Integral iterada

En cálculo multivariable, un iterated integral es el resultado de aplicar integrales a una función de más de una variable (por ejemplo, f()x,Sí.){displaystyle f(x,y)} o f()x,Sí.,z){displaystyle f(x,y,z)}) de tal manera que cada una de las integrales considera algunas de las variables como constantes dadas. Por ejemplo, la función f()x,Sí.){displaystyle f(x,y)}, si Sí.{displaystyle y} se considera un parámetro dado, se puede integrar con respecto a x{displaystyle x}, ∫ ∫ f()x,Sí.)dx{textstyle int f(x,y),dx}. El resultado es una función Sí.{displaystyle y} y por lo tanto su integral puede ser considerado. Si esto se hace, el resultado es la integral iterada

∫ ∫ ()∫ ∫ f()x,Sí.)dx)dSí..{displaystyle int left(int f(x,y),dxright),dy.}

Es clave para la noción de integrales iteradas que ésta sea diferente, en principio, de la integral múltiple

∫ ∫ f()x,Sí.)dxdSí..{displaystyle iint f(x,y),dx,dy.}

In general, although these two can be different, Fubini 's theorem states that under specific conditions, they are equivalent.

La notación alternativa para integrales iteradas

∫ ∫ dSí.∫ ∫ dxf()x,Sí.){displaystyle int dyint dx,f(x,y)}

también se utiliza.

En la notación que utiliza paréntesis, las integrales iteradas se calculan siguiendo el orden operativo indicado por los paréntesis a partir de la parte más interna del exterior. En la notación alternativa, escribir ∫ ∫ dSí.∫ ∫ dxf()x,Sí.){textstyle int dy,int dx,f(x,y)}, el más integrado es calculado primero.

Ejemplos

Un cálculo sencillo

Para la integral iterada

∫ ∫ ()∫ ∫ ()x+Sí.)dx)dSí.{displaystyle int left(int (x+y),dxright),dy}

la integral

∫ ∫ ()x+Sí.)dx=x22+Sí.x{displaystyle int (x+y),dx={frac Sí.

se calcula primero y luego el resultado se utiliza para calcular la integral con respecto a y.

∫ ∫ ()x22+Sí.x)dSí.=Sí.x22+xSí.22{displaystyle int left({frac {x^{2}{2}+yxright),dy={frac {yx^{2}{2}}+{frac} {xy} {2} {2}}} {2}}}

Este ejemplo omite las constantes de integración. Después de la primera integración con respecto a x, necesitaríamos rigurosamente introducir una "constante" función de y. Es decir, si tuviéramos que diferenciar esta función con respecto a x, cualquier término que contenga solo y desaparecería, dejando el integrando original. De manera similar, para la segunda integral, introduciríamos una "constante" función de x, porque la hemos integrado con respecto a y. De esta forma, la integración indefinida no tiene mucho sentido para funciones de varias variables.

El orden es importante

El orden en el que se calculan las integrales es importante en las integrales iteradas, particularmente cuando el integrando no es continuo en el dominio de integración. Los ejemplos en los que los diferentes órdenes conducen a resultados diferentes suelen ser para funciones complicadas como la que sigue.

Definir la secuencia <math alttext="{displaystyle a_{0}=0<a_{1}<a_{2}a0=0.a1.a2.⋯ ⋯ {displaystyle a_{0}=0 obtenidosa_{1}<img alt="{displaystyle a_{0}=0<a_{1}<a_{2} tales que an→ → 1{displaystyle a_{n}to 1}. Vamos gn{displaystyle g_{n} ser una secuencia de funciones continuas que no desaparecen en el intervalo ()an,an+1){displaystyle (a_{n},a_{n+1}} y cero en otros lugares, de tal manera ∫ ∫ 01gn=1{textstyle int ¿Qué? para todos n{displaystyle n}. Define

f()x,Sí.)=.. n=0JUEGO JUEGO ()gn()x)− − gn+1()x))gn()Sí.).{displaystyle f(x,y)=sum _{n=0}{infty }left(g_{n}(x)-g_{n+1}(x)right)g_{n}(y).}

En la suma anterior, en cada ()x,Sí.){displaystyle (x,y)}, en la mayoría de un término es diferente de cero. Para esta función sucede que

∫ ∫ 01()∫ ∫ 01f()x,Sí.)dSí.)dx=∫ ∫ 0a1()∫ ∫ 0a1g0()x)g0()Sí.)dSí.)dx=1ل ل 0=∫ ∫ 010dSí.=∫ ∫ 01()∫ ∫ 01f()x,Sí.)dx)dSí.{displaystyle int ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué?