales:

• la proyección de D sobre el x-eje o el Sí.-eje está atado por los dos valores, a y b
• cualquier línea perpendicular a este eje que pasa entre estos dos valores interseca el dominio en un intervalo cuyos puntos finales son dados por los gráficos de dos funciones, α y β.

Dicho dominio se denominará aquí dominio normal. En otras partes de la literatura, los dominios normales a veces se denominan dominios de tipo I o tipo II, según el eje sobre el que se fije el dominio. En todos los casos, la función a integrar debe ser integrable de Riemann en el dominio, lo cual es cierto (por ejemplo) si la función es continua.

Eje X

Si el dominio D es normal con respecto al eje x y f: D → R es una función continua; entonces α(x) y β(< i>x) (ambos definidos en el intervalo [a, b]) son las dos funciones que determinan D. Entonces, por el teorema de Fubini:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}{\beta (x)}f(x,y)\,dy.}$

Eje Y

Si D es normal con respecto a eje y y f: D → R es una función continua; entonces α(y) y β(< i>y) (ambos definidos en el intervalo [a, b]) son las dos funciones que determinan D. De nuevo, según el teorema de Fubini:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}\beta (y)}f(x,y)\,dx.}$

Dominios normales en R3

Si T es un dominio que es normal con respecto al xy-plano y determinado por las funciones α(x, y) y β(x, y), entonces

${\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy}$

Esta definición es la misma para los otros cinco casos de normalidad en R³. Se puede generalizar de forma sencilla a dominios en Rⁿ.

Cambio de variables

Los límites de la integración muchas veces no son fácilmente intercambiables (sin normalidad o con fórmulas complejas para integrar). Se hace un cambio de variables para reescribir la integral de una forma más "cómoda". región, que se puede describir con fórmulas más simples. Para ello es necesario adaptar la función a las nuevas coordenadas.

Ejemplo 1a. La función es f()x, Sí.) =x −1)² + √Sí.; si uno adopta la sustitución u = x − 1, v = Sí. por consiguiente x = u + 1, Sí. = v uno obtiene la nueva función f₂()u, v) =u)² + √v.

• Del mismo modo para el dominio porque está delimitado por las variables originales que se transformaron antes (x y Sí. por ejemplo).
• las diferencias dx y dy transformar a través del valor absoluto del determinante de la matriz jacobina que contiene los derivados parciales de las transformaciones respecto a la nueva variable (consider, como ejemplo, la transformación diferencial en coordenadas polares).

Existen tres "tipos" principales; de cambios de variable (uno en R², dos en R ³); sin embargo, se pueden realizar sustituciones más generales utilizando el mismo principio.

Coordenadas polares

En R² si el dominio tiene simetría circular y la función tiene algunas características particulares se puede aplicar la transformación a coordenadas polares (ver el ejemplo en la imagen) lo que significa que los puntos genéricos P(x , y) en coordenadas cartesianas cambian a sus respectivos puntos en coordenadas polares. Eso permite cambiar la forma del dominio y simplificar las operaciones.

La relación fundamental para realizar la transformación es la siguiente:

${\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi\rho \sin \varphi). }$

Ejemplo 2a. La función es f()x, Sí.) x + Sí. y la aplicación de la transformación que se obtiene

${\displaystyle f(x,y)=f(\rho \cos \varphi\rho \varphi)=\rho \cos \varphi +\rho \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi). }$

Ejemplo 2b. La función es f()x, Sí.) x² + Sí.², en este caso uno tiene:

${\displaystyle f(x,y)=\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}}$

usando la identidad trigonométrica de Pythagorean (muy útil para simplificar esta operación).

La transformación del dominio se realiza definiendo el radio' longitud de la corona y la amplitud del ángulo descrito para definir los intervalos ρ, φ a partir de x, y.

Ejemplo 2c. El dominio es D =x² + Sí.² ≤ 4, que es una circunferencia del radio 2; es evidente que el ángulo cubierto es el ángulo del círculo, por lo que φ de 0 a 2π, mientras que el radio de la corona varía de 0 a 2 (la corona con la nula del radio interior es sólo un círculo).

