Integral impropia

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Concepto en el análisis matemático

Un Riemann impropio integral del primer tipo, donde la región en el plano implicada por la integral es infinita en extensión horizontal. El área de tal región, que representa la integral, puede ser finita (como aquí) o inifinita.

Un Riemann impropio integral del segundo tipo, donde la región implícita es infinita verticalmente. La región puede tener ya sea finito (como aquí) o área infinita.

En el análisis matemático, una integral impropia es una extensión de la noción de integral definida a los casos que violan los supuestos usuales para ese tipo de integral. En el contexto de las integrales de Riemann (o, de manera equivalente, las integrales de Darboux), esto generalmente implica la falta de límites, ya sea del conjunto sobre el cual se toma la integral o del integrando (la función que se integra), o ambos. También puede involucrar conjuntos acotados pero no cerrados o funciones acotadas pero no continuas. Si bien una integral impropia generalmente se escribe simbólicamente como una integral definida estándar, en realidad representa un límite de una integral definida o una suma de dichos límites; por tanto, se dice que las integrales impropias convergen o divergen. Si una integral definida regular (que retronímicamente puede llamarse integral propia) se resuelve como si fuera impropia, se obtendrá la misma respuesta.

En el caso más simple de una función de valor real de una sola variable integrada en el sentido de Riemann (o Darboux) sobre un solo intervalo, las integrales impropias pueden tener cualquiera de las siguientes formas:

${displaystyle int _{a}^{infty }f(x),dx}$
${displaystyle int _{-infty }^{b}f(x),dx}$
${displaystyle int _{-infty }^{infty }f(x),dx}$
$int _{a}^{b}f(x),dx$ , donde $f(x)$ es indefinido o discontinua en algún lugar $[a,b]$

Las tres primeras formas son inadecuadas porque las integrales se toman sobre un intervalo sin límites. (Pueden ser inadecuados por otras razones, también, como se explica a continuación). Tal integral se describe a veces como ser del "primer" tipo o tipo si el integrado satisface de otra manera las suposiciones de la integración. Integrales en la cuarta forma que son impropios porque $f(x)$ tiene un asinto vertical en algún lugar del intervalo $[a,b]$ puede describirse como ser del tipo o tipo "segundo". Los integrales que combinan aspectos de ambos tipos se describen a veces como ser del tipo "tercer" o tipo.

En cada caso anterior, la integral inadecuada debe ser reescrita usando uno o más límites, dependiendo de lo que está causando que la integral sea inadecuada. Por ejemplo, en el caso 1, si $f(x)$ es continuo en todo el intervalo ${displaystyle [a,infty)}$ , entonces

{displaystyle int _{a}^{infty }f(x),dx=lim _{bto infty }int _{a}^{b}f(x),dx.}

El límite de la derecha se toma como la definición de la notación integral de la izquierda.

Si $f(x)$ sólo continua $(a,infty)$ y no en $a$ en sí mismo, entonces normalmente esto es reescrito como

{displaystyle int _{a}^{infty }f(x),dx=lim _{tto a^{+}}int _{t}^{c}f(x),dx+lim _{bto infty }int _{c}^{b}f(x),dx,}

para cualquier elección de $a}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c■a{displaystyle c]a}a" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8035c5151ae8e735de542149a111325a3a47a98" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.335ex; height:1.843ex;"/>$ . Aquí ambos límites deben converger a un valor finito para que la integral inadecuada pueda converger. Este requisito evita el caso ambiguo de añadir infinidades positivas y negativas (es decir, el " $infty -infty$ "forma indeterminada". Alternativamente, se podría utilizar un límite iterado o un único límite basado en el valor principal de Cauchy.

Si $f(x)$ continuo ${displaystyle [a,d)}$ y ${displaystyle (d,infty)}$ , con una discontinuidad de cualquier tipo $d$ , entonces

{displaystyle int _{a}^{infty }f(x),dx=lim _{tto d^{-}}int _{a}^{t}f(x),dx+lim _{uto d^{+}}int _{u}^{c}f(x),dx+lim _{bto infty }int _{c}^{b}f(x),dx,}

para cualquier elección de $d}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c■d{displaystyle c]d}d}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654d328379a5e55c2f524e3953dec53c24982a4e" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.321ex; height:2.176ex;"/>$ . Los comentarios anteriores sobre formas indeterminadas, límites iterados y el valor principal de Cauchy también se aplican aquí.

La función $f(x)$ puede tener más discontinuidades, en cuyo caso se requerirían aún más límites (o una expresión de valor principal más complicada).

Los casos 2 a 4 se manejan de manera similar. Vea los ejemplos a continuación.

Las integrales impropias también se pueden evaluar en el contexto de números complejos, en dimensiones superiores y en otros marcos teóricos como la integración de Lebesgue o la integración de Henstock-Kurzweil. Las integrales que se consideran impropias en un marco pueden no serlo en otros.

Ejemplos

La definición original de la integral Riemann no se aplica a una función como $1/{x^{2}}$ en el intervalo $[1, \infty]$ , porque en este caso el dominio de la integración está sin límites. Sin embargo, la integral Riemann a menudo se puede ampliar por continuidad, definiendo la integral inadecuada como límite

{displaystyle int _{1}^{infty }{frac {dx}{x^{2}}}=lim _{bto infty }int _{1}^{b}{frac {dx}{x^{2}}}=lim _{bto infty }left(-{frac {1}{b}}+{frac {1}{1}}right)=1.}

La definición estrecha de la integral Riemann tampoco cubre la función ${textstyle 1/{sqrt {x}}}$ en el intervalo $[0, 1]$ . El problema aquí es que el integrador está sin límites en el ámbito de la integración. En otras palabras, la definición de la integral Riemann requiere que tanto el dominio de la integración como el integrado estén vinculados. Sin embargo, la integral inadecuada existe si se entiende como límite

{displaystyle int _{0}^{1}{frac {dx}{sqrt {x}}}=lim _{ato 0^{+}}int _{a}^{1}{frac {dx}{sqrt {x}}}=lim _{ato 0^{+}}left(2-2{sqrt {a}}right)=2.}

A veces, las integrales pueden tener dos singularidades cuando son impropias. Considere, por ejemplo, la función $1/((x + 1) \sqrt x)$ integrado de 0 a $\infty$ (se muestra a la derecha). En el límite inferior del dominio de integración, cuando $x$ va a 0, la función va a $\infty$ , y el límite superior es en sí mismo $\infty$ , aunque la función va a 0. Por lo tanto, esta es una integral doblemente impropia. Integrada, digamos, de 1 a 3, una suma de Riemann ordinaria es suficiente para producir un resultado de $π$ /6. Para integrar de 1 a $\infty$ , no es posible una suma de Riemann. Sin embargo, cualquier límite superior finito, digamos $t$ (con $t > 1$ ), da un resultado bien definido, $2 arctan(\sqrt t) - π/2$ . Esto tiene un límite finito ya que $t$ llega al infinito, a saber, $π$ /2. De manera similar, la integral de 1/3 a 1 también permite una suma de Riemann, y casualmente produce de nuevo $π$ /6. Reemplazar 1/3 por un valor positivo arbitrario $s$ (con $s < 1$ ) es igualmente seguro, dando $π/2 - 2 arctan(\sqrt s)$ . Esto también tiene un límite finito ya que $s$ llega a cero, a saber, $π$ /2. Combinando los límites de los dos fragmentos, el resultado de esta integral impropia es

{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{infty }{frac {dx}{(1+x){sqrt {x}}}}&{}=lim _{sto 0^{+}}int _{s}^{1}{frac {dx}{(1+x){sqrt {x}}}}+lim _{tto infty }int _{1}^{t}{frac {dx}{(1+x){sqrt {x}}}}\&{}=lim _{sto 0^{+}}left({frac {pi }{2}}-2arctan {sqrt {s}}right)+lim _{tto infty }left(2arctan {sqrt {t}}-{frac {pi }{2}}right)\&{}={frac {pi }{2}}+left(pi -{frac {pi }{2}}right)\&{}=pi.end{aligned}}}

Este proceso no garantiza el éxito; un límite puede no existir o puede ser infinito. Por ejemplo, en el intervalo acotado de 0 a 1, la integral de $1/ x$ no converge; y sobre el intervalo ilimitado de 1 a $\infty$ la integral de $1/ \sqrt x$ no converge.

También puede suceder que un integrando no esté acotado cerca de un punto interior, en cuyo caso la integral debe dividirse en ese punto. Para que la integral como un todo converja, las integrales límite en ambos lados deben existir y deben estar acotadas. Por ejemplo:

{displaystyle {begin{aligned}int _{-1}^{1}{frac {dx}{sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=lim _{sto 0^{-}}int _{-1}^{s}{frac {dx}{sqrt[{3}]{x^{2}}}}+lim _{tto 0^{+}}int _{t}^{1}{frac {dx}{sqrt[{3}]{x^{2}}}}\&{}=lim _{sto 0^{-}}3left(1-{sqrt[{3}]{s}}right)+lim _{tto 0^{+}}3left(1-{sqrt[{3}]{t}}right)\&{}=3+3\&{}=6.end{aligned}}}

Pero la integral similar

{displaystyle int _{-1}^{1}{frac {dx}{x}}}

no se le puede asignar un valor de esta manera, ya que las integrales por encima y por debajo de cero en el dominio integral no convergen de forma independiente. (Sin embargo, consulte el valor del capital de Cauchy).