Ejemplo 2d. El dominio es D =x² + Sí.² ≤ 9, x² + Sí.² ≥ 4, Sí. ≥ 0}, que es la corona circular en el positivo Sí. medio plano (ver la imagen en el ejemplo); φ describe un ángulo de plano mientras *** varía de 2 a 3. Por lo tanto el dominio transformado será el siguiente rectángulo:

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi}.}$

El determinante jacobino de esa transformación es el siguiente:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho\varphi)}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \varphi\\\\sin \varphi > \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho }$

que se ha obtenido insertando los derivados parciales de x = *** Porque...φ), Sí. = *** pecado(φ) en la primera columna respeto *** y en el segundo respecto φAsí que... Dy diferenciales en esta transformación se convierten ρ dρ dφ.

Una vez transformada la función y evaluada el dominio, es posible definir la fórmula para el cambio de variables en coordenadas polares:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi\rho \sin \varphi)\rho \,d\rho \,d\varphi.}$

φ es válido en el [0, 2π] intervalo ***, que es una medida de longitud, sólo puede tener valores positivos.

Ejemplo 2. La función es f()x, Sí.) x y el dominio es el mismo que en Ejemplo 2d. Del análisis anterior D sabemos los intervalos de *** (de 2 a 3) y de φ (de 0 a 0) π). Ahora cambiamos la función:

${\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho\varphi)=\rho \cos \varphi.}$

Finalmente vamos a aplicar la fórmula de integración:

${\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi.}$

Una vez que se conocen los intervalos, usted tiene

${\displaystyle \int _{0}{\pi }\int _{2}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}{0}{\pi}\f} }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho - Sí. Big [}\sin \varphi {\fnMicrosoft Sans Serif}=0.}$

Coordenadas cilíndricas

En R³ la integración en dominios con base circular se puede realizar mediante el paso a coordenadas cilíndricas; la transformación de la función se realiza mediante la siguiente relación:

${\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \varphi\rho \sin \varphiz)}$

La transformación del dominio se puede lograr gráficamente, porque solo varía la forma de la base, mientras que la altura sigue la forma de la región inicial.

Ejemplo 3a. La región es D =x² + Sí.² ≤ 9, x² + Sí.² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5 (que es el "tubo" cuya base es la corona circular del Ejemplo 2d y cuya altura es 5); si se aplica la transformación, se obtiene esta región:

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi\ 0\leq z\leq 5}}$

(es decir, el paralelepípedo cuya base es similar al rectángulo en Ejemplo 2d y cuya altura es 5).

Porque... z componente no variando durante la transformación, dx dy dz los diferenciales varían como en el pasaje a las coordenadas polares: por lo tanto, se vuelven ρ dρ dφ dz.

Finalmente, es posible aplicar la fórmula final a las coordenadas cilíndricas:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi\rho \varphiz)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}$

Este método es conveniente en caso de dominios cilíndricos o cónicos o en regiones donde es fácil individuar el z intervalo e incluso transformar la base circular y la función.

Ejemplo 3b. La función es f()x, Sí., z) x² + Sí.² + z y como dominio de integración este cilindro: D =x² + Sí.² ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5. La transformación de D en coordenadas cilíndricas es el siguiente:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi\ -5\leq z\leq 5}.$

mientras que la función se convierte

${\displaystyle f(\rho \cos \varphi\rho \sin \varphiz)=\rho ^{2}+z}$

Finalmente se puede aplicar la fórmula de integración:

${\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;}$

desarrollar la fórmula que tienes

${\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi\int _{-5}{5}\left[{\frac {\rho] {4}{4}}}+{\frac {\rho ^{2}{2}\right]_{0}}\,dz=2\pi\int _{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9} {2}}}z\right)\,dz=40=\cdot$

Coordenadas esféricas

En R³ algunos dominios tienen simetría esférica, por lo que es posible especificar las coordenadas de cada punto de la región de integración por dos ángulos y una distancia. Por tanto, es posible utilizar el paso a coordenadas esféricas; la función se transforma por esta relación:

${\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi\rho \theta \sin \varphi\rho \cos \varphi)}$

Los puntos en el eje z no tienen una caracterización precisa en coordenadas esféricas, por lo que θ puede variar entre 0 y 2π.

El mejor dominio de integración para este pasaje es la esfera.

Ejemplo 4a. El dominio es D = x² + Sí.² + z² ≤ 16 (sfera con radio 4 y centro en el origen); aplicando la transformación que obtiene la región

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi\ 0\leq \theta \leq 2\pi\}.}$

El determinante jacobino de esta transformación es el siguiente:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z}{\partial (\rho\theta\varphi)}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi > \rho$

El dx dy dz diferenciales por lo tanto se transforman en ***² pecado(φ) ♪ ♪♪ d) dφ.

Esto produce la fórmula de integración final:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \varphi \cos \theta\rho \varphi \sin \theta\rho \cos \varphi)\rho ^{2}\en \varphi \,d\thephid\$

Es mejor utilizar este método en el caso de dominios esféricos y en el caso de funciones que pueden simplificarse fácilmente mediante la primera relación fundamental de la trigonometría extendida a < b>R³ (ver Ejemplo 4b); en otros casos puede ser mejor usar coordenadas cilíndricas (ver Ejemplo 4c).

${\displaystyle \iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi.}$

El ρ² y el sin φ provienen del jacobiano.

En los siguientes ejemplos, las funciones de φ y θ se han invertido.

Ejemplo 4b. D es la misma región que en Ejemplo 4a y f()x, Sí., z) x² + Sí.² + z² es la función para integrar. Su transformación es muy fácil:

${\displaystyle f(\rho \varphi \cos \theta\rho \varphi \sin \theta\rho \cos \varphi)=\rho ^{2}$

mientras conocemos los intervalos de la región transformada T desde D:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi\ 0\leq \theta \leq 2\pi\}.}$

Por lo tanto, aplicamos la fórmula de integración:

${\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi}$

y, en desarrollo, tenemos

${\displaystyle \iiint _{ T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi\int _{0}^{\pi Sin \varphi \left[{\frac {\rho ¿Qué? =2\pi\left [{\frac {\rho ^{5}{5}\right]_{0}{4}{4}{ Big [}- \cos \varphi {\Big} ♪♪ #={\frac {4096\pi} } {5}}$

Ejemplo 4c. El dominio D es la bola con centro en el origen y el radio 3a,

${\displaystyle D=\left\{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right}$

y f()x, Sí., z) x² + Sí.² es la función para integrar.

Mirando el dominio, parece conveniente adoptar el pasaje a las coordenadas esféricas, de hecho, los intervalos de las variables que delimitan el nuevo T la región es obviamente:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi\ 0\leq \theta \leq \pi\}.}$

Sin embargo, aplicando la transformación, obtenemos

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta\sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin$

Aplicando la fórmula para la integración obtenemos:

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \d\theta$

que se puede resolver convirtiendo en una integral iterada.

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}{3a}\rho ^{4}d\rho ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué?$.

${\displaystyle I=\left.\int ¿Qué? ¿Qué? {\fnK} {\fnMicroc {243}a} {5}}$,

${\displaystyle II=\int _{0}\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta = {0}\pi}\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta)=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta)=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta Está bien. }-\left.\cos \theta \right impertine_{0}{\pi} }={\frac {4}{3}}$,

${\displaystyle III=\int _{0}{2\pi}d\varphi =2\pi}$.

Recopilando todas las partes,

${\displaystyle \iiint _{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}\pi a^{5}}$.

Alternativamente, este problema se puede resolver utilizando el pasaje a coordenadas cilíndricas. El nuevo T intervalos son

${\displaystyle T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi\ - ¿Qué? ¿Qué?$

el z intervalo se ha obtenido dividiendo la bola en dos hemisferios simplemente resolviendo la desigualdad de la fórmula de D (y luego transformando directamente x² + Sí.² en ***²). La nueva función es simplemente ***². Aplicar la fórmula de integración

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}$

Entonces nos vamos.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}{2\pi} }d\varphi \int _{0} {3a}\rho ^{3}d\rho \int ¿Por qué? {9a^{2}-\rho ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\h}\,d\rho\\\\\\cH00\\\\cH00\\\\___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ↑ ¿Por qué? {t}-t{\sqrt {t}\right)\,dt\\\\\fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? {t}\,dt-\int ¿Por qué? {3}{2}-{\frac {2} {5}t^{\frac} {5}{2}} {0} {9a^{2}\\\=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}\right)\\\q\q\c\c\c\c\c\c\c\c\cH00} {648\pi} {5}} {5}}}} {\fnun}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\fn}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\$

Gracias al paso a las coordenadas cilíndricas fue posible reducir la triple integral a una integral más fácil.