Convergencia de la integral

(feminine)

Una integral impropia converge si existe el límite que la define. Así por ejemplo se dice que la integral impropia

{displaystyle lim _{tto infty }int _{a}^{t}f(x) dx}

existe y es igual a L si las integrales bajo el límite existen para todos los t suficientemente grandes, y el valor del límite es igual a L.

También es posible que una integral impropia diverja hasta el infinito. En ese caso, uno puede asignar el valor de ∞ (o −∞) a la integral. Por ejemplo

{displaystyle lim _{bto infty }int _{1}^{b}{frac {dx}{x}}=infty.}

Sin embargo, otras integrales impropias pueden simplemente divergir en ninguna dirección en particular, como

{displaystyle lim _{bto infty }int _{1}^{b}xsin(x),dx,}

que no existe, ni siquiera como un número real extendido. Esto se llama divergencia por oscilación.

Una limitación de la técnica de integración impropia es que el límite debe tomarse con respecto a un punto final a la vez. Así, por ejemplo, una integral impropia de la forma

{displaystyle int _{-infty }^{infty }f(x),dx}

se puede definir tomando dos límites separados; esto es

{displaystyle int _{-infty }^{infty }f(x),dx=lim _{ato -infty }lim _{bto infty }int _{a}^{b}f(x),dx}

siempre que el doble límite sea finito. También se puede definir como un par de integrales impropias distintas del primer tipo:

{displaystyle lim _{ato -infty }int _{a}^{c}f(x),dx+lim _{bto infty }int _{c}^{b}f(x),dx}

Did you mean:

where c is any convenient point at which to start the integration. This definition also applies when one of these integers is infinite, or both if they have the same sign.

Un ejemplo de una integral inadecuada donde ambos extremos son infinitos es la integral Gausiana ${textstyle int _{-infty }^{infty }e^{-x^{2}},dx={sqrt {pi }}}$ . Un ejemplo que evalúa al infinito es ${textstyle int _{-infty }^{infty }e^{x},dx}$ . Pero uno ni siquiera puede definir otras integrales de este tipo sin ambigüedad, como ${textstyle int _{-infty }^{infty }x,dx}$ , ya que el doble límite es infinito y el método dos-integral

{displaystyle lim _{ato -infty }int _{a}^{c}x,dx+lim _{bto infty }int _{c}^{b}x,dx}

produce una forma indeterminada, $infty -infty$ . En este caso, se puede definir una integral inadecuada en el sentido del valor principal de Cauchy:

{displaystyle operatorname {p.v.} int _{-infty }^{infty }x,dx=lim _{bto infty }int _{-b}^{b}x,dx=0.}

Las preguntas que uno debe abordar para determinar una integral impropia son:

¿Existe el límite?
¿Se puede calcular el límite?

La primera pregunta es una cuestión de análisis matemático. El segundo puede abordarse mediante técnicas de cálculo, pero también en algunos casos mediante integración de contornos, transformadas de Fourier y otros métodos más avanzados.

Tipos de integrales

Existe más de una teoría de la integración. Desde el punto de vista del cálculo, la teoría integral de Riemann suele asumirse como la teoría por defecto. Al usar integrales impropias, puede importar qué teoría de integración esté en juego.

Para la integral Riemann (o la integral Darboux, que es equivalente a ella), la integración inadecuada es necesaria ambos para intervalos sin límites (ya que uno no puede dividir el intervalo en finitos muchos subintervalos de longitud finita) y para funciones sin límites con integral finito (ya que, suponiendo que está desbordada arriba, entonces la parte superior será infinita, pero la parte inferior será finita).
El Lebesgue integral se ocupa de manera diferente con dominios sin límites y funciones sin límites, por lo que a menudo una integral que sólo existe como una integral Riemann inadecuada existirá como una (proper) Lebesgue integral, como ${textstyle int _{1}^{infty }{frac {dx}{x^{2}}}}$ . Por otro lado, también hay integrales que tienen una integral Riemann inadecuada pero no tienen una (proper) integral Lebesgue, como ${textstyle int _{0}^{infty }{frac {sin x}{x}},dx}$ . La teoría de Lebesgue no lo ve como una deficiencia: desde el punto de vista de la teoría de la medida, ${textstyle int _{0}^{infty }{frac {sin x}{x}},dx=infty -infty }$ y no se puede definir satisfactoriamente. En algunas situaciones, sin embargo, puede ser conveniente emplear integrales Lebesgue inadecuadas como es el caso, por ejemplo, al definir el valor principal de Cauchy. La integral Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformación Fourier, con el uso generalizado de integrales sobre toda la línea real.
Para la integración integral e inadecuada Henstock–Kurzweil no es necesario, y esto se ve como una fuerza de la teoría: abarca todas las funciones integrables e inadecuadas Riemann.