Ver también la entrada de volumen diferencial en nabla en coordenadas cilíndricas y esféricas.

Ejemplos

Integral doble sobre un rectángulo

Supongamos que deseamos integrar una función multivariable f sobre una región A:

$[\displaystyle A=\left\{x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\:\ 11\leq x\leq 14\;\ 7\leq y\leq 10\right\}\mbox{ and }f(x,y)=x^{2}+4y\,}$

A partir de esto formulamos la integral iterada

${\displaystyle \int _{7}{10}\int _{11}{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}$

Primero se realiza la integral interna, integrando con respecto a x y tomando y como constante, ya que no es la variable de integración. El resultado de esta integral, que es una función que depende únicamente de y, se integra luego con respecto a y.

${\displaystyle {\begin{aligned}in ¿Por qué? {1}{3}x^{3}+4yx\right]_{x=11}{x=14}\\={\frac={\frac {1}{3}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}(11)^{3}-4y(11)\\\\\\\\=471+12y\end{aligned}}}}$

Luego integramos el resultado con respecto a y.

${\displaystyle {\begin{aligned}in ¿Por qué? Grande #### {y=7} {y=10}\\\=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\\\=1719\end{aligned}}}$

En los casos en que la integral doble del valor absoluto de la función sea finita, el orden de integración es intercambiable, es decir, integrando con respecto a x primero e integrando con respecto a y primero produce el mismo resultado. Ése es el teorema de Fubini. Por ejemplo, haciendo el cálculo anterior con el orden invertido da el mismo resultado:

${\displaystyle {\begin{aligned}in _{11}{14}\int _{7}\7}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx limit=\int ¿Qué? Grande. Grande #_{y=7} {y=10}\,dx\\\\\nt _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\\\\\\\\\\Big [}x^{3}+102x{\Big] # {x=11} {x=14}\\\\\fnMicrosoft Sans Serif}$

Integral doble sobre un dominio normal

Considere la región (consulte el gráfico en el ejemplo):

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\:\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}}}$

Cálculo

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.}$

Este dominio es normal con respecto a los ejes x e y. Para aplicar las fórmulas es necesario encontrar las funciones que determinan D y los intervalos en los que se definen estas funciones. En este caso las dos funciones son:

${\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }\beta (x)=1}$

mientras que el intervalo está dado por las intersecciones de las funciones con x = 0, por lo que el intervalo es [a, b] = [0, 1] (se ha elegido la normalidad con respecto al eje x para una mejor comprensión visual).

Ahora es posible aplicar la fórmula:

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0} {1}dx\int _{x^{2} {1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y}{2}}} {x^{2}} {2}}} {2}}}}{2}}}}} {\c}} {\c}}} {\c}}}}}} {\c}}}}}} {\c}}}} {\c}}}}}}}}}}} {\c}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(en un primer momento se calcula la segunda integral considerando x como constante). El resto de operaciones consisten en aplicar las técnicas básicas de integración:

${\displaystyle \int ¿Qué? {y^{2}{2}}\derecha]_{x^{2}}\,dx=\int ¿Por qué? [x^{4} {2}\derecha]dx=\cdots ={\frac {13}{20}}}$

Si elegimos la normalidad con respecto al eje y podríamos calcular

${\displaystyle \int _{0} {0}displaystyle \int _{0} {\sqrt {y}(x+y)\,dx.}$

y obtener el mismo valor.

Calcular el volumen

Utilizando los métodos descritos anteriormente, es posible calcular los volúmenes de algunos sólidos comunes.

• Cilindro: El volumen de un cilindro con altura h y base circular de radio R se puede calcular integrando la función constante h sobre la base circular, utilizando coordenadas polares.

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}{2\pi }d\varphi \,\int _{0}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho - Sí. R^{2}h}$

Esto está de acuerdo con la fórmula para el volumen de un prisma.

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}\times {\text{height}}}$

• Sphere: El volumen de una esfera con radio R se puede calcular integrando la función constante 1 sobre la esfera, utilizando coordenadas esféricas.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume} {\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\\\\\\\iiint _{D}1\,dV\\\\iiint=\iiint ¿Por qué? _{0}{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}{R}\rho ^{2}\,d\rho\\\\c\\c\c\c\c\s___0}\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}\rho ^2}\d\rho ¿Qué? Sin \varphi {\frac {R^{3}{3}\,d\varphi\\\\fnMic {2}{3}\pi} ¿Qué? Big [}- \cos \varphi {\Big} ♪♪ }={\frac {4}{3}\pi} R^{3}.$

• Tetraedro ( pirámide triangular o 3-simplex): El volumen de un tetraedro con su ápice en el origen y bordes de longitud l a lo largo x- Sí.- y z-axes se pueden calcular integrando la función constante 1 sobre el tetraedro.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? -x. ¿Qué? -x-y}\,dz\\\\fnción=\int ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Por qué? x+x^{2}-{\frac {\ell -x)}{2}{2}\right)\,dx\\\\\c\\c\\\c\\\\c\\\c\\c\\\\c\\c\\\\\c\\\cH00}-\left[{\ell ^{2}x} - ¿Qué? ## {2}{2}}+{\frac} {\fnMicrosoft Sans Serif} }\\\\fnMicroc {\ell ^{3}{3}} {\frac} {\fnK} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}} {\fn}} {\f}} {\f} {\fn}}} {\fn}}}}} {\fn} {\fn}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}\f}}}}}}}}}}\f}}}}}\f}}}}}}\f}}}}\f}\f}\f}}}}}}}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Esto está de acuerdo con la fórmula para el volumen de una pirámide

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}}\times {\text{base area}\times {\text{height}}={\frac {1}}\times {\frac {\frac {\ell ^{2}}}{2}}}}}\times \ell ={\frac}{\frac}}}\times {\f}\fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMintines {\fnMinMinMinMinMinMinMinMinMintines {\ell ^{3} {6}}}}$

Múltiple inadecuado integral

En el caso de dominios ilimitados o funciones no acotadas cerca del límite del dominio, tenemos que introducir la integral impropia doble o la integral impropia triple.

Integrales múltiples e integrales iteradas

El teorema de Fubini dice que si

${\displaystyle \iint _{A\times B}\left sometidaf(x,y)\right sobre la vida\,d(x,y)seleccionó\infty}$

es decir, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral múltiple dará el mismo resultado que cualquiera de las dos integrales iteradas:

${\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy}}$

En particular, esto ocurrirá si |f(x, y)| es una función acotada y A y B son conjuntos acotados.

Si la integral no es absolutamente convergente, es necesario tener cuidado de no confundir los conceptos de integral múltiple e integral iterada, especialmente porque a menudo se usa la misma notación para cualquiera de los dos casos. concepto. la notación

${\displaystyle \int _{0}\int _{0}{1}f(x,y)\,dy\,dx}$

significa, en algunos casos, una integral iterada en lugar de una integral doble verdadera. En una integral iterada, la integral exterior

${\displaystyle \int _{0}\cdots \,dx}$

es la integral con respecto a x de la siguiente función x:

${\displaystyle g(x)=\int _{0} {1}f(x,y)\,dy.}$

Una integral doble, por otro lado, se define con respecto al área en el plano xy. Si la integral doble existe, entonces es igual a cada una de las dos integrales iteradas (ya sea "dy dx&# 34; o "dx dy") y a menudo se calcula calculando cualquiera de las integrales iteradas. Pero a veces las dos integrales iteradas existen cuando la integral doble no existe, y en algunos casos las dos integrales iteradas son números diferentes, es decir, una tiene

${\displaystyle \int _{0}\int _{0}{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}\int _{0}}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.}$

Este es un ejemplo de reordenamiento de una integral condicionalmente convergente.