Integrales de Riemann impropias e integrales de Lebesgue

En algunos casos, la integral

{displaystyle int _{a}^{c}f(x) dx}

puede definirse como una integral (una integral de Lebesgue, por ejemplo) sin referencia al límite

{displaystyle lim _{bto c^{-}}int _{a}^{b}f(x),dx}

pero no se puede calcular convenientemente de otra manera. Esto sucede a menudo cuando la función f que se integra de a a c tiene una asíntota vertical en c, o si c = ∞ (ver Figuras 1 y 2). En tales casos, la integral impropia de Riemann permite calcular la integral de Lebesgue de la función. Específicamente, se cumple el siguiente teorema (Apostol 1974, Teorema 10.33):

Si una función f es Riemann integrador en [a,bPara todos b≥a, y las integrales parciales

{displaystyle int _{a}^{b}|f(x)|,dx}

están obligados como b→ ∞, entonces las integrales Riemann impropio

{displaystyle int _{a}^{infty }f(x),dx,quad {mbox{and }}int _{a}^{infty }|f(x)|,dx}

Ambos existen. Además, f es Lebesgue integradoble en [a, ∞), y su integral de Lebesgue es igual a su inadecuada integral Riemann.

Por ejemplo, la integral

int _{0}^{infty }{frac {dx}{1+x^{2}}}

puede interpretarse alternativamente como la integral impropia

lim _{{bto infty }}int _{0}^{b}{frac {dx}{1+x^{2}}}=lim _{{bto infty }}arctan {b}={frac {pi }{2}},

o puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el conjunto (0, ∞). Dado que ambos tipos de integrales concuerdan, uno es libre de elegir el primer método para calcular el valor de la integral, incluso si finalmente desea considerarlo como una integral de Lebesgue. Por lo tanto, las integrales impropias son herramientas claramente útiles para obtener los valores reales de las integrales.

En otros casos, sin embargo, es posible que ni siquiera se defina una integral de Lebesgue entre extremos finitos, porque las integrales de las partes positiva y negativa de f son infinitas, pero la integral de Riemann impropia aún puede existir. Tales casos son "correctamente impropios" integrales, es decir, sus valores no pueden definirse excepto como tales límites. Por ejemplo,

{displaystyle int _{0}^{infty }{frac {sin(x)}{x}},dx}

no puede interpretarse como una integral de Lebesgue, ya que

{displaystyle int _{0}^{infty }left|{frac {sin(x)}{x}}right|,dx=infty.}

Pero... ${displaystyle f(x)={frac {sin(x)}{x}}}$ es, sin embargo, integrado entre cualquier dos puntos finales finitos, y su integral entre 0 y ∞ se entiende generalmente como el límite de la integral:

{displaystyle int _{0}^{infty }{frac {sin(x)}{x}},dx=lim _{bto infty }int _{0}^{b}{frac {sin(x)}{x}},dx={frac {pi }{2}}.}

Singularidades

Se puede hablar de las singularidades de una integral impropia, es decir, aquellos puntos de la recta numérica real extendida en los que se utilizan límites.

Valor principal de Cauchy

Considere la diferencia en los valores de dos límites:

{displaystyle lim _{ato 0^{+}}left(int _{-1}^{-a}{frac {dx}{x}}+int _{a}^{1}{frac {dx}{x}}right)=0,}

{displaystyle lim _{ato 0^{+}}left(int _{-1}^{-a}{frac {dx}{x}}+int _{2a}^{1}{frac {dx}{x}}right)=-ln 2.}

El primero es el valor principal de Cauchy de la expresión mal definida

{displaystyle int _{-1}^{1}{frac {dx}{x}}{ }left({mbox{which}} {mbox{gives}} -infty +infty right).}

Del mismo modo, tenemos

{displaystyle lim _{ato infty }int _{-a}^{a}{frac {2x,dx}{x^{2}+1}}=0,}

pero

{displaystyle lim _{ato infty }int _{-2a}^{a}{frac {2x,dx}{x^{2}+1}}=-ln 4.}

El primero es el valor principal de la expresión mal definida

{displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {2x,dx}{x^{2}+1}}{ }left({mbox{which}} {mbox{gives}} -infty +infty right).}

Todos los límites anteriores son casos de la forma indeterminada ∞ − ∞.

Did you mean:

These pathologies do not affect "Lebesgue-integrable#34; functions, that is, functions the integrals of whose absolute values are finite.

Sumabilidad

Una integral impropia puede divergir en el sentido de que el límite que la define puede no existir. En este caso, existen definiciones más sofisticadas del límite que pueden producir un valor convergente para la integral impropia. Estos se denominan métodos de sumabilidad.

Un método de sumabilidad, popular en el análisis de Fourier, es el sumatorio de Cesàro. la integral

{displaystyle int _{0}^{infty }f(x),dx}

es Cesàro sumable (C, α) si

{displaystyle lim _{lambda to infty }int _{0}^{lambda }left(1-{frac {x}{lambda }}right)^{alpha }f(x) dx}

existe y es finito (Titchmarsh 1948, §1.15). El valor de este límite, en caso de existir, es la suma (C, α) de la integral.

Una integral es (C, 0) sumable precisamente cuando existe como integral impropia. Sin embargo, hay integrales que son (C, α) sumables para α > 0 que no convergen como integrales impropias (en el sentido de Riemann o Lebesgue). Un ejemplo es la integral

{displaystyle int _{0}^{infty }sin x,dx}

Did you mean:

which fails to exist as an improper integral, but is (C,α) summable for every α > 0. This is an integral version of Grandia 's series.

Integrales impropias multivariables

La integral inadecuada también se puede definir para funciones de varias variables. La definición es ligeramente diferente, dependiendo de si se requiere la integración en un dominio sin límites, como $R^2$ , o está integrando una función con singularidades, como ${displaystyle f(x,y)=log left(x^{2}+y^{2}right)}$ .

Integrales impropias sobre dominios arbitrarios

Si ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ es una función no negativa que es integrado Riemann sobre cada cubo compacto de la forma $[-a,a]^{n}$ , para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;"/>$ , entonces la parte inadecuada de la f sobre $mathbb {R} ^{n}$ se define como el límite

lim _{ato infty }int _{[-a,a]^{n}}f,

siempre y cuando exista.

Una función en un dominio arbitrario A dentro $mathbb {R} ^{n}$ se extiende a una función ${tilde {f}}$ on $mathbb {R} ^{n}$ por cero fuera de A:

{tilde {f}}(x)={begin{cases}f(x)&xin A\0&xnot in Aend{cases}}

Riemann integral de una función sobre un dominio consolidado A se define entonces como la parte integral de la función extendida ${tilde {f}}$ sobre un cubo $[-a,a]^{n}$ que contiene A:

int _{A}f=int _{[-a,a]^{n}}{tilde {f}}.

Más generalmente, si A es sin límites, entonces el impropio Riemann integral sobre un dominio arbitrario en $mathbb {R} ^{n}$ se define como el límite:

int _{A}f=lim _{ato infty }int _{Acap [-a,a]^{n}}f=lim _{ato infty }int _{[-a,a]^{n}}{tilde {f}}.

Integrales impropias con singularidades

Si f es una función no negativa que está sin límites en un dominio A, entonces la parte inadecuada de la f se define por truncating f en un corte M, integrando la función resultante, y luego tomando el límite como M tiende a la infinidad. Eso es $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M■0{displaystyle M confidencial0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f423ab77b3411ec2803520a07c0dfae6ceb826" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.703ex; height:2.176ex;"/>$ , set $f_{M}=min{f,M}$ . Entonces defina

int _{A}f=lim _{Mto infty }int _{A}f_{M}

siempre que exista este límite.

Funciones con valores positivos y negativos

Estas definiciones se aplican para funciones que no son negativas. Una función más general f puede ser descompuesto como una diferencia de su parte positiva $f_{+}=max{f,0}$ y parte negativa $f_{-}=max{-f,0}$ Así que

f=f_{+}-f_{-}

con $f_{+}$ y $f_{-}$ ambas funciones no negativas. La función f tiene una integral Riemann impropio si cada uno de $f_{+}$ y $f_{-}$ tiene uno, en cuyo caso el valor de esa integral inadecuada se define por

int _{A}f=int _{A}f_{+}-int _{A}f_{-}.

Para existir en este sentido, la integral impropia necesariamente converge absolutamente, ya que

int _{A}|f|=int _{A}f_{+}+int _{A}f_{-}.

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Ejemplos

Convergencia de la integral

Tipos de integrales

Integrales de Riemann impropias e integrales de Lebesgue

Singularidades

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