Por otro lado, algunas condiciones garantizan que las dos integrales iteradas sean iguales aunque no sea necesario que exista la integral doble. Según el teorema de Fichtenholz-Lichtenstein, si f está acotado en [0, 1] × [ 0, 1] y ambas integrales iteradas existen, entonces son iguales. Además, la existencia de las integrales internas asegura la existencia de las integrales externas. Según Sierpiński, en este caso la integral doble no tiene por qué existir ni siquiera como integral de Lebesgue.

La notación

${\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy}$

puede usarse si uno desea ser enfático en cuanto a intentar una integral doble en lugar de una integral iterada.

Triple integral

La integral triple fue demostrada por el teorema de Fubini. Teorema de Drichlet y teorema de extensión de Liouville sobre la integral triple.

Algunas aplicaciones prácticas

En general, al igual que en una variable, se puede utilizar la integral múltiple para encontrar el promedio de una función sobre un conjunto dado. Dado un conjunto D ⊆ Rⁿ y un integrable función f sobre D , el valor promedio de f sobre su dominio viene dado por

${\displaystyle {\bar {\f}={\frac {1}{m(D)}\int _{D}f(x)\,dx,}$

donde m(D) es la medida de D.

Además, las integrales múltiples se utilizan en muchas aplicaciones de la física. Los ejemplos siguientes también muestran algunas variaciones en la notación.

En mecánica, el momento de inercia se calcula como la integral de volumen (triple integral) de la densidad pesada con el cuadrado de la distancia al eje:

${\displaystyle I_{z}=\iiint ¿Qué? .$

El potencial gravitacional asociado con una distribución de masa dada por una medida de masa dm en el espacio euclidiano tridimensional R³ es

${\fnMitbf {\fnMitbf} {\fnMitbf} {\f} {\f}{\f} {\f} {\f}} {\fnMitbf {x}}} {\fnMitbf}} {\f}}}} {\f}\fnMitbf}}} {\f}}}}}}}}}}\f} {\f} {\f}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\f}\f}\f}\fnH\f}\fnMit\f}\fn\f}\f}\f}}}}}\fnh - Mathbf {y}\,dm(\mathbf {y}).$

Si hay una función continua ρ(x) que representa la densidad de la distribución en x, de modo que dm(x) = ρ (x)d³x, donde d³ x es el elemento de volumen euclidiano, entonces el potencial gravitacional es

${\fnMitbf {\fnMitbf} {\fnMitbf} {\f} {\f}{\f} {\f} {\f}} {\fnMitbf {x}}} {\fnMitbf}} {\f}}}} {\f}\fnMitbf}}} {\f}}}}}}}}}}\f} {\f} {\f}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\f}\f}\f}\fnH\f}\fnMit\f}\fn\f}\f}\f}}}}}\fnh - Mathbf {y}\,\rho (\mathbf {y}\,d^{3}\mathbf {y}$

En electromagnetismo, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir usando integrales múltiples para calcular los campos magnéticos y eléctricos totales. En el siguiente ejemplo, el campo eléctrico producido por una distribución de cargas dada por la densidad de carga volumétrica ρ(r→) se obtiene por un triple integral de una función vectorial:

${\displaystyle {\vec}={\frac {1}{4\pi} \varepsilon {\fnMicroc} {\fnh}- {\fnh} {\fnh\fnh}} {\fnh\fnh\fnh} {\fnh\fn}}} {\fn\fnh\fnh\fnh\fn\fn\fnh\fnh}\fn\fnh\fnh\fnhnh\fnhnh}\fnhnh}\fnhnh}\fnh}\fn\fnh}\fnh\fnh}}}\fnh}\fnh\fnhnh\fnh\fnh}}\\\fnh\fnh\fnhnhnhnhnh}\fnhnh}\fnh}\\fnh\fnh\fnh}\\fnh}\fnh}\fnhnh}\fnhnh}\\fnh\fnh}\\fnh {}- {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Esto también se puede escribir como una integral con respecto a una medida con signo que representa la distribución de carga.